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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Di 28.02.2006 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
Ich kämpfe mich gerade durch die Mengenlehre und komme bei der Definition etwas durcheinander.
Ich lese überall, dass die in einer Menge enthaltenen Elemente alle voneinander verschieden sind. In der Vorlesung haben wir dazu gesagt: Jedes a [mm] \varepsilon [/mm] M kommt nur einmal in M vor.
Das heißt doch, dass es in einer Menge keine gleichen Elemente gibt, oder?
Nun hab ich aber in einem Buch folgenden Text gelesen:
Es ist übrigens nicht verboten, einige Elemente mehrfach aufzuführen, oder die Reihenfolge zu ändern. {1, 2, 4} ist die gleiche Menge wie {1, 1, 2, 4} oder wie {4, 1, 2}. Der Sinn dieser Vereinbarung wird deutlich, wenn man Mengen der Form {a, b, c} untersucht, wobei a, b, c erst später festgesetzt werden. Dann ist es ganz praktisch, auch dann {a, b, c} schreiben zu können, wenn etwa a=b gilt.
Jetzt versteh ich folgendes nicht so ganz:
In der Definition wurde ja gesagt, dass alle Elemente einer Menge voneinander verschieden sind. Wenn ich aber nun eine Menge {a, b, c} habe, in der gilt a=b, dann sind doch die Elemente nciht mehr voneinander verschieden. Das widerspricht doch der Definition, oder?
Vielen Dank für eure Hilfe.
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
> Ich lese überall, dass die in einer Menge enthaltenen
> Elemente alle voneinander verschieden sind. In der
> Vorlesung haben wir dazu gesagt: Jedes a [mm]\varepsilon[/mm] M
> kommt nur einmal in M vor.
>
> Das heißt doch, dass es in einer Menge keine gleichen
> Elemente gibt, oder?
>
> Nun hab ich aber in einem Buch folgenden Text gelesen:
>
> Es ist übrigens nicht verboten, einige Elemente mehrfach
> aufzuführen, oder die Reihenfolge zu ändern. {1, 2, 4} ist
> die gleiche Menge wie {1, 1, 2, 4} oder wie {4, 1, 2}. Der
> Sinn dieser Vereinbarung wird deutlich, wenn man Mengen der
> Form {a, b, c} untersucht, wobei a, b, c erst später
> festgesetzt werden. Dann ist es ganz praktisch, auch dann
> {a, b, c} schreiben zu können, wenn etwa a=b gilt.
>
> Jetzt versteh ich folgendes nicht so ganz:
> In der Definition wurde ja gesagt, dass alle Elemente einer
> Menge voneinander verschieden sind. Wenn ich aber nun eine
> Menge {a, b, c} habe, in der gilt a=b, dann sind doch die
> Elemente nciht mehr voneinander verschieden. Das
> widerspricht doch der Definition, oder?
Zuerst mal ein kleines Beispiel:
Nehmen wir die Menge: [mm] \{1,2,3,4,5\} [/mm] Diese Menge hat 5 Elemente, denn hier kommt jedes Element nur einmal vor, also muessen wir alle Elemente zaehlen, um die Anzahl der Elemente zu erhalten. Nun koennen wir dieselbe Menge aber auch schreiben als [mm] \{1,1,1,2,3,4,5\}. [/mm] Hier kommt die 1 dreimal vor, wir duerfen sie aber nur einmal zaehlen, denn es kommt ja nach deiner obigen "Beschreibung" jedes Element nur einmal vor.
Wenn du jetzt, wie in deinem obigen Beispiel die Menge [mm] \{a,b,c\} [/mm] nimmst, wuerdest du zuerst vermuten, dass die Menge drei Elemente hat. Wenn sich nun spaeter aber rausstellt, dass, wie du schreibst, z. B. a=b gilt, so hat die Menge nur zwei Elemente. Falls sogar a=b=c gilt, so hat die Menge nur ein Element. Du kannst also ohne weitere Einschraenkung gar nicht direkt sagen, wie viele Elemente deine Menge hat. Du koenntest hoechstens sagen, im Fall [mm] a\not=b\not=c [/mm] und [mm] a\not=c [/mm] hat die Menge drei Elemente, ansonsten [mm] \le [/mm] 3 Elemente.
Hilft dir das so? Irgendwie ist das nicht so einfach zu erklaeren...
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 28.02.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
noch eine Bemerkung von einer ''etwas realistischeren Instanz meiner selbst''  :
Mengentheoretisch gesehen macht die Bemerkung wenig Sinn. Eine Menge ist eindeutig durch ihre Elemente
definiert, d.h. zwei Mengen sind gleich genau dann, wenn sie die gleichen Elemente enthalten:
[mm] \forall [/mm] x, [mm] y\:\:\: x=y\:\Leftrightarrow\: (\forall z\:\: (z\in x\Leftrightarrow z\in [/mm] y))
Dies ist ein Axiom von ZFC.
