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Menge relativ kompakt: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:25 Mi 09/05/2018
Author: Noya

Aufgabe
Ist die Menge [mm] \{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm] relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm?

Hallo ihr Lieben :-)
vorab unsere Defintionen/Sätze, die hier meiner Meinung nach hilfreich sein könnten.

Satz Arzela-Ascoli (allgemeine Version):
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum. Weiter sei A [mm] \subset [/mm] C(K,X). Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) Für alle k [mm] \in [/mm] K ist A(k) [mm] :=\{f(k)|f \in A\} [/mm] relativ kompakt in X.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm] d.h.\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] A.


Definition:
Sei (M,d) ein metrischer Raum.
(i) A $ [mm] \subset [/mm] $ M heißt kompakt, wenn jedes System offener Mengen, das A überdeckt, eine endliche Teilüberdeckung enthält.
(ii) $ [mm] A\subset [/mm] $ M heißt relativ kompakt, wenn $ [mm] \overline{A} [/mm] $ kompakt ist.
(iii)  $ [mm] A\subset [/mm] $ M heißt prkompakt, wenn es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 endlich viele offene Kugeln vom Radius [mm] \epsilon [/mm] gibt, die A überdecken.

Satz:
(M,d) vollständ. metr. Raum.  $ [mm] A\subset [/mm] $ M :
A rel. kompakt [mm] \gdw [/mm] A präkompakt


Wir wissen aus unserem Skript ebenfalls, dass [mm] C([a,b],\parallel \cdot \parallel_{\infty} [/mm] vollstädniger metrischer Raum ist.
und das das Intervall [a,b] kompakt ist:
Also in Anlehnung der Notation von Ascoli-Arzela :
[mm] A=\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm]
jetzt muss ich überprüfen:
a) für alle x [mm] \in [-\pi,\pi] A(x)=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN \} [/mm] relativ kompakt in [mm] C([-\pi,\pi]) [/mm]
und
b) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm] d.h.\forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] A.

oder sollte ich lieber auf die "klassische Version" von Ascoli-Arzela zurückgreifen? also auf:
Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm] A\subset [/mm] C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
(i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
für alle x [mm] \in [/mm] K [mm] \exists [/mm] c>0 : [mm] :|f(x)|\le [/mm] c füur alle f [mm] \in [/mm] A.
(ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
[mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] :|f(x)-f(y)|< [mm] \epsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] K mit d(x,y) < [mm] \delta [/mm] und alle f [mm] \in [/mm] A.



wobei [mm] K=[-\pi,\pi] [/mm] , [mm] C(K)=C([-\pi,\pi]) [/mm] und [mm] A=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi]) [/mm]
dann ist ja klar, dass für alle x [mm] \in [/mm] K, c>0:  [mm] |f_n(x)|=|sin(nx)|\le [/mm] 1 ist für alle f [mm] \in [/mm] A.
und zweitens :
[mm] |f(x)-f(y)|=|sin(nx)-sin(ny)|\le sup_{x \in [-\pi,\pi]} [/mm] |f'x|[nx-ny| [mm] \le n^2|x-y| \le n^2 \delta [/mm]  
und jetzt müsste ich zeigen, dass [mm] n^2 \delta [/mm] < [mm] \epsilon. [/mm] aber da wüsste ich nicht weiter.
Wäre jemand so lieb und würde mir bei der Aufgabe behilflich sein?

Liebe grüße und vielen dank
Noya                                            


        
Bezug
Menge relativ kompakt: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:35 Mi 09/05/2018
Author: fred97


