Mengen und Folgerung < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
| Aufgabe | Es seien Mengen A,B und C gegeben mit den Eigenschaften:
A U B = A U C und A ∩ B = A ∩ C.
Folgern Sie B = C. |
Hallo,
Diese Aufgabe wurde in einem Mathematik Vorkurs gestellt und man hat uns gesagt, dass BEIDE Eigenschaften gleichzeitig gelten.
Ich habe eigentlich eine Lösung, nur brauche ich eine Art Korrektur (ob man das "so machen kann"?)
(Mein) Ansatz:
Ich nehme ein x [mm] \in [/mm] B und unterscheide:
Fall 1: Sei ebenfalls x [mm] \in [/mm] A , so nutze ich die rechte Gleichung:
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C)
umformen (Elimination Äquivalenz):
((x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in C)\in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C) [mm] \Rightarrow [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B)
An dieser Stelle lese ich die linke Seite der Aussage vor dem [mm] "\wedge" [/mm] (und die Lösung, dass x [mm] \in [/mm] C ist, sollte trivial sein, oder?):
"Da x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B gelten, so folgt dass x [mm] \in [/mm] C gilt! (Aus etwas wahrem, kann man nichts falsches folgern! Implikation.)"
Analog beantworte ich...
Fall 2:
x [mm] \not\in [/mm] A ...
soweit richtig? oder komplett falscher Ansatz?
Gruß
Dezt
P.S.:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin,
> Es seien Mengen A,B und C gegeben mit den Eigenschaften:
>
> A U B = A U C und A ∩ B = A ∩ C.
>
> Folgern Sie B = C.
Du hast hier eine Mengengleichheit zu zeigen.
Das heißt du musst zeigen:
$x [mm] \in [/mm] B [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] C$
> Hallo,
>
>
> Diese Aufgabe wurde in einem Mathematik Vorkurs gestellt
> und man hat uns gesagt, dass BEIDE Eigenschaften
> gleichzeitig gelten.
> Ich habe eigentlich eine Lösung, nur brauche ich eine Art
> Korrektur (ob man das "so machen kann"?)
>
> (Mein) Ansatz:
>
> Ich nehme ein x [mm]\in[/mm] B und unterscheide:
>
> Fall 1: Sei ebenfalls x [mm]\in[/mm] A , so nutze ich die rechte
> Gleichung:
>
> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] C)
>
> umformen (Elimination Äquivalenz):
>
> ((x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in C)\in[/mm] A)
an dieser Stelle wird es seltsam.
Du hast hier eine logische Aussage, die Element von A sein soll?
> [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] C) [mm]\Rightarrow[/mm] (x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B)
>
> An dieser Stelle lese ich die linke Seite der Aussage vor
> dem [mm]"\wedge"[/mm] (und die Lösung, dass x [mm]\in[/mm] C ist, sollte
> trivial sein, oder?):
> "Da x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B gelten, so folgt dass x [mm]\in[/mm] C
> gilt! (Aus etwas wahrem, kann man nichts falsches folgern!
> Implikation.)"
>
> Analog beantworte ich...
> Fall 2:
> x [mm]\not\in[/mm] A ...
>
> soweit richtig? oder komplett falscher Ansatz?
Der Ansatz ist soweit richtig, ja.
Allerdings hast du es (siehe oben) etwas sehr komisch aufgeschrieben.
So würde ich es aufschreiben:
$x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C$
....edit: ja, das müssen Mengeschnitte sein, keine Vereinigungen, sorry.....
Dann darfst du dabei auch nicht vergessen, dass du beide Richtungen zeigen musst.
Also du zeigst $x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C$.
Es fehlt also noch $x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] B$.
Das läuft recht analog, aber man darf es nicht vergessen.
> Gruß
> Dezt
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
> [mm]x \in B \wedge x \in A \Rightarrow x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \cup C \Rightarrow x \in A \wedge x \in C \Rightarrow x \in C[/mm]
Was die Aussage mit meinem x [mm] \in [/mm] A am Ende ist, das ist ein Tippfehler (verzeihung, ich nutze den Editor zum ersten Mal) :)
Was deinen Vorschlag angeht (s.o.) ist das so korrekt??
Sollte das nicht eher so aussehen?:
x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] C [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] C
Schließlich ist das logische "UND" in der Mengenlehre mit einem "Durchschnitt" ( [mm] \cap [/mm] ) und nicht mit einer "Vereinigung" ( [mm] \cup [/mm] ) zu ergänzen??
Nachdem das geklärt ist, könntest du mir bitte erläutern, wie du den zweiten Folgepfeil begründest?
x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] C
danke dir schonmal!
Grüße, Dezt
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Hallo Deztiny, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> > [mm]x \in B \wedge x \in A \Rightarrow x \in A \cup B \Rightarrow x \in A \cup C \Rightarrow x \in A \wedge x \in C \Rightarrow x \in C[/mm]
Hier ist ein logischer Fehler. [mm]x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\red{\wedge} x\in C [/mm] gilt nicht.
Richtig wäre: [mm]x\in A\cup C\Rightarrow x\in A\blue{\vee} x\in C [/mm]
> Was die Aussage mit meinem x [mm]\in[/mm] A am Ende ist, das ist ein
> Tippfehler (verzeihung, ich nutze den Editor zum ersten
> Mal) :)
Hey, dafür kommst Du aber gut klar!
> Was deinen Vorschlag angeht (s.o.) ist das so korrekt??
> Sollte das nicht eher so aussehen?:
>
> x [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] C [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm]
> C [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] C
Sieht besser aus, außer dass der Editor beim Zitieren Gemüse daraus gemacht hat.
> Schließlich ist das logische "UND" in der Mengenlehre mit
> einem "Durchschnitt" ( [mm]\cap[/mm] ) und nicht mit einer
> "Vereinigung" ( [mm]\cup[/mm] ) zu ergänzen??
Ja.
> Nachdem das geklärt ist, könntest du mir bitte
> erläutern, wie du den zweiten Folgepfeil begründest?
>
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] C
Das war gegeben: [mm] A\cap B=A\cap C [/mm].
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 10.10.2011 | | Autor: | Deztiny |
Ah, okey.
Dann habe ich die Gleichung wohl nie wirklich "richtig" gelesen. Das "=" Zeichen macht also aus A "geschnitten" B die gleiche Menge, wie A "geschnitten" C? Wenn das so ist, dann beantwortet sich dadurch so einiges und die Aufgabenstellung + Die Lösung zu der wir gekommen sind, macht Sinn. :D
Vielen Dank an Shadowmaster und reverend für die kompetente und schnelle Hilfe! Thema (soweit) erledigt :)
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