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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Do 07.05.2020 | | Autor: | TS85 |
| Aufgabe | Seien [mm] (X,\mathcal{A}_X) [/mm] und [mm] (Y,\mathcal{A}_Y) [/mm] m.b. Räume.
z.z.:
1.) Ist f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung und [mm] \mathcal{E} [/mm] ein Erzeuger von [mm] \mathcal{A}_Y, [/mm] so ist f genau dann [mm] \mathcal{A}_X-\mathcal{A}_Y-messbar, [/mm] wenn gilt
[mm] f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_X, [/mm] E [mm] \in \mathcal{E}.
[/mm]
2.) Ist f: X [mm] \to \overline{\IR} [/mm] eine numerische Funktion und f(X) abzählbar, so ist f genau dann [mm] \mathcal{A}_X-messbar, [/mm] wenn gilt:
[mm] f^{-1}(\{a\})=\{x: f(x)=a\}\in \mathcal{A}_x, [/mm] a [mm] \in [/mm] f(X). |
zu 1.)
Aus der Eigenschaft der Abbildung [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] Y: f(x)=y folgt,
dass [mm] f^{-1}(Y)=X [/mm] ist.
Mit [mm] f^{-1}(\mathcal{A}_y)=\{f^{-1}(E): E \in \mathcal{A}_y\} [/mm] folgt:
(1) Y [mm] \in \mathcal{A}_y \Rightarrow [/mm] A [mm] \in f^{-1}(Y)=X
[/mm]
(2)A [mm] \in \mathcal{A}_x \Rightarrow \exists [/mm] E [mm] \in \mathcal{A}_y: f^{-1}(E)=A \Rightarrow A^C=f^{-1}(E^C) [/mm] und mit [mm] E^C \in \mathcal{A}_y [/mm] folgt [mm] A^C \in \mathcal{A}_x.
[/mm]
[mm] (3)A_n \in \mathcal{A}_x \forall [/mm] n [mm] \in \IN \Rightarrow \forall [/mm] n [mm] \in \IN \exists\box{ }E_n \in \mathcal{A}_y: [/mm]
[mm] f^{-1}(E_n)=A_n \Rightarrow \bigcup_{n \in \IN}_{A_n}=f^{-1}(\bigcup_{n \in \IN}_{E_n}) [/mm] und da [mm] \bigcup_{n \in \IN}_{E_n} \in \mathcal{A}_y [/mm] gilt, folgt [mm] \bigcup_{n \in \IN}_{A_n}\in \mathcal{A}_x [/mm]
Unklar ist mir hier insbesondere, ob dies nur ein formaler Beweis ist (wie ich es hier vorgemacht habe), und ob es überhaupt stimmt. Ich vermute es geht in die richtige Richtung, vermutlich fehlt aber etwas?
Alternativ hatte ich daran gedacht einfach zu zeigen:
[mm] f^{-1}(\mathcal{A}_y(\mathcal{E}))= \mathcal{A}_y(f^{-1}(\mathcal{E})) [/mm] und da nach Voraussetzung [mm] f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_x [/mm] folgt:
[mm] f^{-1}(\mathcal{A}_y(\mathcal{E}))=\mathcal{A}_y(f^{-1}(\mathcal{E})) \subseteq \mathcal{A}_y(\mathcal{A}_x) [/mm] = [mm] \mathcal{A}_x.
[/mm]
Allerdings gilt hier nicht [mm] f^{-1}(\mathcal{E}) \subset \mathcal{A}_x, [/mm] weswegen ich mir unsicher bin.
(Bei beiden Ansätzen verm. nicht exakt zutreffend?)
zu 2.)
Fallunterscheidungen:
1.) Für a [mm] \in \IR [/mm] gilt [mm] \{x:f(x)=a\}=\underbrace{\{x:f(x)\le a\}}_{m.b.}\setminus\underbrace{\{x:f(x)
2.) [mm] a=\infty: \{x:f(x)=\infty\}=\IR \setminus \{x:f(x) < \infty\}=\IR \setminus \bigcup_{n \in \IN}_{}\underbrace{\{x:f(x) \le n\}}_{m.b.} \Rightarrow [/mm] m.b.