> Ist die Menge [mm]\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
> relativ kompakt bezüglich der Supremumsnorm?
>  Hallo ihr Lieben :-)
>  vorab unsere Defintionen/Sätze, die hier meiner Meinung
> nach hilfreich sein könnten.
>  
> Satz Arzela-Ascoli (allgemeine Version):
> Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei (X,d) ein
> vollständiger metrischer Raum. Weiter sei A [mm]\subset[/mm]
> C(K,X). Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) Für alle k [mm]\in[/mm] K ist A(k) [mm]:=\{f(k)|f \in A\}[/mm] relativ
> kompakt in X.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm]d.h.\forall \epsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y
> [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] A.
>
>
> Definition:
> Sei (M,d) ein metrischer Raum.
> (i) A [mm]\subset[/mm] M heißt kompakt, wenn jedes System offener
> Mengen, das A überdeckt, eine endliche Teilüberdeckung
> enthält.
> (ii) [mm]A\subset[/mm] M heißt relativ kompakt, wenn [mm]\overline{A}[/mm]
> kompakt ist.
> (iii)  [mm]A\subset[/mm] M heißt prkompakt, wenn es zu jedem
> [mm]\epsilon[/mm] >0 endlich viele offene Kugeln vom Radius [mm]\epsilon[/mm]
> gibt, die A überdecken.
>
> Satz:
> (M,d) vollständ. metr. Raum.  [mm]A\subset[/mm] M :
> A rel. kompakt [mm]\gdw[/mm] A präkompakt
>  
> Wir wissen aus unserem Skript ebenfalls, dass
> [mm]C([a,b],\parallel \cdot \parallel_{\infty}[/mm] vollstädniger
> metrischer Raum ist.
>  und das das Intervall [a,b] kompakt ist:
>  Also in Anlehnung der Notation von Ascoli-Arzela :
>  [mm]A=\{sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
>  jetzt
> muss ich überprüfen:
>  a) für alle x [mm]\in [-\pi,\pi] A(x)=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN \}[/mm]
> relativ kompakt in [mm]C([-\pi,\pi])[/mm]
>  und
>  b) A ist gleichgradig stetig auf A, [mm]d.h.\forall \epsilon[/mm]
> >0 [mm]\exists \delta[/mm] >0 :|f(x)-f(y)|< [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y
> [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] für alle f [mm]\in[/mm] A.
>  
> oder sollte ich lieber auf die "klassische Version" von
> Ascoli-Arzela zurückgreifen? also auf:
>  Sei (K,d) ein kompakter metrischer Raum und sei [mm]A\subset[/mm]
> C(K), wobei C(K) wie üblich mit der Supremumsnorm versehen
> wird. Dann ist A genau dann relativ kompakt, wenn gilt
> (i) A ist punktweise beschränkt, d.h.
> für alle x [mm]\in[/mm] K [mm]\exists[/mm] c>0 : [mm]:|f(x)|\le[/mm] c füur alle f
> [mm]\in[/mm] A.
> (ii) A ist gleichgradig stetig auf K, d.h.
>   [mm]\forall \epsilon>0 \exists \delta>0[/mm] :|f(x)-f(y)|<
> [mm]\epsilon[/mm] für alle x,y [mm]\in[/mm] K mit d(x,y) < [mm]\delta[/mm] und alle f
> [mm]\in[/mm] A.
>  
>
> wobei [mm]K=[-\pi,\pi][/mm] , [mm]C(K)=C([-\pi,\pi])[/mm] und
> [mm]A=\{f_n(x)=sin(nx) : n \in \IN\}\subseteq C([-\pi,\pi])[/mm]
> dann ist ja klar, dass für alle x [mm]\in[/mm] K, c>0:  
> [mm]|f_n(x)|=|sin(nx)|\le[/mm] 1 ist für alle f [mm]\in[/mm] A.
>  und zweitens :
>  [mm]|f(x)-f(y)|=|sin(nx)-sin(ny)|\le sup_{x \in [-\pi,\pi]}[/mm]
> |f'x|[nx-ny| [mm]\le n^2|x-y| \le n^2 \delta[/mm]  
> und jetzt müsste ich zeigen, dass [mm]n^2 \delta[/mm] < [mm]\epsilon.[/mm]
> aber da wüsste ich nicht weiter.

Ich auch nicht. Aber obiges deutet darauf hin, dass

[mm]A=\{sin(nx) : n \in \IN\}[/mm] nicht gleichgradig stetig ist. Das kannst Du so einsehen. Nimm an, A wäre gleichgradig stetig. Dann gibt es zu [mm] $\varepsilon=1/2$ [/mm] ein [mm] \delta [/mm] >0 mit


(*) $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|< 1/2$  für alle $x,y [mm] \in [/mm] [- [mm] \pi, \pi]$ [/mm] mit |x-y|< [mm] \delta [/mm] und alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Nun wähle $n [mm] \in \IN$ [/mm] so groß, dass [mm] \frac{\pi}{2n}< \delta [/mm] ausfällt.

Damit setze [mm] x=\frac{\pi}{2n} [/mm] und y=0.

Dann ist [mm] |x-y|=x=\frac{\pi}{2n}< \delta. [/mm] Nach (*) ist dann $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|< 1/2$ .

Nun ist aber $| [mm] \sin [/mm] (nx)- [mm] \sin [/mm] (ny)|=1> 1/2$ .

Dieser Widerspruch zeigt das Gewünschte.


>  Wäre jemand so lieb und würde mir bei der Aufgabe
> behilflich sein?
>  
> Liebe grüße und vielen dank
>  Noya                                            
>  


Bezug
                
Bezug
Menge relativ kompakt: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 21:00 Do 10/05/2018
Author: Noya

Klar macht Sinn. Es muss ja schliesslich für alle [mm] \epsilon [/mm] >0 gelten.

Vielen Dank :-)


Bezug
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