Mensch ärgere dich nicht < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Mi 30.11.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" braucht man eine 6, um seine Figur auf Start zu stellen. Hat man keine Figur im Feld, so hat man 3 Versuche, um eine 6 zu würfeln. Schafft man keine 6, dann bis zur nächsten Runde warten.
a) konnte ich beantw. u.
b) Felix hat im ersten Wurd eine 2 gewürfelt, im zweiten eine 5. Wie gr. ist die Wahrscheinlichkeit beim dritten Wurf eine 6 zu würfeln?
Die Frage lautet nicht, wie gr. ist P beim 3 Wurf eine 6 zu würfeln, sondern
wie gr. ist P für 2-5-6?
Ich habe mich gefragt, wieviel Kombinationsmögl.keiten es insges. gibt.
Und nehme [mm] n^k =6^3 [/mm] = 216. So, das ist mein Nenner. Und 2-5-6 ist ein einziger Fall von den 216 Mögl.keiten.
Also
P = [mm] \bruch{1}{216} [/mm]
Richtig?
Die Problematik ist:
Der Fall 6-6-6, diese Mögl.keit gibt es theoretisch, dass man 3x hintereinander eine 6 würfelt. Diese Mögl.keit gibt es aber praktisch nicht, denn sobald eine 6 fällt, kommt man ja raus.
Theoretisch zu rechnen wäre mir lieber, weil es sonst so kompliziert wird.
Darf man das? Oder muss ich nur reale Mögl.keiten betrachten?
c) Bestimme die Wahrschl.keit dafür, dass man nach dem zweiten Wurf seine Figur auf Start stellen kann.
Alle Ereignisse beim ersten Wurf eine 6 zu würfeln scheiden aus. Oder?
Anzahl aller mögl. Ereignisse [mm] 6^2 [/mm] = 36
Zieht man 6 Mögl.keiten für alle ersten Würfe mit einer 6 am Anfang ab,
dann sind es 30 Ges.ereignisse.
Gesuchte Ereignisse diese 5:
1-6
2-6
3-6
4-6
5-6
6-6
Lösg. P = [mm] \bruch{5}{30} [/mm] oder die theoret. Lösg.
P = [mm] \bruch{6}{36} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6} [/mm]
Welche ist es?
d) Wenn man Glück hat, kann man in der ersten Runde (also während der ersten 3 Würfe) seine Figur auf Start stellen. Wie ist die Wahrscheinl.keit dafür?
Ich habe P = [mm] 5*\bruch{11}{216} [/mm] + [mm] \bruch{36}{216} [/mm]
Das Ergebnis
[mm] \bruch{91}{216} [/mm] erscheint mir aber merkwürdig, denn gerundet wäre es eine Wahrscheinl.keit 1 zu 2, also 0,5. Das ist viel bei nur einer gefragten Zahl. Kommt das trotzdem hin?
Muss f. jede andere beliebe Zahl auch gelten. Aber [mm] \bruch{91}{216} [/mm] * 6 ergibt leider nicht 1.
Deswegen stutze u. zweifel ich.
e) Felix hat es schon 3 Runden lang nicht geschafft, mit seiner Figur rauszukommen. Er schimpft: "Das passiert nur in jedem tausendsten Fall, u. ausgrechnt mir muss das passieren."
Hat er recht?
Ich bin da so rangegangen: Man braucht nix neu auszurechnen. Man nimmt einfach das Gegenereignis von Aufg. d). Vorausgesetzt das ist richtig.
Ich komme dann auf P = [mm] \bruch{125}{216} [/mm]
Dieser Wert gilt für eine einzige Runde. Gefragt war aber nach 3 Runden.
Ich habe
P = 3* [mm] \bruch{125}{216} [/mm] = 0,1938
Wie soll ich denn nun entscheiden, ob das jede 1000ste Mal so ist? |
Hallo,
für alle die sich die Mühe machen zu antw. - ich weiß es zu schätzen:
Ich mag Wahrscheinl.keits-Rechng. nicht.
