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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 13.10.2005 | | Autor: | mlaukel |
Hallo !
folgende Aufgabe:
Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel), dass die folgenden Aussagen jeweils für beliebige Mengen L,M,N gelten:
(1) M [mm] \cup [/mm] N = M [mm] \cap [/mm] N [mm] \Rightarrow [/mm] M = N ,
(2) M \ N = N \ M [mm] \Rightarrow [/mm] M = N ,
(3) L [mm] \cup [/mm] (M \ N) = (L [mm] \cup [/mm] M) \ N ,
(4) (L [mm] \cup [/mm] M) \ N = (L \ N) [mm] \cup [/mm] (M \ N) ,
(5) (L \ M) \ N = L \ (M \ N) ,
(6) L × (M [mm] \cap [/mm] N) = (L ×M) [mm] \cap [/mm] (L × N) .
(Hinweis: Venn-Diagramme dienen der Veranschaulichung, sind aber keine Beweise.)
Habe dazu folgende Lösungen:
zu 1)
wenn x e M folgt durch M u N das auch x e N, also sind alle x sowohl in M als auch in N enthalten also ist M = N
wahre Aussage
zu 2)
Wenn x e M folgt durch M \ N das x nicht e. N, andererseits folgt durch
N \ M das wenn x e N auch x nicht e M.
M \ N und N \ M ist also nur dann gültig wenn M und N leere Mengen sind.
Für diesen Fall gilt M = N also
wahre Aussage
zu 3)
=> x e L v ( x e M ^ x n.e. N ) = ( x e L v x e M ) ^ x n.e. N
=> ( x e L v x e M ) ^ ( x e L v x n.e. N ) = ( x e L v x e M ) ^
x n.e N
=> ( L u M ) ^ ( L u n.N) = (L u M ) ^ n.N
da die Teilaussage (L u n.N) nicht gleich n.N sein kann muss es eine
falsche Aussage sein
zu 4)
durch Umformung wie oben beschrieben komme ich zur Form
( L \ N ) u ( M \ N ) = (L \ N) u (M \ N)
wahre Aussage
zu 5)
durch Umformung komme ich zur Form
( L \ M ) \ N = (L \ M ) u ( L ^ N )
also falsche Aussage da \ N nicht gleich u ( L ^ N ) ist.
zu 6)
durch Umformung komme ich zur Form
L x ( M ^ N ) = L x (M ^ N) also
wahre Aussage
Kann das so stimmen ? Kann da mal bitte jemand drüber schauen ? Danke schon mal für eure Hilfe ! Hoffe auf baldige Antwort.
Grüße
mlaukel
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mlaukel,
könnstest du dein Profil etwas ausführlicher gestalten? Es ist immer schwer Fragen zu beantworten, wenn man nicht weiß, welches Wissen man bei seinem Gegenüber voraussetzen kann.
Also deine Antworten würde ich so, wie sie sind, nicht akzeptieren. Ihnen fehlt die Logik, d.h. eine zwingende Abfolge von wahren Aussagen, mit denen du eine richtige Aussage beweist.
Ich mache es dir mal für (1) und (5) vor.
(1) [mm] $M{\cup}N$=$M{\cap}N$ ${\Rightarrow}$ [/mm] $M=N$
Die linke Seite [mm] $M{\cup}N$=$M{\cap}N$ [/mm] ist äquivalent zur Aussage
[mm] $x{\in}M$ ${\vee}$ $x{\in}N$ ${\gdw}$ $x{\in}M$ ${\wedge}$ $x{\in}N$.
[/mm]
Also gilt insbesondere
[mm] $x{\in}M$ ${\Rightarrow}$ $x{\in}M$ ${\vee}$ $x{\in}N$ ${\Rightarrow}$ $x{\in}M$ ${\wedge}$ $x{\in}N$ ${\Rightarrow}$ $x{\in}N$.
[/mm]
Zusammengefasst erhalten wir
[mm] $x{\in}M$ ${\Rightarrow}$ $x{\in}N$.
[/mm]
Die Folgerung
[mm] $x{\in}N$ ${\Rightarrow}$ $x{\in}M$
[/mm]
erhalten wir analog, so dass (1) also eine wahre Aussage ist.
(5) [mm] $(L{\backslash}M){\backslash}N$=$L{\backslash}(M{\backslash}N)$
[/mm]
Für $L=M=N$ ist die linke Seite
[mm] $(L{\backslash}L){\backslash}L$=$\emptyset{\backslash}L$=$\emptyset$,
[/mm]
die rechte Seite ist aber
[mm] $L{\backslash}(L{\backslash}L)$=$L{\backslash}\emptyset$=$L$.
[/mm]
Somit gilt diese Aussage nicht allgemein.
Versuch einmal, dich beim Beweis der anderen wahren Aussagen an meiner Vorlage zu orientieren.
Hugo
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