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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Mi 26.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Sei [mm] M_{1} [/mm] := [mm] \IR M_{2} [/mm] := [mm] \IZ M_{3}:= [/mm] { [mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] } [mm] M_{4}:= [/mm] [-1, 1] und [mm] M_{5} [/mm] := {0;1} Bestimmen Sie folgende Mengen:
(a) [mm] M_{1} \cup M_{2}
[/mm]
(b) [mm] M_{2} \cap M_{3}
[/mm]
(c) [mm] M_{3} \cup M_{4}
[/mm]
(d) [mm] (M_{4} \cap M_{5}) \cup M_{2}
[/mm]
(e) [mm] M_{2} \setminus M_{3}
[/mm]
(f) [mm] M_{5} \setminus (M_{4} \setminus M_{3})
[/mm]
(g) [mm] M_{2} \setminus (M_{1} \cap M_{3})
[/mm]
(h) P( [mm] M_{5} [/mm] )
(i) [mm] P((M_{5} \cap M_{2}) \setminus M_{3})
[/mm]
Hallo,
ich habe nochmal eine Aufgabe bei der ich etwas Hilfe bräuchte. Ich habe auch hier versucht sowiel wie möglich zu lösen. Es wäre nett wenn ihr mir bei den Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme etwas helfen könntet. Danke schon mal :)
(a) M1 [mm] \cup [/mm] M2:= {x [mm] \in \IR [/mm] }
(b) M1 [mm] \cap [/mm] M2:= { [mm] x^a [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] }
(c) [mm] M3\cup [/mm] M4:= ?? (alle reelen Quadratzahlen und alle Zahlen des Intervalls [-1; 1] aber wie schreib ich das?)
(d) (M4 [mm] \cup [/mm] M5) [mm] \cup [/mm] M2:= [mm] \IZ
[/mm]
[mm] (e)M_{2} \setminus M_{3}:= [/mm] ?? (alle ganzen Zahlen außer die quadratischen oder? Und wie drück ich das nun in Zeichen/Symbolen aus?)
(f) [mm] M_{5} \setminus (M_{4} \setminus M_{3}):= [/mm] { {0;1} \ [-1, 0] } = (ich weiß hier nicht ob ich die 0 nun zu den Quadratzahlen zähle oder nicht. Ich hab damals (also vor 2002) in der Schule gelernt, dass sie nicht als Quadratzahl zählt da man aus ihr auch keine Wurzel ziehen kann. Ich habe aber von anderen Studenten gehört das manche sie auch dazu zählen - da null mal null gleich null ist...)
zählt man sie dazu müsste die Antwort {1} seien und ansonsten {0;1}
(g) [mm] M_{2} \setminus (M_{1} \cap M_{3}):=\IZ [/mm] \ ( [mm] \IR \cap x^{2} [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] )= alle [mm] \IZ [/mm] außer die quadrat Zahlen (kann man sowas eigentlich auch als Satz hinschreiben?)
(h) P ( [mm] M_{5} [/mm] ):= { [mm] \emptyset[/mm], [/mm] {0}, {1}, {1,0} }
(i) [mm] P((M_{5} \cap M_{2} [/mm] ) [mm] \setminus M_{3}):= [/mm] da kommt es wieder darauf an ob man die 0 zu den Quadratzahlen zählt, wenn dann
[mm] :=\emptyset [/mm] sonst
:= {0}
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> Sei [mm]M_{1}[/mm] := [mm]\IR M_{2}[/mm] := [mm]\IZ M_{3}:=[/mm] { [mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR}[/mm] [mm]M_{4}:=[/mm] [-1, 1] und [mm]M_{5}[/mm] := {0;1} Bestimmen Sie folgende
> Mengen:
>
> (a) [mm]M_{1} \cup M_{2}[/mm]
> (b) [mm]M_{2} \cap M_{3}[/mm]
> (c) [mm]M_{3} \cup M_{4}[/mm]
>
> (d) [mm](M_{4} \cap M_{5}) \cup M_{2}[/mm]
> (e) [mm]M_{2} \setminus M_{3}[/mm]
>
> (f) [mm]M_{5} \setminus (M_{4} \setminus M_{3})[/mm]
> (g) [mm]M_{2} \setminus (M_{1} \cap M_{3})[/mm]
>
> (h) P( [mm]M_{5}[/mm] )
> (i) [mm]P((M_{5} \cap M_{2}) \setminus M_{3})[/mm]
>
>
> Hallo,
>
> ich habe nochmal eine Aufgabe bei der ich etwas Hilfe
> bräuchte. Ich habe auch hier versucht sowiel wie möglich
> zu lösen. Es wäre nett wenn ihr mir bei den Aufgaben, bei
> denen ich nicht weiterkomme etwas helfen könntet. Danke
> schon mal :)
>
> (a) M1 [mm]\cup[/mm] M2:= [mm] $\{x \in \IR \}$
[/mm]
$= [mm] \IR$, [/mm] ja^^
> (b) M1 [mm]\cap[/mm] M2:= [mm] $\{ x^a : x \in \IR \}$
[/mm]
oben steht [mm] $M_2 \cap M_3$...