3.) a= [mm] -\infty, [/mm] analog zur 2.)
Kommt der Abzählbarkeit von f(X) eine größere Bedeutung zu oder ist dies unrelevant?
Vermutlich gibt es Fehlinterpretationen zur Aufgabenstellung,
da einmal von [mm] \mathcal{A}_x-\mathcal{A}_y-Messbarkeit
[/mm]
und das andere mal von [mm] \mathcal{A}_x-Messbarkeit [/mm] geredet wird?
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Hiho,
vorweg: Du scheinst nicht verinnerlicht zu haben, dass man bei einer "genau dann, wenn" - Aussage zwei Richtungen zu zeigen hast.
Hier also: $f [mm] \text{ messbar } \gdw f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_X, [/mm] E [mm] \in \mathcal{E}$
[/mm]
Diese Aussage besteht aus zwei zu zeigenden Aussagen, nämlich:
a) $f [mm] \text{ messbar } \Rightarrow f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_X, [/mm] E [mm] \in \mathcal{E}$
[/mm]
b) $f [mm] \text{ messbar } \Leftarrow f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_X, [/mm] E [mm] \in \mathcal{E}$
[/mm]
Du scheinst dich bisher nur mit b) beschäftigt zu haben. Allerdings ist a) auch zu zeigen, wieso gilt a) denn?
Nun zu deinen Ausführungen zu b)
> Aus der Eigenschaft der Abbildung [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm]
> y [mm]\in[/mm] Y: f(x)=y folgt, dass [mm]f^{-1}(Y)=X[/mm] ist.
Ja, nur wozu brauchst du das?
> Mit [mm]f^{-1}(\mathcal{A}_y)=\{f^{-1}(E): E \in \mathcal{A}_y\}[/mm] folgt:
>
> (1) Y [mm]\in \mathcal{A}_y \Rightarrow[/mm] A [mm]\in f^{-1}(Y)=X[/mm]
Was soll A sein? Nach deiner Notation wäre $A [mm] \in [/mm] X$ also ein Element aus dem Urbildraum… aber was soll das zeigen?
> (2)A [mm]\in \mathcal{A}_x \Rightarrow \exists[/mm] E [mm][mm] \in \mathcal{A}_y: f^{-1}(E)=A [/mm]
Warum sollte $E [mm] \in \mathcal{A}_y$ [/mm] existieren, so dass$ [mm] f^{-1}(E)=A [/mm] $ ?
Im Allgemeinen stimmt das auch gar nicht…
> Alternativ hatte ich daran gedacht einfach zu zeigen:
>
> [mm]f^{-1}(\mathcal{A}_y(\mathcal{E}))= \mathcal{A}_y(f^{-1}(\mathcal{E}))[/mm]
> und da nach Voraussetzung [mm]f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_x[/mm] folgt:
Also erst mal zur Notation: Ich vermute du meinst mit [mm] $\mathcal{A}_y(\mathcal{E})$ [/mm] eigentlich [mm] $\sigma(\mathcal{E})$, [/mm] nämlich die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra, [/mm] die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthält.
> [mm]f^{-1}(\mathcal{A}_y(\mathcal{E}))=\mathcal{A}_y(f^{-1}(\mathcal{E})) \subseteq \mathcal{A}_y(\mathcal{A}_x)[/mm]
> = [mm]\mathcal{A}_x.[/mm]
Das ist natürlich Schmu…, was soll denn [mm] $\mathcal{A}_y(\mathcal{A}_x)$ [/mm] sein?
Du könntest aber die korrekte Idee haben.
Wir wenden bei dem Beweis wieder das Prinzip der "guten Mengen" an, dass du in der letzten Aufgabe bereits kennengelernt hast.
Eine Menge aus unserer [mm] Ausgangs-$\sigma$-Algebra $\mathcal{A}_Y$ [/mm] ist in unserem Fall "gut", wenn sie in der von den Urbildern von Mengen aus [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] erzeugten [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegt, d.h. wir betrachten die Menge:
[mm] $\mathcal{C} [/mm] := [mm] \left\{A \in \mathcal{A}_Y : f^{-1}(A) \in \sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right)\right\}$
[/mm]
Beachte hierbei:
a) [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] $\mathcal{A}_Y$
[/mm]
b) [mm] $\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right)$ [/mm] ist eine Teilmenge von [mm] $\mathcal{A}_X$
[/mm]
Erst mal gilt nach Definition natürlich nur [mm] $\mathcal{C} \subseteq \mathcal{A}_Y$.
