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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 So 18.10.2009 | | Autor: | Phecda |
Hallo
ich soll zeigen dass folgende Äquivalenz gilt:
A [mm] \subset [/mm] B [mm] \gdw \forall [/mm] D Menge: D [mm] \cup [/mm] A [mm] \subset [/mm] D [mm] \cup [/mm] B
Anschaulich ist mir die Aussage klar;
ich weiß nur nicht wie ich sie formal aufschreiben kann.
Kann mir jmd helfen einen Anfang zu machen?
Danke
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Hallo!
> Hallo
> ich soll zeigen dass folgende Äquivalenz gilt:
> A [mm]\subset[/mm] B [mm]\gdw \forall[/mm] D Menge: D [mm]\cup[/mm] A [mm]\subset[/mm] D [mm]\cup[/mm]
> B
Du musst zweierlei zeigen:
1. [mm] $A\subset [/mm] B [mm] \Rightarrow D\cup [/mm] A [mm] \subset D\cup [/mm] B$
und
2. [mm] $A\subset [/mm] B [mm] \Leftarrow D\cup [/mm] A [mm] \subset D\cup [/mm] B$
Die eine Richtung, [mm] \Rightarrow [/mm] :
Sei [mm] $x\in D\cup [/mm] A$.
Fall 1: Es ist [mm] $x\in [/mm] D$. Dann ist offensichtlich [mm] $x\in [/mm] D [mm] \cup [/mm] B$.
Fall 2: Es ist [mm] $x\in [/mm] A$. Dann ist auch [mm] $x\in [/mm] B$ wegen [mm] $A\subset [/mm] B$. Damit ist offensichtlich [mm] $x\in [/mm] D [mm] \cup [/mm] B$.
Die andere Richtung, [mm] \Leftarrow [/mm] :
Sei [mm] $x\in [/mm] A$.
Nun bist du dran. Du musst mit Hilfe von [mm] $D\cup [/mm] A [mm] \subset D\cup [/mm] B$ zeigen, dass [mm] $x\in [/mm] B $ ist.
Grüße,
Stefan
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Hallo!
Habe nun auch eine kleine Frage zu der Aufgabe. Es geht um die Richtung:
[mm] $\forall [/mm] D [mm] \mbox{ Menge } [/mm] : [mm] D\cup [/mm] A [mm] \subset [/mm] D [mm] \cup [/mm] B [mm] \Rightarrow A\subset [/mm] B$
Ich würde den Beweis so formulieren:
Sei [mm] $\forall [/mm] D [mm] \mbox{ Menge } [/mm] : [mm] D\cup [/mm] A [mm] \subset D\cup [/mm] B$, sei [mm] $x\in [/mm] A$. [mm] $\forall [/mm] D [mm] \mbox{ Menge }$ [/mm] folgt dann [mm] $x\in [/mm] A [mm] \subset [/mm] (D [mm] \cup [/mm] A) [mm] \subset [/mm] (D [mm] \cup [/mm] B)$, d.h. [mm] $x\in D\cup [/mm] B$. Diese Aussage gilt insbesondere für $D = [mm] \emptyset$, [/mm] dann ist [mm] $x\in D\cup [/mm] B = B$, also [mm] $x\in [/mm] B$. Da die Aussage für alle $D$ Menge gelten soll, muss also für alle $D$ Menge [mm] $x\in [/mm] B$ sein.
q.e.d.
Ich bin mir aber noch ein wenig unsicher bezüglich meiner gewählten Formulierung, kann da nochmal jemand drüberschauen?
Danke 
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Mo 26.10.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Rückrichtung ist doch trivial. Wieso schreibst du nicht einfach: "Wähle [mm] $D=\emptyset$, [/mm] dann gilt [mm] $A=A\cup\emptyset\subset B\cup\emptyset=B$."
[/mm]
Gruß, Robert
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Okay,
danke pelzig!
Hatte wohl ein Brett vorm Kopf
Grüße,
Stefan
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