[/mm]
> (c) [mm]M3\cup[/mm] M4:= ?? (alle reelen Quadratzahlen und alle
> Zahlen des Intervalls [-1; 1] aber wie schreib ich das?)
schreib dir erstmal die Menge aller Quadratzahlen anders hin.
Welche reele Zahl ist Quadrat einer anderen reelen Zahl?
Dann dürfte sich das Problem klären.
> (d) (M4 [mm]\cup[/mm] M5) [mm]\cup[/mm] M2:= [mm]\IZ[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](e)M_{2} \setminus M_{3}:=[/mm] ?? (alle ganzen Zahlen außer
> die quadratischen oder? Und wie drück ich das nun in
> Zeichen/Symbolen aus?)
auch hier wieder: Finde erstmal heraus, was genau [mm] $M_3$ [/mm] ist.
> (f) [mm]M_{5} \setminus (M_{4} \setminus M_{3}):=[/mm] { {0;1} \
> [-1, 0] } = (ich weiß hier nicht ob ich die 0 nun zu den
> Quadratzahlen zähle oder nicht. Ich hab damals (also vor
> 2002) in der Schule gelernt, dass sie nicht als Quadratzahl
> zählt da man aus ihr auch keine Wurzel ziehen kann. Ich
> habe aber von anderen Studenten gehört das manche sie auch
> dazu zählen - da null mal null gleich null ist...)
>
> zählt man sie dazu müsste die Antwort {1} seien und
> ansonsten {0;1}
Also das hab ich ehrlich gesagt noch nie gehört, dass die 0 nicht dazu zählen soll...
[mm] $\sqrt{0} [/mm] = 0$, davon kannst du auf jeden Fall ausgehen. ;)
> (g) [mm]M_{2} \setminus (M_{1} \cap M_{3}):=\IZ[/mm] \ ( [mm]\IR \cap x^{2}[/mm]
> : x [mm]\in \IR[/mm] )= alle [mm]\IZ[/mm] außer die quadrat Zahlen (kann man
> sowas eigentlich auch als Satz hinschreiben?)
nö, kann man nicht :P
vor allem weil man bei "Quadratzahlen" meist ganze Zahlen meint, die Quadratzahlen sind (also deren Wurzel eine ganze Zahl ist).
Auch hier wieder: Guck dir an was alles Quadrat einer reelen Zahl ist, dann wirst du sehen wieso das so ist und wie das alles passt. ;)
> (h) P ( [mm]M_{5}[/mm] ):= { [mm] $\emptyset, [/mm] {0}, {1}, {1,0} }
> (i) [mm]P((M_{5} \cap M_{2}[/mm] ) [mm]\setminus M_{3}):=[/mm] da kommt es
> wieder darauf an ob man die 0 zu den Quadratzahlen zählt,
> wenn dann
> [mm]:=\emptyset[/mm] sonst
> := {0}
Die Null zählt dazu, aber dennoch ist die Potenzmenge der leeren Menge nicht die leere Menge! (beliebte Anfängeraufgabe, berechne [mm] $P(P(P(\emptyset)))$^^)
[/mm]
Also, wie bereits oftmals gesagt: Finde herraus was genau alles in [mm] $M_3$ [/mm] drinn ist. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Do 27.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo,
danke für deine Antwort. Ein bisschen was war ja richtig :) Ich hab mir mal Gedanken zu M3 gemacht, allerdings fällt mir zu den Quadratzahlen nur ein, dass sie als [mm]x^2[/mm] dargestellt werden, also das Produkt zweier gleicher Zahlen sind. Um auf diese Zahl (also x zu kommen) müsste ich die Wurzel aus dem Ergebnis ziehen. Aber irgendwie stehen mir meine Gedanken wohl selbst im Weg und ich habe keine Ahnung wie ich da nun auf die restlichen [mm]\IZ[/mm]kommen soll?
x - [mm] \wurzel{x} [/mm] : x [mm] \in \IZ [/mm] ??
zu (b) die Aufgabe heißt [mm] M_{1} \cap M_{3} [/mm] : = { [mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] } ?
und zu (i) da fehlen hoffentlich "nur" die Klammern, also P [mm] ((M_{5} \cap M_{2}) \setminus M_{3}):= {{\emptyset}}
[/mm]
und von der extra Aufgabe mag ich nun auch die Antwort wissen :)
[mm] P(P(P(\emptyset))) [/mm] := { [mm] \emptyset, [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset [/mm] } } ???
