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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:21 Do 08.10.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Zeigen Sie für beliebige endliche Teilmengen A und B einer Menge R:
|A [mm] \cup [/mm] B |=|A|+|B|-|A [mm] \cap [/mm] B|
Man leite daraus eine entsprechende Formel für |A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C| her. (Mit |M| wird die Anzahl der Elemente von M bezeichnet). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Als Ergebnis erhalte ich |A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C| =|A|+|B|+|C|-|A [mm] \cap [/mm] B|-|A [mm] \cap [/mm] C|-|B [mm] \cap [/mm] C|+|A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C|
Stimmt das?
2. Wie zeige ich, dass die Gleichung in der Angabe richtig ist?
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Hallo Steirer,
Deine Lösung ist richtig.
Was steht Dir denn an Mitteln zur Verfügung?
Darfst Du z.B. ein ![[]](/images/popup.gif) Venn-Diagramm verwenden?
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:37 Fr 09.10.2009 | | Autor: | Steirer |
Ich habe dieses Beispiel über Venn Diagramme gelöst. Es soll aber mit mathematischen mitteln (umformen,..) gezeigt werden das die Gleichung richtig ist.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Reicht es wenn ich fogendes Zeige:
Die Teilmengen A und B setzen sich folgenderweise zusammen:
$|A|= [mm] |A\setminus [/mm] B|+|A [mm] \cap [/mm] B|$
$|B|= [mm] |B\setminus [/mm] A|+|A [mm] \cap [/mm] B|$
Die Gesamtmenge ist:
$|A [mm] \cup [/mm] B| = [mm] |A\setminus [/mm] B|+ [mm] |B\setminus [/mm] A|+|A [mm] \cap [/mm] B|$
Durch einsetzen der Teilmengen ergibt sich folgendes:
$|A [mm] \cup [/mm] B| =|A|+ [mm] |B\setminus [/mm] A|$
$|A [mm] \cup [/mm] B|=|A|+|B|-|A [mm] \cap [/mm] B|$
Was die Anfangsformel ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Fr 09.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Ist [mm] X=A_1\cup A_2\cup [/mm] ... [mm] \cup A_n [/mm] die disjunkte Vereinigung der (endlichen) Mengen [mm] A_i, [/mm] dann folgt [mm] $|X|=\sum_{i=1}^n|A_i|$. [/mm] Damit solltest du alles zeigen können, was du im wesentlich getan hast:
> Die Teilmengen A und B setzen sich folgenderweise
> zusammen:
> [mm]|A|= |A\setminus B|+|A \cap B|[/mm]
> [mm]|B|= |B\setminus A|+|A \cap B|[/mm]
Besser: A ist disjunkte Vereinigung von [mm]A\setminus B[/mm] und [mm]A\cap B[/mm], also folgt [mm] $|A|=|A\setminus B|+|A\cap [/mm] B|$ und analog [mm] $|B\setminus A|=|B|-|A\cap [/mm] B|$
> Die Gesamtmenge ist:
> [mm]|A \cup B| = |A\setminus B|+ |B\setminus A|+|A \cap B|[/mm]
Man hat die disjunkte Vereinigung [mm] $A\cup B=(A\setminus B)\cup (A\cap B)\cup(B\setminus [/mm] A)$ und damit ist nach den obigen beiden Formeln
[mm] $$|A\cup B|=(|A\setminus B|+|A\cap B|)+|B\setminus A|=|A|+(|B|-|A\cap [/mm] B|)$$
> Durch einsetzen der Teilmengen ergibt sich folgendes:
> [mm]|A \cup B| =|A|+ |B\setminus A|[/mm]
> [mm]|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|[/mm]
> Was die Anfangsformel ist.
Gruß, Robert
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