Mengen - Beweis < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:45 So 07.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Für eine Menge X [mm] \subseteq R^n [/mm] sei IX der offene Kern, AX die abgesclossene Hülle Zeige:
a) Aus X [mm] \subseteq [/mm] Y folgt IX [mm] \subseteq [/mm] IY und AX [mm] \subseteq [/mm] AY
b) I(IX) = IX, A(AX)=AX |
Guten Morgen! :)
hab teil a) mal so versucht:
z.z.: X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] IX [mm] \subseteq [/mm] IY
sei x [mm] \in [/mm] IX [mm] \Rightarrow \exists [/mm] K(x,r) [mm] \subseteq [/mm] IX [mm] \subseteq [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] IY
stimmt das so?
z.z.: AX [mm] \subseteq [/mm] AY
sei x [mm] \in [/mm] AX
1.) x [mm] \in [/mm] X [mm] \subseteq [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] AY
2.) x [mm] \notin [/mm] X [mm] \Rightarrow [/mm] für alle r > 0 [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] X: y [mm] \in [/mm] K(x,r)
[mm] \Rightarrow [/mm] für alle r>0 [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: y [mm] \in [/mm] K(x,r)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] AY
stimmt das auch??
bei der b) ist mir das noch nicht so klar, wie man das zeigen kann...??die zeichen bedeuten doch, dass einmal der offene Kern vom offenen Kern von der Menge X das gleiche ist wie der offene Kern von X, oder?
und beim zweiten das gleiche nur mit der abgeschlossenen hülle?
viele grüße
riley
edit:
ich glaub ich hab dich eine idee für teil b), wenn RX:= Rand(X) :
z.z I(IX) = IX
Bew: [mm] I(IX)=I(X\RX) [/mm] = [mm] (X\RX) [/mm] \ R (X \ RX)= [mm] X\RX [/mm] = IX, da [mm] R(X\RX) [/mm] = { }
z.z. A(AX) = AX
A(AX) = A(IX [mm] \cup [/mm] RX) = (IX [mm] \cup [/mm] RX ) [mm] \cup R(IX\cupRX) [/mm] = (IX [mm] \cup RX)\cup [/mm] RX = AX, da R(IX [mm] \cup [/mm] RX) = R(X)
darf ich das so schreiben??
gruß & danke
riley :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Di 09.05.2006 | | Autor: | martzo |
Lieber Riley,
> hab teil a) mal so versucht:
> z.z.: X [mm]\subseteq[/mm] Y [mm]\Rightarrow[/mm] IX [mm]\subseteq[/mm] IY
> sei x [mm]\in[/mm] IX [mm]\Rightarrow \exists[/mm] K(x,r) [mm]\subseteq[/mm] IX
> [mm]\subseteq[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] Y [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] IY
> stimmt das so?
das ist korrekt.
>
> z.z.: AX [mm]\subseteq[/mm] AY
> sei x [mm]\in[/mm] AX
> 1.) x [mm]\in[/mm] X [mm]\subseteq[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] AY
> 2.) x [mm]\notin[/mm] X [mm]\Rightarrow[/mm] für alle r > 0 [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] X:
> y [mm]\in[/mm] K(x,r)
> [mm]\Rightarrow[/mm] für alle r>0 [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] Y: y [mm]\in[/mm] K(x,r)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] AY
>
> stimmt das auch??
auch das ist korrekt. allerdings brauchst du hier keine fallunterscheidung, denn auch aus x [mm]\in[/mm] X folgt sofort:
für alle r > 0 [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm] X.
> ich glaub ich hab dich eine idee für teil b), wenn RX:=
> Rand(X) :
>
> z.z I(IX) = IX
> Bew: [mm]I(IX)=I(X\RX)[/mm] = [mm](X\RX)[/mm] \ R (X \ RX)= [mm]X\RX[/mm] = IX, da
> [mm]R(X\RX)[/mm] = { }
>
> z.z. A(AX) = AX
> A(AX) = A(IX [mm]\cup[/mm] RX) = (IX [mm]\cup[/mm] RX ) [mm]\cup R(IX\cupRX)[/mm] =
> (IX [mm]\cup RX)\cup[/mm] RX = AX, da R(IX [mm]\cup[/mm] RX) = R(X)
>
> darf ich das so schreiben??
>
hier kann ich deine argumentation nicht nachvollziehen, allerdings scheinst du es auch nicht ganz korrekt notiert zu haben. schau nochmal drüber!
ich würde vorschlagen, anhand der definitionen, die dir vorliegen, erst einmal folgendes zu zeigen:
1.) RIX=RX
2.) RAX=RX
dann kriegst du sofort:
1.)IIX = IX \ RIX = (X \ RX) \ RIX = (X \ RX) \ RX = X \ RX = IX
2.)AAX = AX+RAX = X+RX+RAX = X+RX+RX = X+RX = AX
(+ heiße hier vereinigt)
aber vielleicht hast dus ja so gemeint?
viele grüße,
martzo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 10.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi martzo!!!
vielen vielen dank für deine korrektur und hilfe!!
yea, bei dem b)Teil hab ich das wirklich bissle falsch aufgeschrieben. hatte das so gemeint:
I ( IX ) = I (X \ RX) = (X \ RX) \ R ( X \ RX ) = X \ RX = IX
würde das so stimmen?
...weil du hast das ja bissle anders gezeigt!?!
viele grüße
die riley ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mi 10.05.2006 | | Autor: | martzo |
Hallo Riley,
> yea, bei dem b)Teil hab ich das wirklich bissle falsch
> aufgeschrieben. hatte das so gemeint:
> I ( IX ) = I (X \ RX) = (X \ RX) \ R ( X \ RX ) = X \ RX
> = IX
> würde das so stimmen?
> ...weil du hast das ja bissle anders gezeigt!?!
Das ist ein anderer Weg, aber völlig gleichwertig und korrekt. Allerdings musst du hier vielleicht nochmal argumentieren, weshalb eigentlich R (X \ RX) = RX gilt. (In meinem Beweis musste man noch RIX=RX zeigen.) Das hängt ganz von den Definitionen und Eigenschaften ab, die durch die Vorlesung bekannt sind.
Viele Grüße,
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:01 Do 11.05.2006 | | Autor: | Riley |
okay, ganz vielen dank dir!! werd das nochmal nachschaun ...!
viele grüße
riley ;)
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