(weiß aber noch nicht, wann ich wieder hier gucken kann)
Vor ab schon mal vielen DANK!!!!
Sabine
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Hallo Sabine,
das sieht doch schon ziemlich gut aus!
> Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" braucht man eine 6,
> um seine Figur auf Start zu stellen. Hat man keine Figur im
> Feld, so hat man 3 Versuche, um eine 6 zu würfeln. Schafft
> man keine 6, dann bis zur nächsten Runde warten.
>
> a) konnte ich beantw. u.
>
> b) Felix hat im ersten Wurd eine 2 gewürfelt, im zweiten
> eine 5. Wie gr. ist die Wahrscheinlichkeit beim dritten
> Wurf eine 6 zu würfeln?
> Die Frage lautet nicht, wie gr. ist P beim 3 Wurf eine 6
> zu würfeln, sondern
> wie gr. ist P für 2-5-6?
> Ich habe mich gefragt, wieviel Kombinationsmögl.keiten es
> insges. gibt.
> Und nehme [mm]n^k =6^3[/mm] = 216. So, das ist mein Nenner. Und
> 2-5-6 ist ein einziger Fall von den 216 Mögl.keiten.
> Also
> P = [mm]\bruch{1}{216}[/mm]
> Richtig?
Nein. Das würde stimmen, wenn gefragt wäre, wie wahrscheinlich es ist, das Felix (der Glückliche) in dieser Reihenfolge eine 2, eine 5 und eine 6 würfelt.
> Die Problematik ist:
> Der Fall 6-6-6, diese Mögl.keit gibt es theoretisch, dass
> man 3x hintereinander eine 6 würfelt. Diese Mögl.keit
> gibt es aber praktisch nicht, denn sobald eine 6 fällt,
> kommt man ja raus.
> Theoretisch zu rechnen wäre mir lieber, weil es sonst so
> kompliziert wird.
> Darf man das? Oder muss ich nur reale Mögl.keiten
> betrachten?
Da darf es keinen Unterschied geben! Mit anderen Worten: es ist egal.
Gefragt ist hier doch nur, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zwei schon bekannten erfolglosen Würfen (deren Wahrscheinlichkeit wir gar nicht mehr betrachten müssen) im dritten Wurf die 6 kommt. Es ist also nur dieser eine Wurf zu betrachten und die Wahrscheinlichkeit ist folgerichtig [mm] p=\tfrac{1}{6}.
[/mm]
> c) Bestimme die Wahrschl.keit dafür, dass man nach dem
> zweiten Wurf seine Figur auf Start stellen kann.
> Alle Ereignisse beim ersten Wurf eine 6 zu würfeln
> scheiden aus. Oder?
So würde ich die ungenaue Aufgabenstellung auch verstehen.
> Anzahl aller mögl. Ereignisse [mm]6^2[/mm] = 36
> Zieht man 6 Mögl.keiten für alle ersten Würfe mit einer
> 6 am Anfang ab,
> dann sind es 30 Ges.ereignisse.
> Gesuchte Ereignisse diese 5:
> 1-6
> 2-6
> 3-6
> 4-6
> 5-6
> 6-6
Das letzte Ereignis natürlich nicht. Es bleiben also die angekündigten 5 übrig.
> Lösg. P = [mm]\bruch{5}{30}[/mm] oder die theoret. Lösg.
>
> P = [mm]\bruch{6}{36}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
Weder noch. Es gibt fünf mögliche "Pfade" im Wahrscheinlichkeitsbaum, in dem aber 36 erfasst sind. Also [mm] p=\bruch{5}{36} [/mm] (praktischer Ansatz). Theoretisch (wie Du es nennst) hieße das: 5 Möglichkeiten im 1. Wurf, 1 Möglichkeit im 2. Wurf, also [mm] p=\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}.
