Mengen kompakt? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Do 24.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Welche der folgenden Teilmengen des [mm] IR^2 [/mm] sind kompakt?
a) M= {(x,y) [mm] \in IR^2; x^3+3xy+y^2 [/mm] <1}
b) Seien [mm] f,g:IR^2-->IR [/mm] zwei stetige Funktionen und L={(x,y) [mm] \in [0,1]^2; g(x,y)=f(x,y)^2 [/mm] } |
c) M={(x,y,z) [mm] \in IR^3: 2x^2+3y^2+4z^2 \ge [/mm] 1}
Hallo
a) Die Menge ist nicht kompakt, weil sie nicht abgeschlossen ist, denn
(0, [mm] 1-\bruch{1}{n}) [/mm] geht gegen (0,1) für n gegen unendlich, aber (0,1) [mm] \in [/mm] M.
b) Da f und g stetig auf einem kompakten Intervall sind, ist g([0,1]) kompakt und [mm] f([0,1])^2 [/mm] kompakt
c) M ist kompakt, da abgeschlossen und beschränkt. Denn [mm] ||(x,y,z)||^2 \le 2x^2+3y^2+4z^2 \le [/mm] 1. Und da [mm] f:IR^3-->IR, f(x)=2x^2+3y^2+4z^2 [/mm] stetig, ist M als Urbild der abgeschlossenen Menge {1} unter der stetigen Funktion kompakt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche der folgenden Teilmengen des [mm]IR^2[/mm] sind kompakt?
habt ihr "kompakt [mm] $\iff$ [/mm] beschränkt und abgeschlossen" definiert? (Die *bessere*
Variante ist die topologische - "Jede offene Überdeckung enthält eine endliche
Teilüberdeckung". Im obigen Falle sind diese Definitionen - es wäre auch
schlecht, wenn es anders wäre - aber gleichwertig. Und zum schnellen
Arbeiten ist obiges sicher hier besser!)
> a) M= [mm] \{(x,y) \in IR^2; x^3+3xy+y^2<1\}
[/mm]
> b) Seien [mm] f,g:\IR^2-->\IR [/mm] zwei stetige Funktionen und
> [mm] L=\{(x,y) \in [0,1]^2; g(x,y)=f(x,y)^2\}
[/mm]
>
> c) [mm] M=\{(x,y,z)\in IR^3: 2x^2+3y^2+4z^2 \ge 1\}
[/mm]
> Hallo
>
> a) Die Menge ist nicht kompakt, weil sie nicht
> abgeschlossen ist, denn
> (0, [mm]1-\bruch{1}{n})[/mm] geht gegen (0,1) für n gegen
> unendlich, aber (0,1) [mm]\in[/mm] M.
Du meinst: $(0,1) [mm] \red{\;\notin\;} [/mm] M$ am Ende. (Begründung?)
Zudem solltest Du
[mm] $(0,1-\tfrac{1}{n}) \in [/mm] M$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
begründen. Du brauchst ja eine Folge aus M, die in [mm] $\IR^2$ [/mm] konvergiert, deren
[mm] ($\IR^2$-)Grenzwert [/mm] aber nicht in [mm] $M\,$ [/mm] liegt.
> b) Da f und g stetig auf einem kompakten Intervall sind,
> ist g([0,1]) kompakt und [mm]f([0,1])^2[/mm] kompakt
Es geht aber nicht um die Bilder, sondern es geht um
die Menge aller [mm] $(x,y)\,$ [/mm] mit [mm] $g(x,y)=f^2(x,y)\,,$ [/mm] (mit zudem $0 [mm] \le [/mm] x,y [mm] \le [/mm] 1$)
das ist eine Teilmenge des Definitionsbereichs - Du wirst gleich sehen, dass
das eine bestimmte Urbildmenge ist.
Setze
[mm] $h(x,y):=f^2(x,y)-g(x,y)$ [/mm] (ich schreibe [mm] $f^2(x,y)$ [/mm] für [mm] $(f(x,y))^2$)
[/mm]
für $(x,y) [mm] \in\IR \times \IR\,.$
[/mm]
Dann ist $h [mm] \colon \IR^2 \to \IR$ [/mm] stetig, weil...?
