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| Aufgabe 1 | Entscheiden Sie mit Begründung, ob gilt:
a) 2 [mm] \subset \IN [/mm] b) 2 [mm] \in P(\IN) [/mm] c) [mm] \IN \in \IR [/mm] d) [mm] \IN \in P(\IR0+) [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Entscheiden Sie ohne Rechnung anhand der Struktur des Pascalschen Dreiecks, ob es mehr drei- oder mehr vierelementige Teilmengen einer zehnelementigen Menge gibt. |
| Aufgabe 3 | | Bestimmen Sie die Mächtigkeit von P(P(P({0,1,2}))) und geben Sie ein Element dieser Menge an. |
| Aufgabe 4 | | Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass [mm] \left|A \cup B\right| [/mm] = [mm] \left|A\right| [/mm] + [mm] \left|B\right| [/mm] für zwei endliche Mengen A und B gilt? Belegen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass diese Bedingung nicht verzichtbar ist. Stellen Sie eine ähnliche Gleichung auf, die ohne diese Bedingung für alle endliche Mengen gilt. |
Hallo,
ich hoffe, ihr könnt ihr bei den obigen Aufgaben helfen. Ich kenne die Lösungen teilweise, allerdings verstehe ich sie nicht.
Zu Aufgabe 1:
Warum ist 2 keine Teilmenge von [mm] \IN? [/mm] Müsste es so richtig heißen? 2 [mm] \in \IN [/mm] und {2} [mm] \subset \IN?
[/mm]
Und fü b) dann {2} [mm] \in P(\IN)? [/mm]
Warum ist [mm] \IR [/mm] keine Element von [mm] \IN?
[/mm]
Zu Aufgabe 2:
Hier kenne ich die Lösung nicht. Wie begründet man es am besten?
Zu Aufgabe 3:
Wie die Mächtigkeit berechnet wird, ist mir bekannt:
[mm] 2^{256} [/mm] = [mm] 1,1579*10^{77}
[/mm]
Mir ist aber nicht schlüssig wie man ein Element dieser Menge angibt.
Bei Aufgabe 4 muss gelten [mm] \left|A \cap B \right| [/mm] = leere Menge gelten. Doch wie beweist man durch ein Gegenbeispiel, dass dies unverzichtbar ist?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen die Lösungen besser nachzuvollziehen.
Danke schön!
Lieben Gruß
Steffi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:51 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Entscheiden Sie mit Begründung, ob gilt:
> a) 2 [mm]\subset \IN[/mm] b) 2 [mm]\in P(\IN)[/mm] c) [mm]\IN \in \IR[/mm] d) [mm]\IN \in P(\IR0+)[/mm]
>
> Entscheiden Sie ohne Rechnung anhand der Struktur des
> Pascalschen Dreiecks, ob es mehr drei- oder mehr
> vierelementige Teilmengen einer zehnelementigen Menge
> gibt.
>
> Bestimmen Sie die Mächtigkeit von P(P(P({0,1,2}))) und
> geben Sie ein Element dieser Menge an.
>
> Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass [mm]\left|A \cup B\right|[/mm]
> = [mm]\left|A\right|[/mm] + [mm]\left|B\right|[/mm] für zwei endliche Mengen
> A und B gilt? Belegen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass
> diese Bedingung nicht verzichtbar ist. Stellen Sie eine
> ähnliche Gleichung auf, die ohne diese Bedingung für alle
> endliche Mengen gilt.
>
> Hallo,
>
> ich hoffe, ihr könnt ihr bei den obigen Aufgaben helfen.
> Ich kenne die Lösungen teilweise, allerdings verstehe ich
> sie nicht.
>
> Zu Aufgabe 1:
> Warum ist 2 keine Teilmenge von [mm]\IN?[/mm]
wäre $2 [mm] \subset \IN,$ [/mm] so wäre jedes Element der Menge [mm] $2\,$ [/mm] auch in [mm] $\IN\,.$ [/mm]
(Ich nehme an, ihr benutzt [mm] $\subset$ [/mm] im Sinne von [mm] $\subseteq\,.$) [/mm] Welche Elemente
hat denn [mm] $2\,$? [/mm] Ist [mm] $2\,$ [/mm] überhaupt eine Menge (im naiven Sinne - ich will
jetzt nicht auf irgendwelche Konstruktionen hinaus, wo man etwa [mm] $2=\{\emptyset,\,\{\emptyset\}\}$ [/mm]
identifiziert oder sowas wie Dedekindsche Schnitte ... das lassen wir alles
mal außen vor. Wir gehen von der "schulischen 2" aus!)
