Mengen von Matrizen-->Gruppe? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen von quadratischen Matrizen bilden bezüglich der Addition bzw. Multiplikation eine Gruppe?
(a) Die oberen Dreiecksmatrizen.
(b) Die oberen Dreiecksmatrizen, bei denen die Diagonaleinträge positiv sind.
(c) Matrizen mit der Determinante 42.
Gibt es eine (nichtleere) Menge von Matrizen, die bezüglich Addition und Multiplikation eine Gruppe bildet? |
Guten Abend!
Ich sitze nun schon ewig an meiner Übungsserie und kann mir aber unter dieser Aufgabe irgendwie absolut nichts vorstellen.
Wie sollen denn Teile von Matrizen eine Gruppe bilden? Das geht?
Und wie weist man das am Besten nach?
Die Gruppeneigenschaften kenne ich. Aber wie wendet man die am Besten an?
Wenn ich mir jetz eine quadratische Matrix vorstelle, sieht die z.B. so aus:
[mm] \pmat{ a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a } [/mm] .
Durch Anwendung von Gauss würde ich dann z.B. auf irgend so etwas kommen:
[mm] \pmat{ a & a & b \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & b }. [/mm] Und das soll eine Gruppe bilden? Hä?
Hoffentlich kann mir jemand von euch helfen...
Vielen Dank im Voraus!
MfG, Coffein18
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:03 Fr 20.04.2007 | | Autor: | unknown |
Hallo,
> Ich sitze nun schon ewig an meiner Übungsserie und kann
> mir aber unter dieser Aufgabe irgendwie absolut nichts
> vorstellen.
> Wie sollen denn Teile von Matrizen eine Gruppe bilden? Das
> geht?
Gemeint sind Teilmengen der Menge der quadratischen Matrizen (mit einer festen Größe). Und die können in der Tat eine Gruppe bilden. Zum Beispiel ist für jedes $n$ die Menge aller Matrizen vom Format [mm] $n\times [/mm] n$ eine Gruppe bezüglich der Addition (von Matrizen). Die Menge der invertierbaren Matrizen ist eine Gruppe bezüglich der Multiplikation.
> Und wie weist man das am Besten nach?
> Die Gruppeneigenschaften kenne ich. Aber wie wendet man
> die am Besten an?
Ich mache Dir mal ein einfaches Beispiel. Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und sei [mm] $E_n$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$-Einheitmatrix über [mm] $\IR$. [/mm] Zu zeigen ist: $G = [mm] \{ a E_n \mid a \in \IR \}$ [/mm] ist eine Gruppe bezüglich der Addition von Matrizen.
(1) $G$ ist nicht leer, denn es gilt [mm] $E_n [/mm] = [mm] 1\cdot e_n \in [/mm] G$.
(2) Die Menge $G$ ist abgeschlossen unter der Addition: Seien [mm] $aE_n$ [/mm] und [mm] $bE_n$ [/mm] beide in $G$ (also $a$ und $b$ reelle Zahlen), dann gilt [mm] $(aE_n) [/mm] + [mm] (bE_n) [/mm] = [mm] (a+b)E_n$ [/mm] nach den normalen Rechenregeln bei Matrizen. Da $(a+b) [mm] \in \IR$ [/mm] ist und deswegen [mm] $(a+b)E_n \in [/mm] G$ gilt, ist $G$ also abgeschlossen bezüglich der Addition.
(3) Die Addition ist assoziativ für alle Matrizen $G$, da die Addition beliebiger Matrizen sowieso assoziativ ist. (Man kann das aber auch direkt nachrechnen, wenn man möchte).
(4) $G$ hat ein neutrales Element bezüglich der Addition, nämlich die [mm] $n\times [/mm] n$-Nullmatrix [mm] $0_n$. [/mm] Hierbei ist wichtig, dass [mm] $0_n [/mm] = [mm] 0\cdot E_n \in [/mm] G$ gilt! Das die Nullmatrix sich tatsächlich neutral verhält bei Addition mit Elementen aus $G$, liegt daran, dass sie sowieso neutral ist für alle Matrizen.
(Kann man auch wieder direkt zeigen).
(5) Für jedes $a [mm] E_n \in [/mm] G$ (also $a [mm] \in \IR$) [/mm] ist $(-a) [mm] E_n \in [/mm] G$ ein Inverses Element bezüglich der Addition, denn es gilt [mm] $aE_n [/mm] + [mm] (-a)E_n [/mm] = (a-a) [mm] E_n [/mm] = [mm] 0_n [/mm] = (-a+a) [mm] E_n [/mm] = [mm] (-a)E_n [/mm] + [mm] aE_n$.
[/mm]
> Wenn ich mir jetz eine quadratische Matrix vorstelle,
> sieht die z.B. so aus:
> [mm]\pmat{ a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a }[/mm] .
> Durch Anwendung von Gauss würde ich dann z.B. auf irgend so
> etwas kommen:
> [mm]\pmat{ a & a & b \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & b }.[/mm] Und das soll
> eine Gruppe bilden? Hä?
Ich weiß nicht genau, was Du da ausrechnen willst. Den Gauß wirst Du in der gesamten Aufgabe nicht brauchen. Du musst einfach jede Teilmenge betrachten, und so ähnliche Beweise führen, wie ich das oben vorgemacht habe. Also bei (a) etwa: Sei $G = [mm] \{\text{obere Dreieckmatrizen}\}$. [/mm] $G$ ist nicht leer, denn [mm] $0_n$ [/mm] ist eine obere Dreiecksmatrix. Seien $A$ und $B$ in $G$. Gilt dann $A+B [mm] \in [/mm] G$? Warum? Usw.
Hoffe, das hilft.
PS: Noch ein kleiner Tipp. Wenn die jeweiligen Mengen tatsächlich Gruppen sind, müssen sie Untermonoide der [mm] $n\times [/mm] n$-Matrizen mit der Addition bzw. mit der Multiplikation sein. Das lässt Dir bezüglich der neutralen Elemente jeweils nicht so viel Auswahl.
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