Die Menge
[mm] $\{0\} \subseteq \IR$
[/mm]
ist (offensichtlich) kompakt, weil...
Also ist
[mm] $L':=h^{-1}(\{0\})$
[/mm]
als Urbild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion...?
Edit: Eben habe ich noch etwas übersehen: Um hier [mm] $L\,$ [/mm] zu erhalten,
musst Du
$L=L' [mm] \cap [0,1]^2=h^{-1}(\{0\}) \cap [0,1]^2$
[/mm]
betrachten. Das ist aber nur der Schnitt zweier (und damit endlich vieler)
kompakter Mengen, der ist folglich auch...?
> c) M ist kompakt, da abgeschlossen und beschränkt. Denn
> [mm]||(x,y,z)||^2 \le 2x^2+3y^2+4z^2 \le[/mm] 1. Und da [mm]f:\IR^3-->\IR, f(x)=2x^2+3y^2+4z^2[/mm]
> stetig, ist M als Urbild der abgeschlossenen Menge {1}
> unter der stetigen Funktion kompakt.
???
[mm] $\|(x,y,z)\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \le 2x^2+3y^2+4z^2$ [/mm] sehe ich ein.
weiterer Edit: Auch das würde ich doch eher erst nach einem Nachrechnen
einsehen...
Aber die rechte Seite ist dummerweise [mm] $\ge [/mm] 1 [mm] \,.$ [/mm] Da fängt's schon an.
Also:
Dass
[mm] $M=\{(x,y,z)\in IR^3: 2x^2+3y^2+4z^2 \ge 1\} [/mm] $
unbeschränkt ist, ist schon durch Betrachten der Folge
[mm] $((0,0,n))_n \in M^{\IN}$
[/mm]
klar. Oder sollte anstatt des [mm] $\ge [/mm] 1$ da ein [mm] $\le [/mm] 1$ stehen? Dann wäre der
Beweis für die Beschränktheit, wenn Du am Anfang "Sei $(x,y,z) [mm] \in [/mm] M$" ergänzt, okay.
Edit: Man könnte jedenfalls die Beschränktheit beweisen - aber man müsste
es doch ein wenig anders machen. Etwa (wegen Monotonie der Wurzelfunktion)
[mm] $\sqrt{x^2+y^2+z^2} \le \sqrt{2x^2+3y^2+4z^2} \le \sqrt{1}=1\,.$
[/mm]
Das Problem bei Dir ist, dass [mm] $\sqrt{x} \ge [/mm] x$ für $0 < x < 1$ gilt.
Aber Du kannst es auch anders machen:
Wir setzen
$s [mm] \colon \IR^3 \to \IR$ ($f\,$ [/mm] war schon in einer anderen Aufgabe vergeben)
durch
[mm] $s(x,y,z):=2x^2+3y^2+4z^2$
[/mm]
fest.
Eine Begründung, warum [mm] $s\,$ [/mm] stetig ist, ist Dir sicherlich klar, oder? In Aufgabe
c) ist [mm] $M\,$ [/mm] dann nichts anderes als
[mm] $s^{-1}([0,1])$ [/mm] (sofern denn, wie gesagt, dass [mm] $\ge [/mm] 1$ eigentlich ein [mm] $\le [/mm] 1$ sein soll).
Und $[0,1] [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist (offensichtlich) kompakt, also ist das Urbild einer kompakten
Menge unter einer stetigen Funktion alsdann...?
(Alternativ kannst Du hier natürlich auch mit Folgen aus [mm] $M\,$ [/mm] arbeiten, die in [mm] $\IR^3$
[/mm]
konvergieren. Eine solche Folge aus [mm] $M\,$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn jede
(der drei) "Koordinatenfolge(n)" in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert. Falls das nicht bekannt ist, kann ich
Dir dazu auch gerne eine Quelle geben.)
Edit: Vielleicht habe ich am Ende zu viel durchgestrichen, aber den Quatsch
meiner Behauptung, dass Urbilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen
kompakt wären, kann ich so nicht stehen lassen... Ich schreibe vielleicht später
nochmal eine neue Antwort.
