www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Maßtheorie" - Messbare Funktion
Messbare Funktion < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Messbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:08 So 09.11.2014
Autor: mariem

Hallo,

in [mm] \mathbb{R} [/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm] \in L^1 [/mm] und [mm] \hat{f}(t)=\int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx , [mm] \forall [/mm] x [mm] (i^2=-1). [/mm]

Ich muss folgendes zeigen:
1. [mm] \hat{f} [/mm] ist stetig
2. [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0 [/mm]
3. [mm] ||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1 [/mm]


[mm] L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\} [/mm]

1. Um zu zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, muss man zeigen dass das Integral [mm] \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} [/mm] dx stetig ist. Also muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?
Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar ist?

[mm] 2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int [/mm] f(x) [mm] e^{ixt} dx=\int [/mm] f(x) [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt} [/mm] dx
Wie kann ich weiter machen?

3. Wir haben dass [mm] ||\hat{f}||_p [/mm] = [mm] \left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}. [/mm]
Also [mm] ||\hat{f}||_1 [/mm] =  [mm] \int |\hat{f}| d\mu [/mm] < [mm] +\infty [/mm] .
Ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty} [/mm] das Supremum?

        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:37 So 09.11.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]
>  
> Ich muss folgendes zeigen:
>  1. [mm]\hat{f}[/mm] ist stetig
>  2. [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
>  3.
> [mm]||\hat{f}||_{\infty} \leq ||\hat{f}||_1[/mm]
>  
>
> [mm]L^1=\{f: X \rightarrow \overline{\mathbb{R}} \text{ oder } \mathbb{C} : f \text{ messbar und } \int |f|d\mu < +\infty\}[/mm]
>  
> 1. Um zu zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, muss man zeigen
> dass das Integral [mm]\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx stetig ist. Also
> muss man zeigen dass f(x) stetig ist, oder nicht?


Nein. Es ist f [mm] \in L^1. [/mm] f  isti.a. nicht stetig.


>  Um das zu zeigen benutzt man die Tatsache dass f messbar
> ist?

... und natürlich f [mm] \in L^1. [/mm]


>  
> [mm]2.\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \int[/mm]
> f(x) [mm]e^{ixt} dx=\int[/mm] f(x) [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty}e^{ixt}[/mm]
> dx
>  Wie kann ich weiter machen?

So nicht ! Schätze [mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] ab.


>  
> 3. Wir haben dass [mm]||\hat{f}||_p[/mm] = [mm]\left ( \int | \hat{f}|^p d \mu \right )^{1/p}.[/mm]
>  
> Also [mm]||\hat{f}||_1[/mm] =  [mm]\int |\hat{f}| d\mu[/mm] < [mm]+\infty[/mm] .
>  Ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}[/mm] das Supremum?

Ja, da [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, ist [mm] ||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\} [/mm]

FRED


Bezug
                
Bezug
Messbare Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:20 So 09.11.2014
Autor: mariem


> Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  
>
>  
> ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]

  


Wie kann ich zeigen dass [mm] \hat{f} [/mm] stetig ist, wenn f [mm] \in L^1 [/mm] ?




> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.

  


[mm] \hat{f}(t)-\hat{f}(s) [/mm] = [mm] \int f(x)e^{ixt}dx [/mm] - [mm] \int f(x)e^{ixs}dx [/mm] = [mm] \int [/mm] f(x) [mm] \left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right [/mm] ] dx

Wie folgt daraus dass [mm] \lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0 [/mm] ?

  


> Ja, da [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, ist [mm]||\hat{f}||_{\infty}=\sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\}[/mm]



Also, wir wollen zeigen dass [mm] \sup \{|\hat{f}(t)|: t \in \IR\} \leq \int |\hat{f}|d\mu [/mm] oder?
  

Bezug
                        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  >  
> >
> >  

> > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
>    
>
>
> Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> ?

das wird doch unten behandelt?

>  
>
>
>
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
>    
>
>
> [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] = [mm]\int f(x)e^{ixt}dx[/mm] - [mm]\int f(x)e^{ixs}dx[/mm]
> = [mm]\int[/mm] f(x) [mm]\left [ e^{ixt}-e^{ixs} \right[/mm] ] dx
>  
> Wie folgt daraus dass [mm]\lim_{t \rightarrow \pm \infty} \hat{f}(t)=0[/mm]
> ?

Wende den Lebesgueschen Konvergenzsatz geeignet an. (Natürlich: Erst
nochmal den Satz nachschlagen, schauen, welche Voraussetzungen man
braucht, zeigen, dass diese Voraussetzungen erfüllt sind.)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Messbare Funktion: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:53 Mo 10.11.2014
Autor: mariem


> Hallo,
>  
> > > Nein. Es ist f [mm]\in L^1.[/mm] f  isti.a. nicht stetig.
>  >  >  
> > >
> > >  

> > > ... und natürlich f [mm]\in L^1.[/mm]
>  >    
> >
> >
> > Wie kann ich zeigen dass [mm]\hat{f}[/mm] stetig ist, wenn f [mm]\in L^1[/mm]
> > ?
>  
> das wird doch unten behandelt?
>  

Was meinst du?


Bezug
                                        
Bezug
Messbare Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Mo 10.11.2014
Autor: Lustique


> Was meinst du?

Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit

> So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.

eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit welcher du die Stetigkeit von [mm] $\hat [/mm] f$ zeigen kannst…


Bezug
                                                
Bezug
Messbare Funktion: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 01:37 Di 11.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > Was meinst du?
>  
> Ich denke mal, dass FRED meint, dass du mit
> > So nicht ! Schätze [mm]\hat{f}(t)-\hat{f}(s)[/mm] ab.
> eigentlich zu einer Abschätzung kommen solltest, mit
> welcher du die Stetigkeit von [mm]\hat f[/mm] zeigen kannst…

so ist es, und genau das meinte ich auch.

    [mm] $\hat{f}$ [/mm] ist (genau dann) stetig in [mm] $t\,,$ [/mm] wenn

    [mm] $\lim_{s \to t} |\hat{f}(s)-\hat{f}(t)|=0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Messbare Funktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 12.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Messbare Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 So 09.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>
> in [mm]\mathbb{R}[/mm] mit Lebesgue-Maß, haben wir dass f [mm]\in L^1[/mm]
> und [mm]\hat{f}=\int[/mm] f(x) [mm]e^{ixt}[/mm] dx , [mm]\forall[/mm] x [mm](i^2=-1).[/mm]

schreib' bitte mal [mm] $\widehat{f}$ [/mm] genau hin - ich kann mir nicht vorstellen, dass das,
was Du da schreibst, so da steht! (Linkerhand steht doch sicher [mm] $\widehat{f}(\red{\,t\,})$!) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Maßtheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de