Mengensystem finden < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Fr 19.04.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | Finde ein Mengensystem [mm] \mathcal{A}, [/mm] also eine Menge von Mengen, derart, dass [mm] \bigcap_{A \in \mathcal{A}} [/mm] A = [mm] \emptyset
[/mm]
während
[mm] \bigcap_{A \in \mathcal{B}} [/mm] A [mm] \not= \emptyset
[/mm]
für alle Teilmengen [mm] \mathcal{B} [/mm] von [mm] \mathcal{A} [/mm] mit nur endlich vielen Elementen. |
Hey,
ich muss ehrlich sagen ich komme bei der Aufgabe keineswegs weiter, ich verstehe leider nicht woher das "B" kommt. Kann mir jemand weiterhelfen?
Viele Grüße
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Hallo Locke,
die Aufgabe ist m.E. nicht schwer zu verstehen - eine Lösung ist aber nicht leicht zu finden.
> Finde ein Mengensystem [mm]\mathcal{A},[/mm] also eine Menge von
> Mengen, derart, dass [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm] A = [mm]\emptyset[/mm]
>
> während
>
> [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{B}}[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> für alle Teilmengen [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]\mathcal{A}[/mm] mit nur
> endlich vielen Elementen.
>
> ich muss ehrlich sagen ich komme bei der Aufgabe keineswegs
> weiter, ich verstehe leider nicht woher das "B" kommt.
Das kommt nirgendwoher, das wird einfach definiert: [mm] \mathcal{B} [/mm] ist die Menge aller Teilmengen von [mm] \mathcal{A}, [/mm] deren Mächtigkeit endlich ist. (Siehe auch unten)
Es legt sich nahe, dass [mm] \mathcal{A} [/mm] von unendlicher Mächtigkeit ist. 
> Kann mir jemand weiterhelfen?
Ein Beispiel: Sei [mm] A_1=\{k|k\equiv 1\mod{3}\} [/mm] und für $n>1$ sei [mm] A_n=\{k|k\equiv 2\mod{(2n+1)}\}. [/mm] Dieses Mengensystem erfüllt die Bedingungen. Allerdings braucht man etwas Zahlentheorie, um das nachzuvollziehen. Vielleicht findest Du ja ein einfacheres Beispiel?
Im übrigen scheint mir die Aufgabe nicht korrekt formuliert. So, wie sie dasteht, ist sie m.E. nicht lösbar: [mm] \mathcal{A} [/mm] enthält Mengen. Der Schnitt all dieser Mengen ist leer, es gibt also kein Element in diesen Mengen, das in ihnen allen vorkommt.
Die Frage ist, was nun [mm] \mathcal{B} [/mm] eigentlich beinhaltet. So wie es dasteht, offenbar endliche Teilmengen von [mm] \mathcal{A}, [/mm] also endliche Mengen von (womöglich unendlichen) Mengen.
Gemeint ist doch aber: [mm] \mathcal{B} [/mm] ist die Menge aller Teilmengen der in [mm] \mathcal{A} [/mm] enthaltenen Mengen, deren Mächtigkeit endlich ist.
Dann macht mein Lösungsvorschlag auch Sinn, sonst natürlich nicht.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 19.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo reverend,
> > Finde ein Mengensystem [mm]\mathcal{A},[/mm] also eine Menge von
> > Mengen, derart, dass [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm] A =
> [mm]\emptyset[/mm]
> >
> > während
> >
> > [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{B}}[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
> >
> > für alle Teilmengen [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]\mathcal{A}[/mm] mit
> nur
> > endlich vielen Elementen.
> [mm]\mathcal{B}[/mm] ist die Menge aller Teilmengen von [mm]\mathcal{A},[/mm]
> deren Mächtigkeit endlich ist. (Siehe auch unten)
Nein. [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] soll einfach für eine endliche Teilmenge von [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] stehen (s.o.).
Die Aussage
[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{B}}[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
soll für alle solchen [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] gelten.
In Worten: Der Schnitt endlich vieler Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist stets nichtleer, während der Schnitt aller Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] leer ist.
> Im übrigen scheint mir die Aufgabe nicht korrekt
> formuliert. So, wie sie dasteht, ist sie m.E. nicht
> lösbar: [mm]\mathcal{A}[/mm] enthält Mengen. Der Schnitt all
> dieser Mengen ist leer, es gibt also kein Element in diesen
> Mengen, das in ihnen allen vorkommt.
>
> Die Frage ist, was nun [mm]\mathcal{B}[/mm] eigentlich beinhaltet.
> So wie es dasteht, offenbar endliche Teilmengen von
> [mm]\mathcal{A},[/mm] also endliche Mengen von (womöglich
> unendlichen) Mengen.
Nein, [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] ist selbst eine endliche Teilmenge von [mm] $\mathcal{A}$.