[/mm]
Wenn wir aber [mm] $\mathcal{C} [/mm] = [mm] \mathcal{A}_Y$ [/mm] zeigen könnten (also alle Mengen aus [mm] $\mathcal{A}_Y$ [/mm] liegen in [mm] $\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right)$ [/mm] und damit nach b) auch in [mm] $\mathcal{A}_X$), [/mm] wären wir fertig.
------ MACH DIR DAS KLAR ------
Es bleibt also für Gleichheit zu zeigen: [mm] $\mathcal{C} \supseteq \mathcal{A}_Y$
[/mm]
Dies folgt aber sofort aus folgenden Dingen:
i) [mm] $\mathcal{E} \in \mathcal{C}$ [/mm] (zeige das!)
ii) [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ist eine [mm] $\sigma$-Algebra. [/mm]
Da nun [mm] $\mathcal{A}_Y$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthält, [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] aber nach obigem ebenfalls eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthält, folgt [mm] $\mathcal{A}_Y \subseteq \mathcal{C}$ [/mm] und wir sind fertig.
> zu 2.)
Auch hier wieder: Die Aussage besteht aus zwei Teilen. Es ist zu zeigen:
$f [mm] \text{ messbar } \gdw f^{-1}(\{a\})=\{x: f(x)=a\}\in \mathcal{A}_x, [/mm] a [mm] \in [/mm] f(X)$
d.h. es sind die beiden Aussagen zu zeigen:
$f [mm] \text{ messbar } \Rightarrow f^{-1}(\{a\})=\{x: f(x)=a\}\in \mathcal{A}_x, [/mm] a [mm] \in [/mm] f(X)$
$f [mm] \text{ messbar } \Leftarrow f^{-1}(\{a\})=\{x: f(x)=a\}\in \mathcal{A}_x, [/mm] a [mm] \in [/mm] f(X)$
Du hast dich vermutlich an der ersten versucht.
> 1.) Für a [mm]\in \IR[/mm] gilt
> [mm]\{x:f(x)=a\}=\underbrace{\{x:f(x)\le a\}}_{m.b.}\setminus\underbrace{\{x:f(x)
> m.b.
Ja, eine Begründung wäre nicht schlecht… die Mengen sind meßbar, weil $f$ als meßbar vorausgesetzt ist.
Bleibt die Rückrichtung, die hast du noch gar nicht gezeigt. Und da kommt auch deine Frage ins Spiel:
> Kommt der Abzählbarkeit von f(X) eine größere Bedeutung zu oder ist dies unrelevant?
Welche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachten wir denn auf deinem abzählbaren Raum?
Ich gebe zu, da ist die Aufgabe schlecht gestellt… implizit angenommen wird hier, dass in einem abzählbaren Raum [mm] $\mathcal{A}_X [/mm] = [mm] \mathcal{P}(X)$ [/mm] gilt, wir also die Potenzmenge als [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] haben.
Ansonsten wäre die Aussage auch falsch.
D.h. wenn du nun einen geeigneten Erzeuger der Potenzmenge angeben kannst und 1.) anwendest, bist du fertig…
> Vermutlich gibt es Fehlinterpretationen zur Aufgabenstellung, da einmal von $ [mm] \mathcal{A}_x-\mathcal{A}_y-Messbarkeit [/mm] $ und das andere mal von $ [mm] \mathcal{A}_x-Messbarkeit [/mm] $ geredet wird?
Wenn klar ist, welche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] gemeint ist, lässt man diese auch einfach weg.
Da wir hier eine numerische Funktion haben, also eine solche, die nach [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] abbildet, wird stillschweigend die Borelsche-Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] auf [mm] $\overline{\IR}$ [/mm] angenommen.
D.h. du hast in der zweiten Aufgabe die $ [mm] \mathcal{A}_x-\mathcal{B}-$Messbarkeit [/mm] zu zeigen.
