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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:07 So 20.11.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen!
Ich habe eine kleine Verständnisfrage. Ich soll zeigen:
Seien A und B endliche Mengen. Zeigen Sie: [mm] |B^{A}| [/mm] = [mm] |B|^{|A|}
[/mm]
Aber das ist doch offensichtlich. Das wird doch so behandelt wie die Potenzmenge. Also wenn |B| = 2 und |A| = 3, würde das doch stimmen. Was soll ich denn da genau zeigen? Und was bedeutet so ein [mm] B^{A}
[/mm]
Wäre für Hilfe dankbar :)
MFG Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 So 20.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Becks,
> Ich habe eine kleine Verständnisfrage. Ich soll zeigen:
>
> Seien A und B endliche Mengen. Zeigen Sie: [mm]|B^{A}|[/mm] =
> [mm]|B|^{|A|}[/mm]
>
> Aber das ist doch offensichtlich. Das wird doch so
> behandelt wie die Potenzmenge. Also wenn |B| = 2 und |A| =
> 3, würde das doch stimmen. Was soll ich denn da genau
> zeigen? Und was bedeutet so ein [mm]B^{A}[/mm]
[mm] $B^A$ [/mm] ist die Menge aller Abbildung von A nach B, also
[mm] $B^A=\left\{f\ :\ f:A\to B\right\}$
[/mm]
Wegen der zu zeigenden Gleichheit ist man wohl auf diese sinnfällige Bezeichnung für diese Menge gekommen, so dass es auf den ersten Blick so aussieht, als müsste man nichts mehr zeigen.
Kommst du mit der Aufgabe nun weiter?
Viel Erfolg,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo!
Danke für deine Antwort. :)
also wenn damit die Menge aller Abbildungen gemeint ist, weiß ich jetzt wirklich nicht, was ich zeigen soll.
Denn wenn ich [mm] |B^{A}| [/mm] habe und [mm] |B|^{|A|}. [/mm] Was bedeuten denn diese beiden Ausdrücke?
Ich weiß irgendwie gar nicht, was ich da machen soll. :-/
Viele Grüße
Becks
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 21.11.2005 | | Autor: | Marc |
Hallo Becks,
> also wenn damit die Menge aller Abbildungen gemeint ist,
> weiß ich jetzt wirklich nicht, was ich zeigen soll.
> Denn wenn ich [mm]|B^{A}|[/mm] habe und [mm]|B|^{|A|}.[/mm] Was bedeuten denn
> diese beiden Ausdrücke?
Nun, [mm] $|B^A|$ [/mm] ist die Anzahl der Abbildungen [mm] $A\to [/mm] B$, und [mm] $|B|^{|A|}$ [/mm] bedeutet Anzahl der Elemente von B potenziert mit der Anzahl der Elemente von A.
> Ich weiß irgendwie gar nicht, was ich da machen soll. :-/
Vielleicht hilft ja ein Beispiel:
[mm] $A=\{1,2,3\}$
[/mm]
[mm] $B=\{1,2\}$
[/mm]
Laut Formel müßte es nun [mm] $|B|^|A|=2^3=8$ [/mm] verschiedene Abbildungen, die die Menge A auf die Menge B abbilden; ich kann ja mal anfangen, sie aufzuzählen (wenn ich es systematisch machen würde, hätte ich den ganzen Beweis verraten  )
1. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 1$, [mm] $2\mapsto [/mm] 1$, [mm] $3\mapsto [/mm] 1$
2. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 2$, [mm] $2\mapsto [/mm] 2$, [mm] $3\mapsto [/mm] 2$
3. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 1$, [mm] $2\mapsto [/mm] 2$, [mm] $3\mapsto [/mm] 1$
4. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 1$, [mm] $2\mapsto [/mm] 1$, [mm] $3\mapsto [/mm] 2$
5. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 2$, [mm] $2\mapsto [/mm] 1$, [mm] $3\mapsto [/mm] 1$
6. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 1$, [mm] $2\mapsto [/mm] 2$, [mm] $3\mapsto [/mm] 2$
7. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 2$, [mm] $2\mapsto [/mm] 2$, [mm] $3\mapsto [/mm] 1$
8. Abbildung: [mm] $1\mapsto [/mm] 2$, [mm] $2\mapsto [/mm] 1$, [mm] $3\mapsto [/mm] 2$
Der Beweis besteht nun daraus, einen plausible Abzählung der Abbildungen zu geben...
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:38 Di 22.11.2005 | | Autor: | Becks |
Dankeschön, jetzt weiß ich auf jeden Fall, was ich überhaupt machen soll :)
Setz mich gleich mal ran und schreibe heute Nachmittag mal meinen 1.Vorschlag hin. ^^
Vielen Dank für den Tipp
MFG Becks
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 22.11.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen!
Ich glaube ich habe einen Beweis gefunden. Also: :)
Beh: [mm] |B^{A}| [/mm] = [mm] |B|^{|A|}
[/mm]
Bew: Wir haben einen Quellbereich A und einen Zielbereich B. [mm] |B^{A}| [/mm] ist die Anzahl aller Abbildungen nach Definition. Alle a [mm] \in [/mm] A müssen demnach eindeutig einem Wert b [mm] \in [/mm] B zugeordnet werden. Für ein a [mm] \in [/mm] A haben wir |B| verschiedene Möglichkeiten um abzubilden. Also das ein bestimmtes a [mm] \in [/mm] A auf ein bel. [mm] b\in [/mm] B abgebildet wird.
Da wir nun die Anzahl aller möglichen Abbildungen haben wollen, gilt:
[mm] a_{1}*|B| [/mm] * [mm] a_{2}*|B| [/mm] * .... * [mm] a_{|A|}*|B| [/mm]
und das ist gleich
= [mm] |B|^{|A|}
[/mm]
Kann ich da so argumentieren oder fehlt noch was.
Ich denke aber, dass ich es verstanden habe. :)
MFG Becks
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:53 Mi 23.11.2005 | | Autor: | Becks |
Danke für deine Hilfe ;)
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, das ist genau die Idee.