Vielleicht sieht jemand wie etwa Fred97 Deine Frage und korrigiert das mal,
oder gibt Dir richtige Tipps. 
Ich denke, Du kannst aber die Abgeschlossenheit bei b) noch aus der Stetigkeit
von [mm] $h\,$ [/mm] folgern. Die Beschränktheit dort ist wegen [mm] $\subseteq [0,1]^2$ [/mm] klar.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 24.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke für deine ausführliche Antwort!
Bei c) steht ein [mm] \le, [/mm] sorry.
Ich dachte die Begründung dass [mm] ||(x,y,z)||^2 [/mm] = [mm] x^2+^y^2+z^2 \le 2x^2+3y^2+4z^2 \le [/mm] 1 wäre ok. Denn wir hatten in der Vorlesung ein ähnliches Beispiel, bloß dass dort ein = und kein [mm] \le [/mm] stand Da haben wir das dann genauso geschrieben.
Dass das das Urbild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion kompakt ist, war mir bisher nicht bekannt. Ich weiß nur: Wenn f stetig ist und M Urbild einer abgeschlossenen Menge ist unter der stetigen Funktion f, dann ist M abgeschlossen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 24.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine ausführliche Antwort!
>
> Bei c) steht ein [mm]\le,[/mm] sorry.
> Ich dachte die Begründung dass [mm]||(x,y,z)||^2[/mm] =
> [mm]x^2+^y^2+z^2 \le 2x^2+3y^2+4z^2 \le[/mm] 1 wäre ok. Denn wir
> hatten in der Vorlesung ein ähnliches Beispiel, bloß dass
> dort ein = und kein [mm]\le[/mm] stand Da haben wir das dann genauso
> geschrieben.
ja, ich hab' Dich falsch zitiert: Ich hatte
[mm] $\|(x,y,z)\| \le 2x^2+3y^2+4z^2$
[/mm]
gelesen, Du hast aber
[mm] $\|(x,y,z)\|\red{2}$ $\le$ $2x^2+3y^2+4z^2$
[/mm]
geschrieben. Ersteres geht nicht, letzteres schon!
> Dass das das Urbild einer kompakten Menge unter einer
> stetigen Funktion kompakt ist, war mir bisher nicht
> bekannt. Ich weiß nur: Wenn f stetig ist und M Urbild
> einer abgeschlossenen Menge ist unter der stetigen Funktion
> f, dann ist M abgeschlossen.
Uh, da hab' ich Dir auch Käse erzählt. Das muss ich nochmal korrigieren.
Dass das, was ich gesagt habe, gar nicht stimmen kann, kannst Du Dir
schon mit
[mm] $f(x,y):=0\,$
[/mm]
klarmachen - definiert auf ganz [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") - aber das kann ich auch erst später nochmal korrigieren...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:06 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also auf ein Neues, eine korrigierte Antwort:
> a) M= [mm] \{(x,y) \in IR^2; x^3+3xy+y^2<1\}
[/mm]
Du hattest erkannt, dass die Menge nicht abgeschlossen sein kann, folglich
kann sie nicht kompakt sein.
> b) Seien [mm] f,g:\IR^2-->\IR [/mm] zwei stetige Funktionen und
> [mm] L=\{(x,y) \in [0,1]^2; g(x,y)=f(x,y)^2\}
[/mm]
Hier: Wegen $L [mm] \subseteq [0,1]^2$ [/mm] und weil [mm] $[0,1]^2$ [/mm] beschränkt ist, ist [mm] $L\,$ [/mm] auch
beschränkt.