:)
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Hallo,
eine Teilantwort:
> und von der extra Aufgabe mag ich nun auch die Antwort
> wissen :)
>
> [mm]P(P(P(\emptyset)))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]\emptyset,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, { [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, { [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} } ???
Nein, hier hast du das Element [mm]\{\emptyset\}[/mm] dreimal aufgeschrieben, das ist also zweimal redundant, die Menge oben ist identisch mit
[mm]\{\emptyset,\{\emptyset\}\}[/mm], und das ist [mm]=\mathcal{P}(\mathcal{P}(\emptyset))[/mm]
Bestimme hiervon noch die Potenzmenge, sie muss 4 Elemente enthalten ...
>
> :)
Gruß
schachuzipus
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Wurzeln, ja, das ist schonmal ein gutes Stichwort.
Schau dir mal folgende Liste von Zahlen an und sag mir welche davon in [mm] $M_3$ [/mm] drinn sind und welche nicht, das dürfte dir schon eine gewisse Idee geben wie genau [mm] $M_3$ [/mm] aussieht.
[1, 2, 1.5, 2/3, 0, -1, 12.734, -0.0001, 0.0001, 1.123,...]
Wenn du dann die Vermutung erstmal hast dann ist es auch sehr leicht einzusehen wieso sie gilt, aber ich will dir ja nicht den Spaß nehmen es selbst zu entdecken. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:16 Do 27.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Also da mir [mm] P(P(P(\emptyset))) [/mm] auch keine Ruhe lässt, hier noch ein Versuch dazu := P(P({ [mm] \emptyset, [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] }})) = P({ [mm] \emptyset, [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] },{ [mm] \emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset [/mm] }}) = { [mm] \emptyset, [/mm] { [mm] \emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset, \emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset, \emptyset,\emptyset [/mm] }, { [mm] \emptyset,\emptyset,\emptyset,\emptyset [/mm] }}) ??
Nun zurück zu meinen Übungsaufgaben. Jede deiner Zahl kann bei [mm] \wurzel{x}[/mm], x\in \IR[/mm] [/mm] herauskommen, außer die negativen. Aus einer negativen kann ich keine Wurzel ziehen, allerdings kann ich sie quadrieren. Also ist mein Ergebnis schon mal immer nur positiv. [mm] 0\leq [/mm] ....
Auf der anderen Seite lässt sich doch jede beliebige Zahl [mm] \in \IR [/mm] quadrieren. Also ist [mm][mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] sowohl positiv, als auch negativ.
Ich weiß noch nicht wie mich das weiter bringt (vielleicht hilft ein Kaffee beim nachdenken)
Gruß Maria
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Hallo Maria,
das solltest du editieren, der erste Teil ist komplett unleserlich.
Mengenklammern musst du mit vorangehendem Backslash machen, also
\{\emtyset\}
etwa für [mm] $\{\emptyset\}$
[/mm]
Beachte jeweils den Backslash vor der öffnenden und schließenden Mengenklammer.
Genauso für weitere Verschachtelungen ...
Gruß
schachuzipus
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genau. ;)
Also bezeichne [mm] $\IR_0^+ [/mm] = [mm] \{x \in \IR | x \geq 0 \}$ [/mm] dann hast du bereits begründet, dass [mm] $M_3 \subseteq \IR_0^+$, [/mm] denn du hast ja gesagt, dass jede Zahl in [mm] $M_3$ [/mm] größer oder gleich 0 sein muss.
Gibt es eine reelle Zahl [mm] $\geq [/mm] 0$, die sich nicht als Quadrat einer reellen Zahl schreiben lässt?