[/mm]
> d) Wenn man Glück hat, kann man in der ersten Runde (also
> während der ersten 3 Würfe) seine Figur auf Start
> stellen. Wie ist die Wahrscheinl.keit dafür?
> Ich habe P = [mm]5*\bruch{11}{216}[/mm] + [mm]\bruch{36}{216}[/mm]
Das kann ich in der dargestellten Form nicht nachvollziehen, aber das Ergebnis ist richtig. [mm] p=\bruch{1}{6}+\bruch{5}{36}+\bruch{25}{216}=\bruch{91}{216}
[/mm]
> Das Ergebnis
> [mm]\bruch{91}{216}[/mm] erscheint mir aber merkwürdig, denn
> gerundet wäre es eine Wahrscheinl.keit 1 zu 2, also 0,5.
> Das ist viel bei nur einer gefragten Zahl. Kommt das
> trotzdem hin?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Muss f. jede andere beliebe Zahl auch gelten. Aber
> [mm]\bruch{91}{216}[/mm] * 6 ergibt leider nicht 1.
> Deswegen stutze u. zweifel ich.
Deine Überlegung ist eine der typischen Fallen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier hast Du das Gegenereignis nicht korrekt bedacht. Bei der Wurffolge 2,3,4 kommt zwar keine 6 vor, aber auch keine 1 oder 5. Wenn 1 oder 5 oder 6 also die zu erreichende Zahl darstellen, dann wäre die Wurffolge nicht erfolgreich. Anders bei 2,3 oder 4, und für jede dieser "Zielzahlen" müsste die Folge anders bewerten werden.
> e) Felix hat es schon 3 Runden lang nicht geschafft, mit
> seiner Figur rauszukommen. Er schimpft: "Das passiert nur
> in jedem tausendsten Fall, u. ausgrechnt mir muss das
> passieren."
> Hat er recht?
>
> Ich bin da so rangegangen: Man braucht nix neu
> auszurechnen. Man nimmt einfach das Gegenereignis von Aufg.
> d). Vorausgesetzt das ist richtig.
> Ich komme dann auf P = [mm]\bruch{125}{216}[/mm]
>
> Dieser Wert gilt für eine einzige Runde. Gefragt war aber
> nach 3 Runden.
> Ich habe
>
> P = 3* [mm]\bruch{125}{216}[/mm] = 0,1938
Das ist offenbar nur falsch aufgeschrieben, denn berechnet hast Du
[mm] p=\left(\bruch{125}{216}\right)^3, [/mm] was auch das richtige Ergebnis ist, anders geschrieben / berechnet: [mm] p=\bruch{5^9}{6^9}
[/mm]
> Wie soll ich denn nun entscheiden, ob das jede 1000ste Mal
> so ist?
Das kannst Du nach Deiner korrekten Berechnung doch selbst einschätzen! Felix hat sich gehörig verschätzt.
Liebe Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Do 22.12.2011 | | Autor: | Giraffe |
> Hallo Sabine,
>
> das sieht doch schon ziemlich gut aus!
Hallo reverend,
finde ich gar nicht. Denn ich habe deine Antw. mehrmals gelesen u. habe das Gefühl, dass ich da noch eine menge zu korrigieren habe.
Vorerst aber habe ich nur eine Frage:
(rot markiert)
> > Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" braucht man eine 6,
> > um seine Figur auf Start zu stellen. Hat man keine Figur im
> > Feld, so hat man 3 Versuche, um eine 6 zu würfeln. Schafft
> > man keine 6, dann bis zur nächsten Runde warten.
> >
> > a) konnte ich beantw. u.
> >
> > b) Felix hat im ersten Wurd eine 2 gewürfelt, im zweiten
> > eine 5. Wie gr. ist die Wahrscheinlichkeit beim dritten
> > Wurf eine 6 zu würfeln?
> > Die Frage lautet nicht, wie gr. ist P beim 3. Wurf eine 6
> > zu würfeln, sondern
> > wie gr. ist P für 2-5-6?
