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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Mo 07.10.2013 | | Autor: | barneyc |
| Aufgabe | Es sei f : [mm] \IR \to \IC [/mm] mit f(x) := [mm] \wurzel{x}. [/mm] Bestimmen Sie folgende Menge:
[mm] f^{-1}({a+bi|a,b \in (\IR / 0 )}) [/mm] |
Hallo,
ist meine erste Frage hier, deshalb entschuldigt bitte etwaige Formalitätsfehler.
Komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen Ansatz. Wntschuldigt bitte, falls ich was Offensichtliches übersehen hab. Ein kleiner Tipp würde reichen, ich hab nämlich das Gefühl, dass ich den Wald vor lauter Bäumen nicht seh.
vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Es sei f : [mm]\IR \to \IC[/mm] mit f(x) := [mm]\wurzel{x}.[/mm] Bestimmen
> Sie folgende Menge:
> [mm]f^{-1}({a+bi|a,b \in (\IR / 0 )})[/mm]
> Komme bei dieser Aufgabe leider auf keinen Ansatz.
> Wntschuldigt bitte, falls ich was Offensichtliches
> übersehen hab. Ein kleiner Tipp würde reichen, ich hab
> nämlich das Gefühl, dass ich den Wald vor lauter Bäumen
> nicht seh.
Du sollst ein Urbild einer Menge bestimmen.
Bei dir lautet diese Menge $A := [mm] \{a+bi: a,b \in \IR \backslash \{0\}\}$.
[/mm]
Die Definition des Urbilds lautet
[mm] $f^{-1}(A) [/mm] = [mm] \{x \in \IR: f(x) \in A\}$.
[/mm]
Du musst also herausfinden, wann für eine reelle Zahl $x$ gilt: [mm] $\sqrt{x} [/mm] = a + bi$ mit irgendwelchen $a,b [mm] \in \IR\backslash \{0\}$.
[/mm]
"Berechne" dazu doch einfach mal alle Wurzeln!
Wenn $x [mm] \ge [/mm] 0$, was ist dann a und b, damit die Gleichung [mm] $\sqrt{x} [/mm] = a + b i$ stimmt?
Wenn $x < 0$, was ist dann a und b, damit die Gleichung [mm] $\sqrt{x} [/mm] = a + b i$ stimmt?
Liegen diese also in A ?
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:17 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo :)
vielen Dank für deine Antwort und das herzliche Willkommen :)
Verstehe ich das dann so richtig?:
a,b \ 0 , d.h es gibt in jedem Fall einen Real- und Imaginärteil.
da jedoch x [mm] \in \IR [/mm] ist, ist [mm] \wurzel{x} [/mm] demzufolge auch in [mm] \IR [/mm] (nicht ganz richtig aber zumindest nicht in [mm] \IC [/mm] )
Die Lösung wäre nach diesem "Ansatz" also die leere Menge [mm] \emptyset
[/mm]
Mit freubdlichen Grüßen und vielen Dank im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:55 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo barneyc und auch von mir ein herzliches !
> a,b \ 0 , d.h es gibt in jedem Fall einen Real- und
> Imaginärteil.
Du meinst: [mm] $a,b\in\IR\setminus\{0\}$, [/mm] also hat $a+ib$ einen von 0 verschiedenen Real- und Imaginärteil.
> da jedoch x [mm]\in \IR[/mm] ist, ist [mm]\wurzel{x}[/mm] demzufolge auch in
> [mm]\IR[/mm]
Ich weiß nicht genau, wie ihr die Wurzel von reellen Zahlen $x<0$ definiert habt. Aber sicherlich wird eure Definition [mm] $\wurzel{x}^2=x$ [/mm] sicherstellen. Damit ist (für $x<0$) [mm] $\wurzel{x}\notin\IR$.
[/mm]
> (nicht ganz richtig aber zumindest nicht in [mm]\IC[/mm] )
Reelle Zahlen sind doch spezielle komplexe Zahlen. Also erfüllen alle Elemente [mm] $x\in\IR$ [/mm] auch [mm] $x\in\IC$.