> Müsste es so richtig
> heißen? 2 [mm]\in \IN[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und {2} [mm]\subset \IN?[/mm]
Richtig: Ist nämlich $x [mm] \in \{2\}\,,$ [/mm] so folgt schon [mm] $x=2\,$ [/mm] und wegen $2 [mm] \in \IN$
[/mm]
dann $x [mm] \in \IN\,.$ [/mm] $x [mm] \in \{2\}$ [/mm] war beliebig, daher folgt [mm] $\{2\} \subset \IN\,.$
[/mm]
> Und fü b) dann
> {2} [mm]\in P(\IN)?[/mm]
(Denn wegen [mm] $\{2\} \subseteq \IN$ [/mm] folgt [mm] $\{2\} \in P(\IN)$ [/mm] nach Definition von [mm] $P(\IN)\,.$)
[/mm]
> Warum ist [mm]\IR[/mm] keine Element von [mm]\IN?[/mm]
Ich sag's mal "blöde" so: Du weißt, dass [mm] $\IN=\{1,2,3,...\}\,.$ [/mm] (Vielleicht
gehört bei Euch auch [mm] $0\,$ [/mm] zu [mm] $\IN\,,$ [/mm] dann schreibe sie dabei.)
Siehst Du, dass da "irgendwo" die "schulische Zahl [mm] $\IR$" [/mm] auftaucht?
Anders gesagt: Zählst Du etwa ... $300,$ $301,$ ... [mm] $\IR,$ [/mm] ...
Nein! Außerdem ist in der Tat [mm] $\IN \subseteq \IR\,.$ [/mm] Jetzt haben wir hier einen
(ich darf das wohl so sagen?!) "kleinen Spezialisten", der sich gut mit
Mengenlehre auskennt: Tobi. Vielleicht liest er mit und schreibt etwas dazu,
ob das nun ein mengentheoretisches Problem wird, wenn [mm] $\IR \in \IN$ [/mm] wäre...
Ich bin gerade zu müde und entsprechend denkfaul!
> Zu Aufgabe 2:
> Hier kenne ich die Lösung nicht. Wie begründet man es am
> besten?
War das die Aufgabe?
> Entscheiden Sie ohne Rechnung anhand der Struktur des
> Pascalschen Dreiecks, ob es mehr drei- oder mehr
> vierelementige Teilmengen einer zehnelementigen Menge
> gibt.
Was hat denn $U:={n [mm] \choose [/mm] k}$ mit [mm] $\{T \subseteq X:\;\; |T|=k\}$ [/mm] für eine Menge [mm] $X\,$ [/mm] mit $|X|=n [mm] \ge k\,$ [/mm]
zu tun? (Die Anzahl der Elemente von [mm] $U\,$ [/mm] ist...?)
Und wo findest Du etwa ${10 [mm] \choose [/mm] 4}$ im Pascalschen Dreieck wieder?
Und schau' Dir mal an, was "mit den Zahlen einer festen Zeile passiert, wenn
Du sie von links bis zur Mitte durchläufst?" (Begründung?)
![[]](/images/popup.gif) Am Besten bei diesem Bild (klick!) - ungeachtet der Fibonacci-Zahlen!
Und in der Zeile mit den ${10 [mm] \choose [/mm] k}$ ($k=0,...,10$) (das Bild endet genau dort - beachte,
dass in der ersten Zeile [mm] $n=0\,$ [/mm] ist) hast Du 11 Zahlen stehen. Die "Mitte"
dort ist also die 6. Zahl (6. Spalteneintrag) dieser Zeile, also ${10 [mm] \choose [/mm] 5}=252$...
P.S. Bei so vielen Aufgaben diese lieber "vernünftig" in einzelne Fragen
trennen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Fr 12.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> Jetzt
> haben wir hier einen
> (ich darf das wohl so sagen?!) "kleinen Spezialisten", der
> sich gut mit
> Mengenlehre auskennt: Tobi. Vielleicht liest er mit und
> schreibt etwas dazu,
> ob das nun ein mengentheoretisches Problem wird, wenn [mm]\IR \in \IN[/mm]
> wäre...
Danke für die netten Worte! 
Hier habe ich aber nichts wirklich Schlaues beizutragen:
Im Rahmen einer naiven Mengenlehre wird man annehmen, dass sämtliche natürliche Zahlen keine Mengen sind. Also [mm] $A\notin\IN$ [/mm] für alle Mengen $A$, insbesondere für [mm] $A=\IR$.
[/mm]
Im Rahmen von ZFC sind hingegen alle Elemente von Mengen wieder Mengen und so konstruiert man auch "natürliche Zahlen" als Mengen. Bei der üblichen Konstruktion nach der Idee [mm] $0:=\emptyset$, $1:=\{0\}$, $2:=\{0,1\}$, $3:=\{0,1,2\}$, [/mm] ... sind allerdings alle solchen "natürlichen Zahlen" endliche Mengen, währen [mm] $\IR$ [/mm] überabzählbar ist. Also ist auch bei dieser Variante [mm] $\IR$ [/mm] keine natürliche Zahl.