Das hast du aber bei deinem Beweis auch schon angenommen…
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Do 07.05.2020 | | Autor: | TS85 |
zu 1) Sei f m.b., d.h. [mm] f^{-1}(C) \in \mathcal{A}_x \forall [/mm] C [mm] \in \mathcal{A}_y. [/mm] Dann gilt [mm] f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_x,
[/mm]
denn [mm] \mathcal{E} \subset \sigma (\mathcal{E})=\mathcal{A}_y
[/mm]
Zum Beweis C [mm] \in \mathcal{E}:
[/mm]
Gilt dies nicht bereits, da [mm] \mathcal{E} [/mm] nach Aufgabestellung
Erzeuger von [mm] \mathcal{A}_y. [/mm] Alternativ würde mir nur einfallen,
dass [mm] \sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) [/mm] automatisch auch [mm] f^{-1}(\mathcal{E}) [/mm] enthaelt und da [mm] \sigma(\mathcal{E}) [/mm] kleinste Sigma-Algebra, welche [mm] \mathcal{E} [/mm] enthält, gilt: [mm] f^{-1}(A) \in f^{-1}(\mathcal{E})
[/mm]
und somit auch [mm] \mathcal{E} \in A_y?
[/mm]
Ich unterliege hier ein wenig einem Zirkelschluss gedanklich, da [mm] C=\mathcal{A}_y [/mm] ja erst gezeigt werden muss.
Ein wenig Hilfe wäre deswegen noch hilfreich, der Beweis ist also nicht gerade formell zu lösen.
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Hiho,
> zu 1) Sei f m.b., d.h. [mm]f^{-1}(C) \in \mathcal{A}_x \forall[/mm]
> C [mm]\in \mathcal{A}_y.[/mm] Dann gilt [mm]f^{-1}(E) \in \mathcal{A}_x,[/mm]
> denn [mm]\mathcal{E} \subset \sigma (\mathcal{E})=\mathcal{A}_y[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zum Beweis C [mm]\in \mathcal{E}:[/mm]
> Gilt dies nicht bereits, da [mm]\mathcal{E}[/mm] nach Aufgabestellung Erzeuger von [mm]\mathcal{A}_y.[/mm]
Nein, denn vom Prinzip her liegen ja nicht alle Elemente aus [mm] $\mathcal{A}_y$ [/mm] in [mm] \mathcal{C}$ [/mm] sondern nur solche, für die [mm] $f^{-1}(A) \in \sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right)$ [/mm] gilt.
> Alternativ würde mir nur einfallen,
> dass [mm]\sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))[/mm] automatisch auch [mm]f^{-1}(\mathcal{E})[/mm] enthaelt
Das ist korrekt und die Begründung, von dir aber wohl nicht verstanden.
Denn was du danach schreibst:
> und da [mm]\sigma(\mathcal{E})[/mm]
> kleinste Sigma-Algebra, welche [mm]\mathcal{E}[/mm] enthält, gilt:
> [mm]f^{-1}(A) \in f^{-1}(\mathcal{E})[/mm]
> und somit auch
> [mm]\mathcal{E} \in A_y?[/mm]
ist falsch.
Du wirfst anscheinend auch immer durcheinander, in welchem Raum welche Menge gerade liegt…
> Ich unterliege hier ein wenig einem Zirkelschluss gedanklich, da [mm]C=\mathcal{A}_y[/mm] ja erst gezeigt werden muss.
Korrekt. Wir haben nach obigem jetzt also: [mm] $\mathcal{E} \subseteq \mathcal{C}$
[/mm]
Wenn wir nun zeigen, dass [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, folgt
[mm] $\mathcal{A}_Y \subseteq \mathcal{C}$ [/mm] (warum?)
Zeige also: [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] ist eine [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Sa 09.05.2020 | | Autor: | TS85 |
Ja, ich werde mich noch etwas stärker mit Aufgaben auseinandersetzen müssen. Das Skript ist da nicht unbedingt hilfreich in Bezug auf die Notationen beim praktischen Beweisführen.