[/mm]
> Die Lösung wäre nach diesem "Ansatz" also die leere
> Menge [mm]\emptyset[/mm]
Betrachte wie von Stefan vorgeschlagen nacheinander [mm] $x\ge0$ [/mm] und $x<0$.
Gilt jeweils [mm] $\wurzel{x}\in\{a+ib\;|\;a,b\in\IR\setminus\{0\}\}$?
[/mm]
Den Fall [mm] $x\ge0$ [/mm] hast du quasi schon korrekt behandelt:
In diesem Fall gilt [mm] $\wurzel{x}\in\IR$.
[/mm]
Die (einzige) Darstellung von [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] in der Form [mm] $\wurzel{x}=a+ib$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] ist daher die mit [mm] $a=\wurzel{x}$ [/mm] und $b=0$.
Also lässt sich [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] nicht in der Form [mm] $\wurzel{x}=a+ib$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR\setminus\{0\}$ [/mm] schreiben.
Also gilt [mm] $x\notin f^{-1}(\{a+ib\;|\;a,b\in\IR\setminus\{0\}\})$.
[/mm]
Nun ist noch $x<0$ zu betrachten.
Wie ist [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] dann bei euch definiert?
Wie lautet demzufolge die (eindeutige) Darstellung [mm] $\wurzel{x}=a+ib$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IR$?
[/mm]
Gilt dafür [mm] $a,b\in\IR\setminus\{0\}$?
[/mm]
Gilt also [mm] $x\in f^{-1}(\{a+ib\;|\;a,b\in\IR\setminus\{0\}\})$?
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Di 08.10.2013 | | Autor: | barneyc |
Hallo Tobias,
auch dir danke für deine Antwort und das herzliche Willkommen :)
Also ist für den Fall x<0 die Lösung zu [mm] \wurzel{x} [/mm] eine rein imaginäre Zahl.
Das heißt der Realteil verschwindet, also a=0.
Da es aber in der Aufgabenstellung definiert ist, dass a [mm] \not=0, [/mm] gibt es kein x [mm] \in \IR [/mm] das die Gleichung erfüllt.
Richtig so?
Grüße
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Hallo und
> Also ist für den Fall x<0 die Lösung zu [mm]\wurzel{x}[/mm] eine
> rein imaginäre Zahl.
So ist es, weil x dann eine negative reelle Zahl ist.
> Das heißt der Realteil verschwindet, also a=0.
> Da es aber in der Aufgabenstellung definiert ist, dass a
> [mm]\not=0,[/mm] gibt es kein x [mm]\in \IR[/mm] das die Gleichung erfüllt.
> Richtig so?
Richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich weiß nicht, wie deine Kenntnisse sind hinsichtlich der geometrischen Bedeutung der einzelnen Rechenarten [mm] in \IC [/mm] bezüglich der Gaußschen Zahlenebene.
Die Addition ist nichts anderes als die gute alte vektorielle Addition.
Die Multiplikation führt auf Drehstreckungen. Multipliziert man zwei komplexe Zahlen, so ist der Betrag des Resultats das Produkt der einzelnen Beträge, während das Argument die Summe der beiden Einzelargumente ist.
Mit letzterem Sachverhalt macht man sich leicht klar, dass sich beim Ziehen der Quadratwurzel das Argument halbiert (der Bertag wird radiziert, ist aber für die hier behandelte Fragestellung nicht von Interesse). Das erklärt zum einen die Mehrdeutigkeit der komplexen Wurzelfunktion, zum anderen kann man mit diesem Wissen natürlich die oben gestellte Frage ohne eine einzige Rechnung beantworten. Das ist zwar nicht Sinn der Sache, erleichtert aber das Verständnis des erzielten Resultats (leere Urbildmenge) noch etwas anschaulicher.
Gruß, Diophant
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