[/mm]
> Gemeint ist doch aber: [mm]\mathcal{B}[/mm] ist die Menge aller
> Teilmengen der in [mm]\mathcal{A}[/mm] enthaltenen Mengen, deren
> Mächtigkeit endlich ist.
Nein.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Fr 19.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo locke123,
> Finde ein Mengensystem [mm]\mathcal{A},[/mm] also eine Menge von
> Mengen, derart, dass [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm] A =
> [mm]\emptyset[/mm]
>
> während
>
> [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{B}}[/mm] A [mm]\not= \emptyset[/mm]
>
> für alle Teilmengen [mm]\mathcal{B}[/mm] von [mm]\mathcal{A}[/mm] mit nur
> endlich vielen Elementen.
> ich muss ehrlich sagen ich komme bei der Aufgabe keineswegs
> weiter, ich verstehe leider nicht woher das "B" kommt. Kann
> mir jemand weiterhelfen?
Nehmen wir der Einfachheit halber mal an, [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] hat die Form
[mm] $\mathcal{A}=\{A_n\;|\;n\in\IN_0\}$
[/mm]
für gewisse Mengen [mm] $A_n$, $n\in\IN_0$.
[/mm]
Dann könnte [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] etwa
[mm] $\mathcal{B}=\{A_0,A_1,A_2,A_3,A_4,A_5\}$
[/mm]
oder
[mm] $\mathcal{B}=\{A_2,A_{25},A_{73},A_{101}\}$
[/mm]
sein.
[mm] $\mathcal{B}$ [/mm] steht eben für eine derartige endliche Teilmenge von [mm] $\mathcal{A}$.
[/mm]
Wenn ein [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] von der von mir angegebenen Form das Gewünschte leisten soll, muss
[mm] $\underbrace{\bigcap_{A\in \mathcal{A}}A}_{=\bigcap_{n\in\IN_0}A_n}=\emptyset$
[/mm]
gelten (der Schnitt ALLER Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist leer), aber etwa
[mm] $A_0\cap A_1\cap A_2\cap A_3\cap A_4\cap A_5\not=\emptyset$
[/mm]
und
[mm] $A_2\cap A_{25}\cap A_{73}\cap A_{101}\not=\emptyset$.
[/mm]
(der Schnitt je ENDLICH VIELER Mengen aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ist nicht leer).
Ist die Aufgabe nun klarer geworden?
Falls ja: Wenn du Mengen
[mm] $A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq A_3\supseteq\ldots$
[/mm]
findest, die alle nichtleer sind, so dass der Schnitt aller dieser Mengen jedoch leer ist, hast du gewonnen (warum?).
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> Hallo ne1,
Hallo Tobi,
Ich denke ich poste hier im Forum zu viel :D.
Ist zwar nicht mein Thread, aber habe direkt eine Frage, da ich selber mich mit dem Thema gerade beschäftige. Warum sehe ich da 3 Unterschiedliche A? Solche Schreibweise sehe das erste Mal. Ich vermute es liegt einfach an der Schriftart (einmal mit Latex und einmal ohne). Habe ich Recht? Dann würde ich [mm] $\bigcap_{A \in \mathcal{A}} [/mm] A$ schreiben, sonst ist es sehr verwirrend.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Fr 19.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Mein Vorschlag:
[mm] $A_n [/mm] =: [0, [mm] \bruch{1}{n}]$
[/mm]
[mm] $\mathcal{A} =:\{A_n: n \in \IN^+\}$.
[/mm]
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> Mein Vorschlag:
> [mm]A_n =: [0, \bruch{1}{n}][/mm]
> [mm]\mathcal{A} =:\{A_n: n \in \IN^+\}[/mm].
>
>
Moin,
das klappt doch nicht: der Schnitt wäre nicht leer, sondern [mm] \{0\}.
[/mm]
Aber mit [mm] A_n:=]0,\bruch{1}{n}] [/mm] klappt alles wie gewünscht.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Sa 20.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo ne1,
> > Hallo ne1,
>
> Ich denke ich poste hier im Forum zu viel :D.
>
> Ist zwar nicht mein Thread,
Hm, was mich da wohl geritten hat... Ich hoffe, locke123 ist deshalb nicht sauer...
> aber habe direkt eine Frage, da
> ich selber mich mit dem Thema gerade beschäftige. Warum
> sehe ich da 3 Unterschiedliche A? Solche Schreibweise sehe
> das erste Mal. Ich vermute es liegt einfach an der
> Schriftart (einmal mit Latex und einmal ohne). Habe ich
> Recht? Dann würde ich [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm]
> schreiben, sonst ist es sehr verwirrend.
Habe ich da irgendwo was falsch gemacht? Mir fällt $A$ und [mm] $\mathcal{A}$[/mm] \mathcal{A} ein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ne1,
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>
> > > Hallo ne1,
> >
> > Ich denke ich poste hier im Forum zu viel :D.