Setzen wir nochmal
[mm] $h(x,y):=f^2(x,y)-g(x,y)$
[/mm]
und es reicht, [mm] $h\,$ [/mm] auf [mm] $[0,1]^2$ [/mm] zu definieren. Dort ist ja nun die Frage, ob
[mm] $h^{-1}(\{0\})$ [/mm] (beachte, dass ich hier nun [mm] $h\,$ [/mm] nur auf [mm] $[0,1]^2$ [/mm] definiere)
kompakt ist. Dazu müssen wir uns noch Gedanken zur Abgeschlossenheit
machen:
Seien also [mm] $(x_n,y_n) \in [0,1]^2$ [/mm] mit [mm] $h(x_n,y_n)=0$ [/mm] für
alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und [mm] $(x_n,y_n) \to (x_0,y_0)\,.$ [/mm]
Dann gilt (in [mm] $\IR$)
[/mm]
[mm] $x_n \to x_0$ [/mm] und [mm] $y_n \to y_0\,.$
[/mm]
Aus $0 [mm] \le x_n \le [/mm] 1$ folgt dann
$0 [mm] \le x_0 \le [/mm] 1$
und analog sehen wir
$0 [mm] \le y_0 \le [/mm] 1$
ein. Die Stetigkeit von [mm] $h\,$ [/mm] impliziert sodann
[mm] $0=h(x_n,y_n) \to h(x_0,y_0)\,,$
[/mm]
was wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes
[mm] $h(x_0,y_0)=0$
[/mm]
zur Folge hat. Also gilt
[mm] $(x_0,y_0) \in [0,1]^2$ [/mm] und [mm] $h(x_0,y_0)=0\,,$
[/mm]
also
[mm] $(x_0,y_0) \in L\,.$
[/mm]
[mm] $L\,$ [/mm] ist also abgeschlossen, und da die Beschränktheit, siehe oben, trivial
ist, ist [mm] $L\,$ [/mm] kompakt.
> c) [mm] M=\{(x,y,z)\in IR^3: 2x^2+3y^2+4z^2 \le 1\}
[/mm]
Die Beschränktheit hattest Du mit
[mm] $\forall$ [/mm] $(x,y,z) [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\Rightarrow$ $\|(x,y,z)\|^\red{^2}=x^2+y^2+z^2 \le 2x^2+3y^2+4z^2 \le [/mm] 1$
begründet. Wir brauchen noch die Abgeschlossenheit:
Sei
[mm] $s(x,y,z):=2x^2+3y^2+4z^2$ [/mm] auf [mm] $\IR^3$
[/mm]
definiert. Seien nun [mm] $(x_n,y_n,z_n) \in [/mm] M$ konvergent gegen [mm] $P:=(x_0,y_0,z_0) \in \IR^3\,.$
[/mm]
Wir haben
$P [mm] \in [/mm] M$
nachzuweisen:
Analog zu eben wissen wir
[mm] $x_n \to x_0\,,$ $y_n \to y_0$ [/mm] und [mm] $z_n \to z_0$
[/mm]
sowie für alle [mm] $n\,$
[/mm]
[mm] $2{x_n}^2+3{y_n}^2+4{z_n}^2 \le 1\,.$
[/mm]
Die Folge
[mm] $(a_n)_n$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=2{x_n}^2+3{y_n}^2+4{z_n}^2$
[/mm]
erfüllt folglich:
[mm] $a_n \to a_0:=2{x_0}^2+3{y_0}^2+4{z_0}^2$
[/mm]
(Dafür kann man mit Rechenregeln für konvergente Folgen argumentieren,
oder halt damit, dass [mm] $s\,$ [/mm] stetig in [mm] $P\,$ [/mm] ist!)
sowie
[mm] $a_n \le [/mm] 1$ für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Aus diesen beiden Beziehungen folgt auch
[mm] $a_0 \le 1\,,$
[/mm]
was
[mm] $2{x_0}^2+3{y_0}^2+4{z_0}^2 \le [/mm] 1$
zur Folge hat. Also folgt
[mm] $P=(x_0,y_0,z_0) \in M\,.$
[/mm]
(Beachte: Da wir eine beliebige Folge aus [mm] $M\,$ [/mm] hergenommen haben, und gezeigt
haben, dass, wenn diese in [mm] $\IR^3$ [/mm] konvergiert, der [mm] $\IR^3$-Grenzwert [/mm] auch
in [mm] $M\,$ [/mm] liegen muss, haben wir gezeigt:
Für ALLE Folgen in [mm] $M\,,$ [/mm] die in [mm] $\IR^3$ [/mm] konvergieren, folgt, dass deren [mm] $\IR^3$-Grenzwert
[/mm]
zu [mm] $M\,$ [/mm] gehört!)