Man spricht bei Mengen also nur von der Elementbeziehung, und sonst nichts.
Somit gilt tatsaechlich
[mm] \{a,a,a,b\} =\{a,b,a,a,a,b\}=\{a,b\} [/mm] und so.
Fuer den Moment viele Gruesse,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Pacapear |
| Aufgabe | | Bestimmen sie die durch 3n - 15 [mm] \le [/mm] 4 definierte Teilmenge von [mm] N^{*} [/mm] = {1, 2, 3, ...} in aufzählender und beschreibender Form. |
Hi!
Danke für die beiden Antworten. Die erste Antwort hat mir doch geholfen  bei der zweiten hab ich etwas Probleme, dass zu verstehen, mit dem mathematischen Formalismus hab ichs nach 3 Semestern immer noch nicht so ganz
Nun zu der Aufgabe:
Um die Menge darzustellen, wollte ich erst mal die n bestimmen, für die die oben gegebene Ungleichung gilt:
3n - 15 [mm] \le [/mm] 4
[mm] \gdw [/mm] 3n [mm] \le [/mm] 19
[mm] \gdw [/mm] n [mm] \le \bruch{19}{3}
[/mm]
Das wäre ja dann die Menge von - [mm] \infty [/mm] bis einschließlich [mm] \bruch{19}{3}.
[/mm]
Aber es soll rauskommen: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Kann mir eine/r weiterhelfen?
Danke schonmal.
LG, Nadine
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Hallo Nadine!
Hier mal wieder eine Antwort von der etwas anderen Instanz meiner Selbst...
> Bestimmen sie die durch 3n - 15 [mm]\le[/mm] 4 definierte Teilmenge
> von [mm]N^{*}[/mm] = {1, 2, 3, ...} in aufzählender und
> beschreibender Form.
> Nun zu der Aufgabe:
> Um die Menge darzustellen, wollte ich erst mal die n
> bestimmen, für die die oben gegebene Ungleichung gilt:
>
> 3n - 15 [mm]\le[/mm] 4
> [mm]\gdw[/mm] 3n [mm]\le[/mm] 19
> [mm]\gdw[/mm] n [mm]\le \bruch{19}{3}[/mm]
>
> Das wäre ja dann die Menge von - [mm]\infty[/mm] bis einschließlich
> [mm]\bruch{19}{3}.[/mm]
> Aber es soll rauskommen: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
>
> Kann mir eine/r weiterhelfen?
Deine Lösung wäre korrekt, wenn die Lösungsmenge [mm] \in \IQ [/mm] oder [mm] \IR [/mm] sein dürfte. Sie soll aber [mm] \in \IN [/mm] sein. Also fallen als erstes schon mal alle negativen Zahlen weg. Da natürliche Zahlen auch alle ganzzahlig sind, bleiben also nur noch die Zahlen 1,2,.... Und da du als "obere Schranke" für die Lösung ja [mm] \bruch{19}{3} [/mm] raushast, was in Deximaldarstellung irgendetwas der Form 6,1... oder ähnlich ist, erfüllen nur solche Zahlen die Ungleichung die [mm] \le [/mm] 6 sind. Und das ergibt dann deine angegebene Menge.
Eigentlich ganz einfach, oder? Wahrscheinlich hast du nur überlesen, dass die Zahlen [mm] \in\IN [/mm] sein sollen.
Gruß,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Fr 03.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo Nadine,
Bastiane wird Dir nachher dazu antworten. ![[wiggle]](/images/smileys/wiggle.gif "[wiggle]")
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Fr 03.03.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Nadine!
Tja, jetzt fragst du dich wohl, was ich damit zu tun habe, was? Glaubst du denn, Mathias schreibt zwei verschiedene Antworten zu derselben Frage? Da hätte er ja seine erste Antwort einfach editieren können...
Auch wenn wir zwei in derselben Stadt wohnen und uns nicht persönlich kennen - Mathias und ich kennen uns. Und wir haben schon viel über den MR geredet und er ist fast immer online, demnach auch, wenn ich bei ihm im Büro bin. Und wenn er keine Lust hat, eine Frage zu beantworten, aber ich, dann schreibe ich halt eine Antwort - unter seinem Namen... Ist bisher erst diese Male hier bei dir vorgekommen - also nicht, dass jemand denkt, wir verwurschteln da unsere Benutzernamen oder so.
Jedenfalls hatte ich die erste Antwort auf deine Frage geschrieben, die zweite hat dann Mathias selbst geschrieben, deswegen dort auch der Kommentar ''etwas realistischeren Instanz meiner selbst''. Und die Antwort von vorhin habe wiederum ich geschrieben, deswegen eben der Satz "Hier mal wieder eine Antwort von der etwas anderen Instanz meiner Selbst... ".
Alles klar jetzt?
Viele Grüße
Bastiane
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