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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Mi 01.11.2006 | | Autor: | Klausi |
| Aufgabe | Seien X und Y zwei Mengen sowie [mm] \alpha [/mm] : X -->Y eine Abbildung. Beweisen Sie:
a) [mm] \alpha [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) = [mm] \alpha [/mm] (A) [mm] \cup [/mm] (B) für alle A,B [mm] \subset [/mm] X
b) [mm] \alpha [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subset \alpha [/mm] (A) [mm] \cap \alpha [/mm] (B) für alle A,B [mm] \cap [/mm] X
c) Die folgenden zwei Aussagen sind äquivalent:
c1) [mm] \vee [/mm] A, B [mm] \subset [/mm] X : [mm] \alpha [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] \alpha [/mm] (A) [mm] \cap \alpha [/mm] (B).
c2) [mm] \alpha [/mm] ist injektiv
Hinweis zu c1) [mm] \Rightarrow [/mm] c2): Falls [mm] \alpha [/mm] (a) = [mm] \alpha [/mm] (b) ist, so betrachte A:= {a} und B:= {b} |
hallo, wie kann man an diese Aufgaben rangehen? vor allem finde ich c) sehr schwer und habe keine Ahnung wie ich das lösen kann? hat jemand einen Ansatz oder einen Lösungsweg oder eine Erklärung für mich???
Klausi
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ich glaube, wir sitzen in der gleichen Vorlesung  Die Aufgabe kommt mir doch seeeehr bekannt vor
a) und b) sind nicht so schwer
Ansatz: du musst zeigen, dass die linke Seite Teilmenge der rechten Seite ist (falls du wirklich mit mir in der VL sitzt: da hat er das gemacht) und umgekehrt
dann
sei y [mm] \in \alpha [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B)
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) : [mm] \alpha [/mm] (x) = y
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : [mm] \alpha [/mm] (x) = y oder [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] B : [mm] \alpha [/mm] (x) = y
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in \alpha(A) [/mm] oder y [mm] \in \alpha [/mm] (B)
[mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in \alpha [/mm] (A) [mm] \cup \alpha [/mm] (B)
und dannhaltnochmal andersherum
gaaaanz sicher bin ich mir natürlich auch nicht
Aber: Ich brauch Hilfe beim letzten Teil, mit dem Beweis der Injektivität. Da weiß ich gar nciht weiter.
Mir ist nur klar dass wohl zeigen muss:
wenn [mm] \alpha [/mm] (a)= [mm] \alpha(b) [/mm] dann a=b
aber ich drhe mich da im Kreis
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> Seien X und Y zwei Mengen sowie [mm]\alpha[/mm] : X -->Y eine
> Abbildung. Beweisen Sie:
> a) [mm]\alpha[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) = [mm]\alpha[/mm] (A) [mm]\cup[/mm] (B) für alle A,B
> [mm]\subset[/mm] X
> b) [mm]\alpha[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\subset \alpha[/mm] (A) [mm]\cap \alpha[/mm] (B)
> für alle A,B [mm]\cap[/mm] X
> c) Die folgenden zwei Aussagen sind äquivalent:
> c1) [mm]\vee[/mm] A, B [mm]\subset[/mm] X : [mm]\alpha[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) = [mm]\alpha[/mm] (A)
> [mm]\cap \alpha[/mm] (B).
> c2) [mm]\alpha[/mm] ist injektiv
>
> Hinweis zu c1) [mm]\Rightarrow[/mm] c2): Falls [mm]\alpha[/mm] (a) = [mm]\alpha[/mm]
> (b) ist, so betrachte A:= {a} und B:= {b}
> hallo, wie kann man an diese Aufgaben rangehen?
Hallo,
Die eine Richtung für a) hat Dir die Kommilitonin ja schon gezeigt.
Die andere kriegst du dann bestimmt selber hin.
Aufgabe b) geht recht ähnlich:
Du startest mit einem y [mm] \in \alpha [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) und zeigst, daß es auch in [mm] \alpha [/mm] (A) [mm] \cap \alpha [/mm] (B) liegt.
zu c)
"==>" es gelte $ [mm] \vee [/mm] $ A, B $ [mm] \subset [/mm] $ X : $ [mm] \alpha [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) = $ [mm] \alpha [/mm] $ (A) $ [mm] \cap \alpha [/mm] $ (B).
Zu zeigen: dann ist [mm] \alpha [/mm] injektiv.
Seien a,b [mm] \in [/mm] X mit [mm] a\not= [/mm] b.
(Das Ziel der nun folgenden Bemühungen muß sein, nachzuweisen, daß dann auch [mm] \alpha [/mm] (a) [mm] \not= \alpha [/mm] (b) ist, denn dann hat man die Injektivität.)
Nun, wenn [mm] a\not= [/mm] b, dann ist [mm] \{a\} \cap \{b\}= [/mm] ...
Also ist
[mm] \alpha [/mm] ( [mm] \{a\} \cap \{b\})= [/mm] ...
[mm] =\alpha [/mm] ( [mm] \{a\}) \cap \alpha (\{b\}) [/mm] (nach Voraussetzung)
==> ???
und somit ist [mm] \alpha [/mm] ...
Für die Rückrichtung setzt Du [mm] \alpha [/mm] injektiv heraus.
zu zeigen ist:
i. $ [mm] \alpha [/mm] $ (A $ [mm] \cap [/mm] $ B) $ [mm] \subset \alpha [/mm] $ (A) $ [mm] \cap \alpha [/mm] $ (B)
und
ii. [mm] \alpha [/mm] (A) [mm] \cap \alpha [/mm] (B) [mm] \subset \alpha [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
i. hast Du bereits in b) gezeigt, das gilt ja immer.
ii) Seien A,B Teilmengen von X und sei
y [mm] \in \alpha [/mm] $ (A) $ [mm] \cap \alpha [/mm] (B)
==> es gibt ein a [mm] \in [/mm] A und ein b [mm] \in [/mm] B mit ???
==> [mm] \alpha(a) [/mm] = ...
Da [mm] \alpha [/mm] injektiv n.V., folgt ...
Also ist ... [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
==> y [mm] \in \alpha [/mm] ( A [mm] \cap [/mm] B)
Versuch mal, dich andiesem Gerüst entlangzuhangeln.
Gruß v. Angela
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