Oder gilt sogar [mm] $M_3 [/mm] = [mm] \IR_0^+$ [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Do 27.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Ich denke jede positive [mm]\IR[/mm] lässt sich quadrieren. Also wäre es sogar [mm] M_{3} [/mm] = [mm]\IR^+_{0}[/mm] Daraus ergeben sich dann folgende Antworten
(b) [mm]M_{2} \cap M_{3}[/mm] := [mm]x\in\IZ^+_{0}[/mm]
(c) [mm]M_{3} \cup M_{4}[/mm] := [mm]\IR_{0}^+[/mm]
(e) ( [mm] M_{3} \cup M_{4}) \cap M_{5}:= [/mm] {0,1}
(f) M2 \ M3 := x [mm] \in \IZ^- [/mm] / {0}
(g) M5 \ ( M4 \ M3 ) := {0,1} \ [-1;0) = {1,0}
(h) [mm]m_{2} \setminus (M_{1} \cap M_{3)}[/mm] := [mm]\IZ_{0}^-[/mm]
(j) P(( [mm] M_{5} \cap M_{2}\M_{3}) [/mm] := {0,1} \ [mm]\IR^+_{0}[/mm] := { [mm] \emptyset [/mm] }
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> Ich denke jede positive [mm]\IR[/mm] lässt sich quadrieren. Also
> wäre es sogar [mm]M_{3}[/mm] = [mm]\IR^+_{0}[/mm]
Ja und nein.
[mm] $M_3 [/mm] = [mm] \{ x^2 | x \in \IR \}$
[/mm]
Das ist die Menge aller [mm] $x^2$, [/mm] wobei x eine reele Zahl ist.
Es lässt sich jede reele Zahl quadrieren, ja, aber die Frage ist, ob du damit alle erwischst.
Man könnte ja wenn man lustig ist [mm] $x^2 [/mm] = 1$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] definieren, dann wäre [mm] $M_3 [/mm] = [mm] \{ 1 \}$. [/mm]
Für ein weiteres Beispiel:
[mm] $\{x^2 | x \in \IN \} [/mm] = [mm] \{1,4,9,\cdots \}$
[/mm]
Es lassen sich auch alle natürlichen Zahlen quadieren, aber dennoch ist die Menge aller Quadratzahlen nicht ganz [mm] $\IN$.
[/mm]
Es stimmt schon, dass in [mm] $M_3$ [/mm] alle nicht-negativen reellen Zahlen drin sind, aber die Begründung passt überhaupt nicht.
Ich hoffe das war nur ein kleiner Denkfehler und dir ist eigentlich klar wie es richtig sein sollte.
Wenn nicht guck dir nochmal ganz genau Definitionen von Mengen an, wofür die Doppelpunkte da stehen, etc. , denn das wirst du immer wieder brauchen.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 So 30.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Hallo,
ich hab nochmal über das was du geschrieben hast nachgedacht.
Die Menge M3 ist demnach definiert für alle [mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] -> da sich sowohl die pos. als auch die neg. reelen Zahlen quadrieren lassen.
Die sich daraus ergebenden Elemente können aber nur die pos. (und 0) reelen Zahlen sein [mm]\IR_{0}^+[/mm]
[mm] M_{3} [/mm] := { [mm] x^2 [/mm] : x [mm] \in \IR [/mm] }
[mm] M_{3} [/mm] := {x [mm] \in \IR \setminus [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0}
[mm] M_{3} [/mm] = { [mm] \IR^+_{0} [/mm] }
demnach würde sich dann für
[mm] M_{2} [/mm] \ [mm] (M_{1} \cap M_{3} [/mm] ) := [mm] \IZ \setminus \IR^+_{0} [/mm] := [mm] \IZ_{-} [/mm] / {0}
hoffentlich ist das jetzt besser.
Gruß Maria
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 So 30.10.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo,
>
> ich hab nochmal über das was du geschrieben hast
> nachgedacht.
>
> Die Menge M3 ist demnach definiert für alle [mm]x^2 : x \in \IR[/mm]
> -> da sich sowohl die pos. als auch die neg. reelen Zahlen
> quadrieren lassen.
>
> Die sich daraus ergebenden Elemente können aber nur die
> pos. (und 0) reelen Zahlen sein [mm]\IR_{0}^+[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
>
>
> M_{3} := \{[mm] x^2 : x \in \IR [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> \}
> M_{3} := \{[mm]x \in \IR \setminus x \in \IR [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> \}
> M_{3} := \{[mm]\IR^+_{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> \}
>
> demnach würde sich dann für
> M_{2}\ \(M_{1} [mm]\cap[/mm] [mm]M_{3} \)[/mm] := [mm]\IZ \setminus \IR^+_{0} := \IZ_{-}[/mm]
> / [mm]\{0\}[/mm]
>
Das stimmt.
FRED
> hoffentlich ist das jetzt besser.
>
> Gruß Maria
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 So 30.10.2011 | | Autor: | APinUSA |
Danke für eure Gedult mit mir :)
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