Mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 So 22.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, wenn ich folgende Funktion gegeben habe:
[mm] p:\IR^{2}\to\IR:(x,y)\mapsto x^{3}y [/mm] - [mm] xy^{3} [/mm] - xy
Wie sind dann die folgenden Mengen zu skizzieren?
a) [mm] G_{0} [/mm] = [mm] {(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) = 0}
[/mm]
b) [mm] G_{+} [/mm] = [mm] {(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) > 0}
[/mm]
c) [mm] G_{-} [/mm] = [mm] {(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) < 0}
[/mm]
Und wie ist dann folgende Aufgabe dazu zu lösen?
gegeben sind die Vektoren [mm] v_{1}=(1,0) [/mm] und [mm] v_{2}=(0,1). [/mm] bestimmen Sie in den Punkten [mm] P_{0} [/mm] = (2,0) , [mm] P_{1}=(1,0) [/mm] und [mm] P_{2} [/mm] = (0,1) jeweils die Ableitungen von p in Richtung [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] mit Hilfe eines Differentialquotienten.
Wie ist bei diesen Aufgaben vorzugehen??
lg Surfer
|
|
| |
|
Hallo Surfer,
> Hallo, wenn ich folgende Funktion gegeben habe:
>
> [mm]p:\IR^{2}\to\IR:(x,y)\mapsto x^{3}y[/mm] - [mm]xy^{3}[/mm] - xy
>
> Wie sind dann die folgenden Mengen zu skizzieren?
>
> a) [mm]G_{0}[/mm] = [mm]{(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) = 0}[/mm]
> b) [mm]G_{+}[/mm] =
> [mm]{(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) > 0}[/mm]
> c) [mm]G_{-}[/mm] =
> [mm]{(x,y)\in\IR^{2} | p((x,y)) < 0}[/mm]
Versuche, deine Funktion weitgehend zu faktorisieren:
Es ist ja [mm] $p(x,y)=x^3y-xy^3-xy=xy\cdot{}\left(x^2-y^2-1\right)$
[/mm]
Dann kannst du bzgl. a), b), c) die entsprechenden Fallunterscheidungen machen.
Wann ist ein Produkt =0?
Wann ist ein Produkt >0?
usw. --> probieren 
>
> Und wie ist dann folgende Aufgabe dazu zu lösen?
>
> gegeben sind die Vektoren [mm]v_{1}=(1,0)[/mm] und [mm]v_{2}=(0,1).[/mm]
> bestimmen Sie in den Punkten [mm]P_{0}[/mm] = (2,0) , [mm]P_{1}=(1,0)[/mm]
> und [mm]P_{2}[/mm] = (0,1) jeweils die Ableitungen von p in Richtung
> [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] mit Hilfe eines Differentialquotienten.
Hier sind ja die Ableitungen in Richtung der Achsen zu bestimmen, also die Ableitungen in x- und y-Richtung; das sind sozusagen die partiellen Ableitungen nach x,y
Da kannst du entweder die Def. der "partiellen Ableitung" nehmen oder aber die der "Richtungsableitung"
Letztere ist ja für Richtungsvektoren [mm] $v=(v_1,v_2)$ [/mm] mit $||v||=1$ definiert als
[mm] $\partial_v p(x,y)=\lim\limits_{t\downarrow 0}\frac{p((x,y)+t(v_1,v_2))-p(x,y)}{t}$ [/mm]
Also auch hier: Nachrechnen ...
>
> Wie ist bei diesen Aufgaben vorzugehen??
>
> lg Surfer
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:13 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
D.h. beim zweiten Teil errechne ich den Gradienten der oberen Funktion oder? Und setze dann jeweils die Punkte ein und schaue was rauskommt? und erhalte neue Punkte!
lg Surfer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Blech |
> D.h. beim zweiten Teil errechne ich den Gradienten der
> oberen Funktion oder?
Nicht den Gradienten (bzw. was rauskommt ist der Gradient, aber Du sollst es mit dem Differentialquotienten machen und nicht mit den normalen Ableitungsregeln)
$ [mm] \partial_v p(x,y)=\lim\limits_{t\downarrow 0}\frac{p\left((x,y)+t\cdot v\right)-p(x,y)}{t} [/mm] $
p ist die Funktion von oben, (x,y) der Punkt, in dem Du ableitest, und v ist [mm] $v_1$ [/mm] bzw. [mm] $v_2$, [/mm] d.h. die Richtung, in der Du ableiten willst.
> und erhalte neue Punkte!
Nein, reelle Zahlen. p ist ja [mm] $\IR^2\to\IR$, [/mm] also ist der Grenzwert oben auch eindimensional. Die Zahl gibt die Steigung des Graphen im Punkt (x,y) in Richtung v an.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Also hab das jetzt mal gemacht:
a) [mm] xy*(x^{2}-y^{2}-1)=0 [/mm]
wenn xy = 0 oder [mm] x^{2} -y^{2} [/mm] -1 =0
[mm] \gdw [/mm] (x=0 oder y=0) oder y = [mm] \wurzel{x^{2}-1}
[/mm]
b) xy * [mm] (x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1) >0
wenn xy > 0 und [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1 >0
oder xy < 0 und [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1 <0
c) xy * [mm] (x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1) <0
wenn xy > 0 und [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1 <0
oder xy < 0 und [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] -1 >0
stimmt das und wie ist dies dann zu zeichnen?