Der gesamte Beweis ist mir nun allerdings dann relativ klar.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] folgert die Messbarkeit durch Annahme, dass alle Mengen aus [mm] \mathcal{A}_y [/mm] durch die Umkehrfunktion auch in der [mm] \mathcal{A}_x [/mm] liegen. Da [mm] \mathcal{E} \subset \sigma(\mathcal{E}), [/mm] gilt dann die z.z. Annahme (trivial)
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Gezeigt wird hier die Messbarkeit durch Erstellen der Menge C, welche eine (Teil-)Menge (A [mm] \in \mathcal{A}_y) [/mm] auf die (Teil-)algebra [mm] \sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) \subseteq \mathcal{A}_X [/mm] abbildet.
Per Konstruktion demnach C [mm] \subseteq \mathcal{A}_y. [/mm] Dadurch dass nun aber noch C [mm] \supseteq \mathcal{A}_y [/mm] gezeigt wird,
folgt die Gleichheit und die z.z. Annahme gilt im Allgemeinen (bzw. Messbarkeit)
C [mm] \supseteq \mathcal{A}_y [/mm] folgt daraus, dass (wie bereits genannt) [mm] \mathcal{A}_y [/mm] kleinste Sigma-Alg. welche [mm] \mathcal{E} [/mm] enthält. Wenn C auch den Erzeuger enthält, aber eine (größere) Sigma-Alg. darstellt, muss folgen C [mm] \supseteq \mathcal{A}_y.
[/mm]
Da [mm] \sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))
[/mm]
[mm] f^{-1}(\mathcal{E}) [/mm] enthalten muss, folgt daraus, dass im Urbild [mm] \mathcal{E} [/mm] enthalten ist. Mir war hier unklar, dass dies automatisch gilt (was anscheinend der Fall ist, wenn ich mich nicht täusche).
Beweis C ist eine Sigma-Alg.:
Annahme C' [mm] \subseteq \mathcal{G} [/mm] (Mit C' = [mm] \{A \in \mathcal{A}_y\} [/mm] und [mm] \mathcal{G} [/mm] dem Erzeuger von [mm] \mathcal{A}_y).
[/mm]
Nach Definition einer Sigma-Algebra gilt dann [mm] \mathcal{G} \subseteq \sigma(\mathcal{G})=\mathcal{A}_y. [/mm] Daraus folgt, dass auch C' [mm] \subseteq \mathcal{A}_y [/mm] ist. Aus Definition einer Sigma-Algebra folgt dann, dass C [mm] \subseteq \sigma(\mathcal{G}) [/mm] ist, dementsprechend C eine Sigma-Algebra.
Ich hoffe der Beweis ist auf diese Weise zulässig und richtig.
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Hiho,
> Der gesamte Beweis ist mir nun allerdings dann relativ klar.
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] folgert die Messbarkeit durch Annahme, dass
> alle Mengen aus [mm]\mathcal{A}_y[/mm] durch die Umkehrfunktion auch
> in der [mm]\mathcal{A}_x[/mm] liegen. Da [mm]\mathcal{E} \subset \sigma(\mathcal{E}),[/mm]
> gilt dann die z.z. Annahme (trivial)
>
> [mm]"\Leftarrow":[/mm] Gezeigt wird hier die Messbarkeit durch
> Erstellen der Menge C, welche eine (Teil-)Menge (A [mm]\in \mathcal{A}_y)[/mm]
> auf die (Teil-)algebra [mm]\sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) \subseteq \mathcal{A}_X[/mm]
> abbildet.
> Per Konstruktion demnach C [mm]\subseteq \mathcal{A}_y.[/mm]
> Dadurch dass nun aber noch C [mm]\supseteq \mathcal{A}_y[/mm]
> gezeigt wird,
> folgt die Gleichheit und die z.z. Annahme gilt im
> Allgemeinen (bzw. Messbarkeit)
> C [mm]\supseteq \mathcal{A}_y[/mm] folgt daraus, dass (wie bereits
> genannt) [mm]\mathcal{A}_y[/mm] kleinste Sigma-Alg. welche
> [mm]\mathcal{E}[/mm] enthält. Wenn C auch den Erzeuger enthält,
> aber eine (größere) Sigma-Alg. darstellt, muss folgen C
> [mm]\supseteq \mathcal{A}_y.[/mm]
Soweit hast du das verstanden.