> >
> > Ist zwar nicht mein Thread,
> Hm, was mich da wohl geritten hat... Ich hoffe, locke123
> ist deshalb nicht sauer...
>
>
> > aber habe direkt eine Frage, da
> > ich selber mich mit dem Thema gerade beschäftige. Warum
> > sehe ich da 3 Unterschiedliche A? Solche Schreibweise sehe
> > das erste Mal. Ich vermute es liegt einfach an der
> > Schriftart (einmal mit Latex und einmal ohne). Habe ich
> > Recht? Dann würde ich [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm]
> > schreiben, sonst ist es sehr verwirrend.
> Habe ich da irgendwo was falsch gemacht? Mir fällt [mm]A[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}[/mm] [mm][code]\mathcal{A}[/code][/mm] ein.
Hallo Tobias,
könnte es sein, dass ne1
[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm] und [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm]
durcheinander bringt ? [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm] ist natürlich Unsinn, aber
[mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm]
ist O.K., denn
[mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm] =[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm]
Gruß FRED
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:50 Sa 20.04.2013 | | Autor: | ne1 |
Angela, ich meinte ohne die Null. Du hast natürlich Recht, da muss ein "]" stehen.
>Habe ich da irgendwo was falsch gemacht?
Nein, es ging mir um die Schreibweise von locke123.
> Hallo Tobias,
>
> könnte es sein, dass ne1
>
> [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm] und [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm]
>
> durcheinander bringt ? [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm]
> ist natürlich Unsinn, aber
>
> [mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm]
>
> ist O.K., denn
>
> [mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm] =[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm]
>
> Gruß FRED
>
>
> >
> >
> > Viele Grüße
> > Tobias
>
Nein, nein. locke123 hat geschriben [mm] "$\bigcap_{A \in \mathcal{A}}$A" [/mm] (was ja richtig ist). Man hat hier aber den Eindruck, das da jetzt drei Unterschiedliche A stehen, was mich persönlich am Anfang verwirrt hat, deshalb würde ich [mm] $\bigcap_{A \in \mathcal{A}}A$ [/mm] schreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:56 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Angela, ich meinte ohne die Null. Du hast natürlich Recht,
> da muss ein "]" stehen.
>
> >Habe ich da irgendwo was falsch gemacht?
>
> Nein, es ging mir um die Schreibweise von locke123.
>
>
> > Hallo Tobias,
> >
> > könnte es sein, dass ne1
> >
> > [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm] und [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm]
> >
> > durcheinander bringt ? [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} \mathcal{A}[/mm]
> > ist natürlich Unsinn, aber
> >
> > [mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm]
> >
> > ist O.K., denn
> >
> > [mm]\bigcap_{} \mathcal{A}[/mm] =[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}} A[/mm]
> >
> > Gruß FRED
> >
> >
> > >
> > >
> > > Viele Grüße
> > > Tobias
> >
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> Nein, nein. locke123 hat geschriben "[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm]A"
> (was ja richtig ist). Man hat hier aber den Eindruck, das
> da jetzt drei Unterschiedliche A stehen, was mich
> persönlich am Anfang verwirrt hat, deshalb würde ich
> [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}A[/mm] schreiben.
Ich hab nur 2 gesehen und von Anfang an stand da nur
$ [mm] \bigcap_{A \in \mathcal{A}} [/mm] $ A
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Sa 20.04.2013 | | Autor: | ne1 |
> > Nein, nein. locke123 hat geschriben "[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm]A"
> > (was ja richtig ist). Man hat hier aber den Eindruck, das
> > da jetzt drei Unterschiedliche A stehen, was mich
> > persönlich am Anfang verwirrt hat, deshalb würde ich
> > [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}A[/mm] schreiben.
>
>
> Ich hab nur 2 gesehen und von Anfang an stand da nur
>
> [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm] A
>
> FRED
Ja, aber $A$ und A sehen doch nicht gleich aus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Nein, nein. locke123 hat geschriben "[mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm]A"
> > > (was ja richtig ist). Man hat hier aber den Eindruck, das
> > > da jetzt drei Unterschiedliche A stehen, was mich
> > > persönlich am Anfang verwirrt hat, deshalb würde ich
> > > [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}A[/mm] schreiben.
> >
> >
> > Ich hab nur 2 gesehen und von Anfang an stand da nur
> >
> > [mm]\bigcap_{A \in \mathcal{A}}[/mm] A
> >
> > FRED
>
> Ja, aber [mm]A[/mm] und A sehen doch nicht gleich aus...
Jetzt ist mir klar, wo Dein Problem ist !
Mach keinen Unterschied zwischen [mm]A[/mm] und A
FRED
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