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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:56 Di 02.10.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich bearbeite folgende Aufgabe...
Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen über Mengen A, B, C, D allgemein richtig sind. Geben Sie jeweils einen Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
(1) [mm] (A\cap B)\C [/mm] = [mm] (A\C) \cap (B\C)
[/mm]
(2) [mm] (A\cup B)\times [/mm] C = [mm] (A\times [/mm] C) [mm] \cup (B\times [/mm] C)
(3) [mm] (A\times [/mm] B) [mm] \cup (C\times [/mm] D) = [mm] (A\cup [/mm] C) [mm] \times (B\cup [/mm] D) |
Meine Lösungsansätze lauten folgendermaßen:
(1) x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) \ C [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] C (nach Def.)
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B bedeutet, dass x [mm] \in [/mm] A und [mm] x\in [/mm] B
Daher gilt:
x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap) [/mm] \ C [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B) und x [mm] \not\in [/mm] C
[mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] C) und (x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \not\in [/mm] C)
Nach Def. der Differenz:
x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \not\in [/mm] C [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] A \ C
analog dazu B,
so dass letztendlich die Behauptung bewiesen ist (s. o.). Dies habe ich noch ähnlich ausführlich aufgeführt. Meine Frage ist nun, ob meine Gedanken, also die Lösung, richtig ist und, viel wichtiger, ob die Lösung "formal" so geschrieben werden kann?
Zu (2)
Auch hier habe ich mir überlegt, dass x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) und y [mm] \in [/mm] C, so dass durch umformen (Klammern setzen) die Behauptung bewiesen wird.
Zu (3)
Hier genügt es hoffentlich  ein Gegenbeispiel anzuführen:
A = 1,2
B = 3,4
C = 5,6
D = 7,8
Daraus ergibt sich, dass z. B. A [mm] \cup [/mm] C das Element (1,7) enthält, welches auf der linken Seite nicht vorkommt.
Vielen Dank für Eure Hilfe
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Hallo Schalk!
> Hallo zusammen,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich bearbeite folgende Aufgabe...
> Untersuchen Sie, ob die folgenden Aussagen über Mengen A,
> B, C, D allgemein richtig sind. Geben Sie jeweils einen
> Beweis oder ein Gegenbeispiel an.
> (1) [mm](A\cap B)\C[/mm] = [mm](A\C) \cap (B\C)[/mm]
> (2) [mm](A\cup B)\times[/mm] C
> = [mm](A\times[/mm] C) [mm]\cup (B\times[/mm] C)
> (3) [mm](A\times[/mm] B) [mm]\cup (C\times[/mm] D) = [mm](A\cup[/mm] C) [mm]\times (B\cup[/mm]
> D)
> Meine Lösungsansätze lauten folgendermaßen:
Hast du bei der Vorschau deiner Frage festgestellt, dass die Aufgaben gar nicht richtig angezeigt werden? Einen Backslash schreibt man hier so: \backslash, dann wird er auch angezeigt: [mm] \backslash, [/mm] z. B. [mm] $(A\cap B)\backslash [/mm] C$. Kannst du dir für die Zukunft mal merken - das macht das ganze wesentlich leichter leserlich.
> (1) x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) \ C [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm]
> C (nach Def.)
>
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B bedeutet, dass x [mm]\in[/mm] A und [mm]x\in[/mm] B
>
> Daher gilt:
>
> x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap)[/mm] \ C [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B) und x [mm]\not\in[/mm]
> C
> [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] C) und (x [mm]\in[/mm] B und x [mm]\not\in[/mm]
> C)
>
> Nach Def. der Differenz:
>
> x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\not\in[/mm] C [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] A \ C
> analog dazu B,
>
> so dass letztendlich die Behauptung bewiesen ist (s. o.).
> Dies habe ich noch ähnlich ausführlich aufgeführt. Meine
> Frage ist nun, ob meine Gedanken, also die Lösung, richtig
> ist und, viel wichtiger, ob die Lösung "formal" so
> geschrieben werden kann?
Deine Gedanken sind richtig. Ich denke, man könnte es auch so aufschreiben. Ich würde es allerdings etwas anders machen - sieh dir dazu mal das hier an - das ist die gleiche Aufgabe. Kurz gesagt würde ich statt den ganzen "und"s und "oder"s [mm] \wedge [/mm] und [mm] \vee [/mm] schreiben - das macht das Ganze schon mal etwas kürzer. Und evtl. würde ich sowohl die linke Seite als auch die rechte Seite (getrennt voneinander) umformen, bis beide Male dasselbe da steht.
> Zu (2)
> Auch hier habe ich mir überlegt, dass x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) und
> y [mm]\in[/mm] C, so dass durch umformen (Klammern setzen) die
> Behauptung bewiesen wird.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Beachten musst du aber, dass du hier von Anfang an von einem Tupel ausgehen musst, denn ein Element von [mm] $A\times [/mm] B$ kann ja nur solch ein Tupel sein, also z. B. [mm] $(x,y)\in(A\times [/mm] B) [mm] \gdw (x\in A\wedge y\in [/mm] B)$.
> Zu (3)
> Hier genügt es hoffentlich ein Gegenbeispiel
> anzuführen:
> A = 1,2
> B = 3,4
> C = 5,6
> D = 7,8
>
> Daraus ergibt sich, dass z. B. A [mm]\cup[/mm] C das Element (1,7)
> enthält, welches auf der linken Seite nicht vorkommt.
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe
Mmh - das Gegenbeispiel sollte funktionieren, allerdings kann [mm] $A\cup [/mm] C$ nicht das Element (1,7) enthalten, denn [mm] $A\cup C=\{1,2,5,6\}$ [/mm] (ach ja, und du musst natürlich um alle Mengen Mengenklammern machen). Und ich würde es etwas ausführlicher aufschreiben, also alle "Teile" einzeln. Du ersparst dir Schreibarbeit, wenn du einelementige Mengen nimmst. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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