2) Teilaufgabe:
[mm] p_{x}(x,y) [/mm] = [mm] 3x^{2}y -y^{3} [/mm] -y
[mm] p_{y}(x,y) [/mm] = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 3xy^{2} [/mm] -x
Wenn ich jetzt jeweils die Punkte einsetze erhalte ich:
[mm] P_{0}in p_{x}(x,y) [/mm] = 0
[mm] P_{0}in p_{y}(x,y) [/mm] = 6
[mm] P_{1}in p_{x}(x,y) [/mm] = 0
[mm] P_{1}in p_{y}(x,y) [/mm] = 0
[mm] P_{2}in p_{x}(x,y) [/mm] = -2
[mm] P_{2}in p_{y}(x,y) [/mm] = 0
Bitte um Kontrolle und Verbesserungsvorschläge!
lg Surfer
|
|
|
| |
|
> Also hab das jetzt mal gemacht:
>
> a) [mm]xy*(x^{2}-y^{2}-1)=0[/mm]
> wenn xy = 0 oder [mm]x^{2} -y^{2}[/mm] -1 =0
> [mm]\gdw[/mm] (x=0 oder y=0) oder y = [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm]
oder y = - [mm]\wurzel{x^{2}-1}[/mm] !!
>
> b) xy * [mm](x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1) >0
> wenn xy > 0 und [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1 >0
> oder xy < 0 und [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1 <0
>
> c) xy * [mm](x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1) <0
> wenn xy > 0 und [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1 <0
> oder xy < 0 und [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] -1 >0
>
> stimmt das und wie ist dies dann zu zeichnen? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
stimmt so weit
die Gleichung [mm] x^2-y^2-1=0 [/mm] beschreibt eine (aus 2 Ästen
bestehende) Hyperbel H
Die Gleichung xy =0 kann man noch auflösen in x=0 oder y=0
Diese Gleichungen beschreiben die beiden Koordinatenachsen
H, die x-Achse und die y-Achse zerlegen die Ebene in verschiedene
Teilgebiete. In diesen ist p abwechselnd positiv oder negativ.
Die Lösung erinnert von ferne an ein Schachbrett.
> 2) Teilaufgabe:
> [mm]p_{x}(x,y)[/mm] = [mm]3x^{2}y -y^{3}[/mm] -y
> [mm]p_{y}(x,y)[/mm] = [mm]x^{3}[/mm] - [mm]3xy^{2}[/mm] -x
>
lg al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Mo 23.06.2008 | | Autor: | Surfer |
Jetzt weiss ich irgendwie immer noch nicht wie ich das darstellen soll?
wie komme ich denn auf das Schachbrettmuster? Ich kann mir das gerade nicht vorstellen, was überhaupt skizziert werden soll?
Bitte nochmals um genaueres Vorgehen!
Und bei der Teilaufgabe 2) War das so richtig mit den Punkten? Und ist das alles?
lg Surfer
|
|
|
| |
|
> Jetzt weiss ich irgendwie immer noch nicht wie ich das
> darstellen soll?
>
> wie komme ich denn auf das
> Schachbrettmuster?
das ist nur eine ferne Assoziation...
> Ich kann mir
> das gerade nicht vorstellen, was überhaupt skizziert werden
> soll?
Die gesamte Funktion ist ja durchwegs stetig und diffbar.
wir haben also eine wunderbar glatte Fläche, die sich im
3D-Raum ausspannt. So, und jetzt füllen wir den unteren
Teil des Raumes (z<0) mit Wasser. Dann haben wir eine
Hügel- und Seenlandschaft. Die Küstenlinien sind gegeben
durch alle Punkte der Fläche mit z=0. Im vorliegenden
Fall sind die gesamte x-Achse, die gesamte y-Achse sowie
die beiden Teilkurven der Hyperbel H die Küstenlinien.
Sie scheiden das Land vom überfluteten Teil. An Land
sind alle Punkte mit positivem z, unter Wasser alle mit z<0.
Immer, wenn eine Küstenlinie überschritten wird, kann
das Vorzeichen von z wechseln.
Innerhalb eines "Sees" aber bleibt z negativ.
Wenn du die Hyperbel gezeichnet hast, kannst du einfach
innerhalb jedes der entstandenen Gebiete an einem
Beispielpunkt nachrechnen, ob nun z>0 oder z<0 ist.
Dieses Vorzeichen muss dann jeweils für das ganze Gebiet
gelten.
> Und bei der Teilaufgabe 2) War das so richtig mit den
> Punkten?
deine Formeln waren richtig. ob du dann die paar Zahlen auch
noch richtig eingesetzt hast, überlasseich dir selber nachzuprüfen
> Und ist das alles?
ich denke schon
|
|
|
|