Eine andere Variante im Rahmen von ZFC wäre, [mm] $\IN$ [/mm] als Teilmenge von [mm] $\IR$ [/mm] zu konstruieren. Wäre dann [mm] $\IR\in\IN$, [/mm] so wäre [mm] $\IR\in\IR$, [/mm] was dem Fundierungsaxiom widerspräche.
Würde man dagegen [mm] $\IN$ [/mm] im Rahmen von ZFC irgendwie anders konstruieren, sehe ich keinen Grund, warum nicht theoretisch [mm] $\IR\in\IN$ [/mm] gelten sollte.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:27 Fr 12.04.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Steffi!
> Entscheiden Sie mit Begründung, ob gilt:
> a) 2 [mm]\subset \IN[/mm] b) 2 [mm]\in P(\IN)[/mm] c) [mm]\IN \in \IR[/mm] d) [mm]\IN \in P(\IR0+)[/mm]
>
> Entscheiden Sie ohne Rechnung anhand der Struktur des
> Pascalschen Dreiecks, ob es mehr drei- oder mehr
> vierelementige Teilmengen einer zehnelementigen Menge
> gibt.
>
> Bestimmen Sie die Mächtigkeit von P(P(P({0,1,2}))) und
> geben Sie ein Element dieser Menge an.
>
> Welche Bedingung muss erfüllt sein, dass [mm]\left|A \cup B\right|[/mm]
> = [mm]\left|A\right|[/mm] + [mm]\left|B\right|[/mm] für zwei endliche Mengen
> A und B gilt? Belegen Sie anhand eines Gegenbeispiels, dass
> diese Bedingung nicht verzichtbar ist. Stellen Sie eine
> ähnliche Gleichung auf, die ohne diese Bedingung für alle
> endliche Mengen gilt.
>
> Hallo,
>
> ich hoffe, ihr könnt ihr bei den obigen Aufgaben helfen.
> Ich kenne die Lösungen teilweise, allerdings verstehe ich
> sie nicht.
>
> Zu Aufgabe 1:
> Warum ist 2 keine Teilmenge von [mm]\IN?[/mm] Müsste es so richtig
> heißen? 2 [mm]\in \IN[/mm] und {2} [mm]\subset \IN?[/mm]
> Und fü b) dann
> {2} [mm]\in P(\IN)?[/mm]
> Warum ist [mm]\IR[/mm] keine Element von [mm]\IN?[/mm]
Hier hast du [mm]\mathbb R[/mm] und [mm]\mathbb N[/mm] vertauscht. Lies abakus' Antwort entsprechend.
> Zu Aufgabe 2:
> Hier kenne ich die Lösung nicht. Wie begründet man es am
> besten?
>
> Zu Aufgabe 3:
> Wie die Mächtigkeit berechnet wird, ist mir bekannt:
> [mm]2^{256}[/mm] = [mm]1,1579*10^{77}[/mm]
> Mir ist aber nicht schlüssig wie man ein Element dieser
> Menge angibt.
Da kannst du es dir leicht machen und [mm]\emptyset\in P(P(P(\{0,1,2\})))[/mm] antworten. Oder auch komplizierter: [mm]\{1,\{0,2\},\{\emptyset\cup\{0,1,2\}\}\in P(P(P(\{0,1,2\})))[/mm]. Schreib dir am besten mal alle Elemente von [mm]P(\{0,1,2\})[/mm] auf. Und dann von [mm]P(P(\{0,1,2\}))[/mm]. Und schließlich von [mm]P(P(P(\{0,1,2\})))[/mm]. Nimm dir aber bis zum Rest deines Lebens nichts mehr vor... Nein, im Ernst: Schreib zumindest ein paar Elemente dieser Mengen auf, um zu verstehen, welche Struktur dahintersteckt. Oder betrachte [mm]P(P(P(\{5\})))[/mm] und mache Rückschlüsse.
> Bei Aufgabe 4 muss gelten [mm]\left|A \cap B \right|[/mm] = leere
> Menge gelten. Doch wie beweist man durch ein Gegenbeispiel,
> dass dies unverzichtbar ist?
Na, durch ein Gegenbeispiel. Übersetzt heißt das doch: Gibt es endliche Mengen A und B mit [mm]A\cap B\neq\emptyset[/mm] (die Betragsstriche sind übrigens überflüssig bzw. sogar falsch) mit [mm]|A\cap B|=|A|+|B|[/mm]?
Angenommen [mm]|A\cap B|=|A|+|B|[/mm] gilt für beliebige endliche Mengen. Dann betrachte z.B. [mm]A:=\{\text{rot},\text{gelb}, \text{blau},\text{grün}\}[/mm] und [mm]B:=\{\text{weiß},\text{gelb},\text{orange},\text{blau}\}[/mm]. (Oder nimm Zahlen als Elemente, wenn dir das lieber ist.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 So 14.04.2013 | | Autor: | Steffi2012 |
Hey Leute, ich danke euch vielmals für die Antworten! :)
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