Also ist [mm] $L\,$ [/mm] abgeschlossen.
P.S. Ergänzung: Sei [mm] $(r_n)_n$ [/mm] eine reelle Folge mit
[mm] $r_n \le [/mm] S$ für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Behauptung: Aus [mm] $r_n \to r_0$ [/mm] folgt [mm] $r_0 \le S\,.$
[/mm]
Beweis: Wir zeigen
[mm] $r_0 [/mm] < [mm] S+\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$
[/mm]
was die Behauptung impliziert:
Weil der direkte Beweis eigentlich absolut trivial ist, führe ich hier mal, rein
aus didaktischen Gründen, einen Widerspruchsbeweis. Wir nehmen an, es
wäre doch [mm] $r_0 [/mm] > [mm] S\,.$ [/mm] Setze
[mm] $\epsilon:=r_0 [/mm] - [mm] S\,,$
[/mm]
dann folgt
[mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Nach "Definition Grenzwert einer konvergenten Folge" folgt aus [mm] $r_n \to r_0$ [/mm] alsdann:
Zu diesem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein [mm] $N=N_\epsilon$ [/mm] mit
[mm] $r_0 [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] r_n [/mm] < [mm] r_0+ \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Insbesondere
[mm] $r_0 [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] r_N [/mm] < [mm] r_0+\epsilon\,.$
[/mm]
Dann folgt aber
[mm] $r_0-\epsilon=r_0-(r_0-S)=S [/mm] < [mm] r_N\,.$
[/mm]
Wegen
[mm] $r_n \le [/mm] S$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
muss aber
[mm] $r_N \le S\,$
[/mm]
sein. Wir erhalten die unvereinbaren beiden Ungleichungen
[mm] $r_N \le [/mm] S$ und [mm] $r_N [/mm] > S$ (was gleichbedeutend mit [mm] $r_N \in ]-\infty,S] \cap ]S,\infty[=\varnothing$ [/mm] ist).
Widerspruch. Die Annahme [mm] $r_0 [/mm] > S$ ist also zu verwerfen, es kann nur [mm] $r_0 \le [/mm] S$ wahr sein.
P.P.S. Den obige Widerspruchsbeweis habe ich nur aus didaktischen Gründen
gemacht - ich finde, dass man sich das Ganze gut am Zahlenstrahl
veranschaulichen kann.
Damit Du siehst, dass diese Folgerung eigentlich trivial ist, hier dann doch
mal der kurze, direkte Beweis (der eigentlich auch einen Widerspruch enthält):
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so folgt für alle $n [mm] \ge$ [/mm] einem [mm] $N=N_{\epsilon}$
[/mm]
[mm] $r_0 -{\epsilon} [/mm] < [mm] r_n [/mm] < [mm] r_0+{\epsilon}\,.$
[/mm]
Im Falle $S < [mm] r_0$ [/mm] könnten wir [mm] $\epsilon:=r_0-S$ [/mm] einsetzen und erhielten insbesondere
$S < [mm] r_n$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Das passt aber nicht mit [mm] $r_n \le [/mm] S$ für alle [mm] $n\,$ [/mm] zusammen! Der eigentliche
"direkte" Beweisteil hier ist eher:
Aus $S < [mm] r_0$ [/mm] und [mm] $r_n \to r_0$ [/mm] folgt
[mm] $r_n [/mm] > S$ für unendlich viele [mm] $n\,.$
[/mm]
Insofern ist das ein direkter Beweis. (Den ich, in der obigen Formulierung,
aber doch eher als Widerspruchsbeweis verpackt habe.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:59 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Hallo. Danke, habe das soweit verstanden. Aber könnte man die c nicht soi lösen wie du es vorher gesagt hattest, wenn man kompakt durch abgeschlossen ersetzt? Weil das Urbild einer abgeschlossen Menge unter einer stetigen Funktion ja abgeschlossen ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo. Danke, habe das soweit verstanden. Aber könnte man
> die c nicht soi lösen wie du es vorher gesagt hattest,
> wenn man kompakt durch abgeschlossen ersetzt? Weil das
> Urbild einer abgeschlossen Menge unter einer stetigen
> Funktion ja abgeschlossen ist.
ja. Das stimmt - so kann man vielleicht auch bei beiden Aufgaben, ähnlich,
wie ich es ursprünglich gemacht habe, vorgehen.