Theoretisch ist dir also alles klar… es hapert nur an der Umsetzung
> Da [mm]\sigma(f^{-1}(\mathcal{E}))[/mm] [mm]f^{-1}(\mathcal{E})[/mm] enthalten muss,
> folgt daraus, dass im Urbild [mm]\mathcal{E}[/mm] enthalten ist.
Die Formulierung ist inkorrekt.
[mm]\mathcal{E}[/mm] ist Teil des Bildraums.
Du könntest hier auch mehrere Dinge meinen.
Das Urbild von [mm]\mathcal{E}[/mm], also [mm]f^{-1}(\mathcal{E})[/mm] ist nach Aufgabenvoraussertzung in [mm] $\mathcal{A}_X$ [/mm] enthalten, es gilt also:
[mm]f^{-1}(\mathcal{E}) \subseteq \mathcal{A}_X[/mm]
Insbesondere folgt daraus ebenso:
[mm]\sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right) \subseteq \mathcal{A}_X[/mm] (warum?)
Da nun, wie du selbst sagst, [mm]f^{-1}(\mathcal{E}) \subseteq \sigma\left(f^{-1}(\mathcal{E})\right)[/mm] gilt, folgt daraus [mm] $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{C}$
[/mm]
Versuch das zu verstehen…
> Beweis C ist eine Sigma-Alg.:
Welche Eigenschaften muss man denn zeigen, damit ein Mengensystem eine Sigma-Algebra ist?
Das was du zeigst, ist es jedenfalls nicht.
> Annahme C' [mm]\subseteq \mathcal{G}[/mm] (Mit C' = [mm]\{A \in \mathcal{A}_y\}[/mm] und [mm]\mathcal{G}[/mm] dem Erzeuger von [mm]\mathcal{A}_y).[/mm]
Der Erzeuger von [mm] $\mathcal{A}_Y$ [/mm] ist nach Voraussetzung [mm] $\mathcal{E}$
[/mm]
Also was du hier machst, ist Schmu… zeige einfach, dass [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist, in dem du die definieren Eigenschaften nachweist.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Sa 09.05.2020 | | Autor: | TS85 |
[mm] \sigma(f^{-1}(\mathcal{E})) \subseteq \mathcal{A}_x, [/mm] da dies nach einer Definition einer Sigma-Algebra im Allgemeinen gilt. Interessanter Weise ist mir die Definition dazu (sofern ich es nicht übersehen habe) nur aus dem Internet bekannt und nicht aus dem Skript.
Zudem ist es wie bereits gesagt die Definition, einen Beweis habe ich dazu keinen gefunden. Vermutlich ist der Grund, dass es sich um die kleinste Sigma-Algebra eines Grundraums X handelt, weshalb dies dann gelten muss.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Sa 09.05.2020 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Interessanter Weise ist mir die Definition dazu (sofern ich es nicht übersehen habe) nur
> aus dem Internet bekannt und nicht aus dem Skript.
Die Definition ist analog zu den monotonen Klassen, die ihr schon behandelt habt:
[mm] $\sigma(\mathcal{E}) [/mm] = [mm] \bigcup_{\stackrel{\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}}{ \mathcal{A} \text{ Sigma-Algebra}}} \mathcal{A}$
[/mm]
D.h. das ist der Schnitt über alle Sigma-Algebren [mm] $\mathcal{A}$, [/mm] die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthalten.
Dazu zeigt man dann, dass der Schnitt von Sigma-Algebren wieder eine Sigma-Algebra ist.
> Zudem ist es wie bereits gesagt die Definition, einen
> Beweis habe ich dazu keinen gefunden. Vermutlich ist der
> Grund, dass es sich um die kleinste Sigma-Algebra eines
> Grundraums X handelt, weshalb dies dann gelten muss.
Nach der obigen Definition ist das dann sofort klar: Da es der Schnitt über alle Sigma-Algebren ist, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthalten, ist jede Sigma-Algebra, die [mm] $\mathcal{E}$ [/mm] enthält rechts enthalten und damit Teil des Schnitts.
Gruß,
Gono
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