Mengenlehre: man zeige < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien M, A und B Mengen. Man zeige:
a) [mm]M \cap\ (A \cup B) = (M\cap \ A) \cup (M \cap B)[/mm] |
Man mus jetzt irgendwie was mit Inkulsionen machen, aber wie mach ich das mit M..wir haben es nur mit jeweils zwei Klammern (also zwei rechts und zwei Klammern links des = zeichens gemacht.
kann mir einer nen Tipp geben?
Mein Vorschlag wäre:
Für [mm]\subseteq[/mm]sei x [mm]\in[/mm]M [mm]\cap[/mm](A [mm]\cup[/mm]B); damit gilt x [mm]\in M[/mm] und [mm]x \not\in (A \cup B)[/mm]
1.Fall: [mm]x \in M; [/mm] [mm]\mbox{}wegen [/mm] [mm]x \not\in (A \cup B) [/mm] folgt [mm] x \not\in A [/mm] und [mm]x \not\in B[/mm]
stimmt das? also eher: was is falsch? dass kann doch nie und nimmer so stimmen!
Ich habe die Farge in keinem anderen Forum gestellt!!
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Jetzt hab ich die Lösung ^^
falls sie mal einer brauchen sollte XD
Wir zeigen die Gleichheit der Mengen M [mm]\cap[/mm](A [ B) und (M [mm]\cap[/mm] A)[(M [mm]\cap[/mm] B)
durch den Nachweis der beiden Inklusionen [mm]\subseteq[/mm] und [mm]\supseteq[/mm]
Für [mm]\subseteq[/mm] sei x [mm]\in[/mm]M \ (A [mm]\cup[/mm] B); damit gilt x [mm]\in[/mm] M und x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup [/mm] B, also x [mm]\in[/mm] A oder x [mm]\in[/mm] B:
- Fall 1: x [mm]\in[/mm] A; wegen x [mm]\in[/mm] M ist folglich x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] A, insbesondere also [mm]\in[/mm] 2 (M [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm](M [mm]\cap[/mm] B).
- Fall 2: x [mm]\in[/mm] B; wegen x [mm]\in[/mm]M ist folglich x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] B, insbesondere also [mm]\in[/mm] (M [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup
[/mm] (M [mm]\cap[/mm] B).
Für [mm]\supseteq[/mm] sei x [mm]\in[/mm] (M [mm]\cap[/mm] A)[mm]\cup
[/mm](M [mm]\cap[/mm] B); damit gilt x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm]A oder x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm]B:
- Fall 1: x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] A; damit ist x [mm]\in[/mm] M und x [mm]\in[/mm] A, insbesondere x [mm]\in[/mm] M und x [mm]\in[/mm] A [mm]\cup
[/mm] B, insgesamt also x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] (A [ B).
- Fall 2: [mm]\in[/mm] 2 M [mm]\cap[/mm] B; damit ist x [mm]\in[/mm] M und x [mm]\in[/mm] B, insbesondere x [mm]\in[/mm] M und [mm]\in[/mm] 2 A [mm]\cup
[/mm] B, insgesamt also x [mm]\in[/mm] M [mm]\cap[/mm] (A [ B).
Grüße Melanie
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