Wir bekommen bzgl. "Urbildargumentation" ja gar nicht das Problem, dass
die Urbilder nicht abgeschlossen sind. Wir brauchen immer nur ein weiteres
Argument für Beschränktheit.
Das heißt:
Wir könnten bei der Aufgabe, wo ich diese Hilfsfunktion [mm] $h\,$ [/mm] eingeführt habe,
auch durchaus sagen: Für
[mm] $h(x,y):=f^2(x,y)-g(x,y)$ [/mm] (für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$)
[/mm]
ist
[mm] $h^{-1}(\{0\})$
[/mm]
als Urbild einer kompakten (also insbesondere abgeschlossenen) Menge
einer stetigen Funktion abgeschlossen. Da [mm] $[0,1]^2$ [/mm] abgeschlossen ist,
ist auch
[mm] $L=h^{-1}(\{0\}) \cap [0,1]^2$
[/mm]
abgeschlossen...
So könnte man meine erste Antwort auch nochmal komplett
durchkorrigieren, aber da ich den Quatsch mit "Urbilder kompakter Mengen
unter stetigen Funktionen sind kompakt" *suggeriert* hatte, und da das
Käse ist, lasse ich die Antwort dort lieber einfach durchgestrichen stehen.
Und ja: Bei c) kannst Du dann auch benutzen, dass Urbilder kompakter
Mengen unter stetigen Funktionen ABGESCHLOSSEN (aber nicht notwendig
beschränkt) sind.
Diesen letzten Satz darfst Du so verinnerlichen. (Du hast aber eh schon
behalten, dass Urbilder abgeschlossener Mengen unter stetigen Funktionen
abgeschlossen sind, und das ist hier ja auch eigentlich nur das, was wichtig
an der Stelle ist.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S. Nur, weil das in meiner ersten Antwort ja auch falsch suggeriert wurde:
Der Schnitt über BELIEBIG viele abgeschlossene Mengen ist natürlich auch
wieder abgeschlossen. Braucht man hier zwar in dieser Allgemeinheit nicht,
aber ich ergänze es nur, damit Du Dich nicht irgendwann mal verwirrst, weil
Du hier dachtest, etwas anderes gelesen zu haben...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Fr 25.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Wäre dann bei c das Urbild einfach die menge {1}?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:32 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wäre dann bei c das Urbild einfach die menge {1}?
nein: Es war
[mm] $M=\{(x,y,z) \in \IR^3: 2x^2+3y^2+4z^2 \le 1\}$ [/mm]
und wir hatten
$s [mm] \colon \IR^3 \to \IR$ [/mm] mit [mm] $s(x,y,z):=2x^2+3y^2+4z^2$
[/mm]
gesetzt. Dieses [mm] $s\,$ [/mm] ist stetig.
Jetzt schau' mal:
Für
$(x,y,z) [mm] \in \IR^3$
[/mm]
gilt
$(x,y,z) [mm] \in [/mm] M$ [mm] $\gdw$ [/mm] $s(x,y,z) [mm] \le [/mm] 1$ [mm] $\gdw$ [/mm] $s(x,y,z) [mm] \in \red{[0,1]}\,.$
[/mm]
(Man könnte am Ende auch $s(x,y,z) [mm] \in (-\infty,1]$ [/mm] schreiben, was auch eine
abgeschlossene [aber nicht kompakte!] Menge ist - obiges letzte [mm] $\gdw$ [/mm] gilt aber,
da offensichtlich $s(u,v,w) [mm] \ge [/mm] 0$ stets!)
Wie kann man also [mm] $M\,$ [/mm] schreiben? Es ist
[mm] $M=s^{-1}(\red{\text{?}})$ [/mm] ?
Gruß,
Marcel
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