> > Ich habe mich gefragt, wieviel Kombinationsmögl.keiten
> > es insges. gibt.
> > Und nehme [mm]n^k =6^3[/mm] = 216. So, das ist mein Nenner. Und
> > 2-5-6 ist ein einziger Fall von den 216 Mögl.keiten.
> > Also
> > P = [mm]\bruch{1}{216}[/mm]
> > Richtig?
>
> Nein. Das würde stimmen, wenn gefragt wäre, wie
> wahrscheinlich es ist, das Felix (der Glückliche) in
> dieser Reihenfolge eine 2, eine 5 und eine 6 würfelt.
Ja, ganz genau.
Wenn ich hätte beantworten sollen:
Wie gr. ist P im 3.Wurf eine 6 zu würfeln, dann hätten die Autoren des Schulbuches doch nicht vorher die Zahlen/Ergebnisse von den beiden ersten Würfen nennen dürfen. Oder? Weil sie aber im Buch gesagt haben:
wirft im 1. Wurf eine 2
im 2. Wurf eine 5
im 3. Wurf eine 6?
Bin ich davon ausgegangen, dass nach P(2-5-6) gefragt war.
Buch: "Felix hat im ersten Wurf eine 2 gewürfelt, im zweiten
eine 5. Wie gr. ist die Wahrscheinlichkeit beim dritten
Wurf eine 6 zu würfeln?"
Du meinst also, dass die Infos 1.Wurf 2
u. 2.Wurf 5 zu ignorieren sind?
Und wenn ja, warum? Wie hätte ich das wissen sollen?
Warum fragt das Buch denn nicht gleich nur: "Wie gr. ist die Wahrscheinlichkeit beim dritten Wurf eine 6 zu würfeln?"
Das ist doch irreführend.
Nun schleppe ich seit mehr als 2-3 Wochen die Frage an dich mit mir rum
wie denn dann die Antw. ist. Aber das hat sich eventuell erübrigt, denn jetzt glaube ich es zu wissen.
P(dritter Wurf 6)=1/6
Ja, ist es so?
DANKE DIR
Bis hoffentlich nächstes Mal
Sabine
> > Die Problematik ist:
> > Der Fall 6-6-6, diese Mögl.keit gibt es theoretisch,
> dass
> > man 3x hintereinander eine 6 würfelt. Diese Mögl.keit
> > gibt es aber praktisch nicht, denn sobald eine 6 fällt,
> > kommt man ja raus.
> > Theoretisch zu rechnen wäre mir lieber, weil es sonst
> so
> > kompliziert wird.
> > Darf man das? Oder muss ich nur reale Mögl.keiten
> > betrachten?
>
> Da darf es keinen Unterschied geben! Mit anderen Worten: es
> ist egal.
> Gefragt ist hier doch nur, wie groß die
> Wahrscheinlichkeit ist, dass bei zwei schon bekannten
> erfolglosen Würfen (deren Wahrscheinlichkeit wir gar nicht
> mehr betrachten müssen) im dritten Wurf die 6 kommt. Es
> ist also nur dieser eine Wurf zu betrachten und die
> Wahrscheinlichkeit ist folgerichtig [mm]p=\tfrac{1}{6}.[/mm]
>
> > c) Bestimme die Wahrschl.keit dafür, dass man nach dem
> > zweiten Wurf seine Figur auf Start stellen kann.
> > Alle Ereignisse beim ersten Wurf eine 6 zu würfeln
> > scheiden aus. Oder?
>
> So würde ich die ungenaue Aufgabenstellung auch
> verstehen.
>
> > Anzahl aller mögl. Ereignisse [mm]6^2[/mm] = 36
> > Zieht man 6 Mögl.keiten für alle ersten Würfe mit
> einer
> > 6 am Anfang ab,
> > dann sind es 30 Ges.ereignisse.
> > Gesuchte Ereignisse diese 5:
> > 1-6
> > 2-6
> > 3-6
> > 4-6
> > 5-6
> > 6-6
>
> Das letzte Ereignis natürlich nicht. Es bleiben also die
> angekündigten 5 übrig.
>
> > Lösg. P = [mm]\bruch{5}{30}[/mm] oder die theoret. Lösg.
> >
> > P = [mm]\bruch{6}{36}[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}[/mm]
>
> Weder noch. Es gibt fünf mögliche "Pfade" im
> Wahrscheinlichkeitsbaum, in dem aber 36 erfasst sind. Also
> [mm]p=\bruch{5}{36}[/mm] (praktischer Ansatz). Theoretisch (wie Du
> es nennst) hieße das: 5 Möglichkeiten im 1. Wurf, 1
> Möglichkeit im 2. Wurf, also [mm]p=\bruch{5}{6}*\bruch{1}{6}.[/mm]
>
> > d) Wenn man Glück hat, kann man in der ersten Runde (also
> > während der ersten 3 Würfe) seine Figur auf Start
> > stellen. Wie ist die Wahrscheinl.keit dafür?
> > Ich habe P = [mm]5*\bruch{11}{216}[/mm] + [mm]\bruch{36}{216}[/mm]
>
> Das kann ich in der dargestellten Form nicht
> nachvollziehen, aber das Ergebnis ist richtig.
> [mm]p=\bruch{1}{6}+\bruch{5}{36}+\bruch{25}{216}=\bruch{91}{216}[/mm]
>
> > Das Ergebnis
> > [mm]\bruch{91}{216}[/mm] erscheint mir aber merkwürdig, denn
> > gerundet wäre es eine Wahrscheinl.keit 1 zu 2, also 0,5.
> > Das ist viel bei nur einer gefragten Zahl. Kommt das
> > trotzdem hin?
>
> Ja.
>
> > Muss f. jede andere beliebe Zahl auch gelten. Aber
> > [mm]\bruch{91}{216}[/mm] * 6 ergibt leider nicht 1.
> > Deswegen stutze u. zweifel ich.
>
> Deine Überlegung ist eine der typischen Fallen in der
> Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier hast Du das Gegenereignis
> nicht korrekt bedacht. Bei der Wurffolge 2,3,4 kommt zwar
> keine 6 vor, aber auch keine 1 oder 5. Wenn 1 oder 5 oder 6
> also die zu erreichende Zahl darstellen, dann wäre die
> Wurffolge nicht erfolgreich. Anders bei 2,3 oder 4, und
> für jede dieser "Zielzahlen" müsste die Folge anders
> bewerten werden.
>
> > e) Felix hat es schon 3 Runden lang nicht geschafft, mit
> > seiner Figur rauszukommen. Er schimpft: "Das passiert nur
> > in jedem tausendsten Fall, u. ausgrechnt mir muss das
> > passieren."
> > Hat er recht?
> >
> > Ich bin da so rangegangen: Man braucht nix neu
> > auszurechnen. Man nimmt einfach das Gegenereignis von Aufg.
> > d). Vorausgesetzt das ist richtig.
> > Ich komme dann auf P = [mm]\bruch{125}{216}[/mm]
> >
> > Dieser Wert gilt für eine einzige Runde. Gefragt war aber
> > nach 3 Runden.
> > Ich habe
> >
> > P = 3* [mm]\bruch{125}{216}[/mm] = 0,1938
>
> Das ist offenbar nur falsch aufgeschrieben, denn berechnet
> hast Du
> [mm]p=\left(\bruch{125}{216}\right)^3,[/mm] was auch das richtige
> Ergebnis ist, anders geschrieben / berechnet:
> [mm]p=\bruch{5^9}{6^9}[/mm]
>
> > Wie soll ich denn nun entscheiden, ob das jede 1000ste Mal
> > so ist?
>
> Das kannst Du nach Deiner korrekten Berechnung doch selbst
> einschätzen! Felix hat sich gehörig verschätzt.
>
> Liebe Grüße
> reverend
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