Messbarkeit < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass dir folgende Funktion messbar ist.
[mm] f: \mathbb R - \mathbb R [/mm], die gegeben ist durch
[mm] f(x)=\left\{\begin{matrix}
\cos(x), & \mbox{wenn } x \in \mathbb Q \\
33, & \mbox{wenn} x \notin \mathbb Q
\end{matrix}\right.
[/mm] |
Guten Abend!
Ich habe zu dieser Aufgabe bereits ein Lösung vorliegen, jedoch verstehe ich dabei eine Sache nicht!
So, erstmal die Lösung:
[mm] B \subset \mathbb R [/mm] messbar, dann ist
[mm] f^{-1}(B)=\left\{\begin{matrix}
\cos^{-1}(B) \cap \mathbb Q , & \mbox{wenn } 33 \notin $ B \\
( \mathbb R \setminus \mathbb Q ) \cup ( \cos^{-1}(B) \cap \mathbb Q ), & \mbox{wenn} 33 \in B
\end{matrix}\right.
[/mm]
[/mm]
( Hier bedeutet dieses ( hoch -1 ) beim Kosinus nicht das Inverse sondern das Urbild ).
Insgesamt ist [mm] f^{-1}(B) [/mm] messbar, da [mm] \mathbb Q , ( \mathbb R \setminus \mathbb Q ) [/mm] messbar sind;
[mm] \cos^{-1}(B) [/mm] messbar, denn ist Urbild einer messbaren Menge .
So und jetzt zu meine Frage:
Ich verstehe nicht warum das gilt:
[mm] f^{-1} (B) = ( \mathbb R \setminus \mathbb Q ) \cup ( \cos^{-1}(B) \cap \mathbb Q ) [/mm] wenn [mm] 33 \in B [/mm].
Ich hoffe jemand kann mir bei der Frage helfen!
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Sa 02.02.2008 | | Autor: | Blech |
> So und jetzt zu meine Frage:
> Ich verstehe nicht warum das gilt:
> [mm]f^{-1} (B) = ( \mathbb R \setminus \mathbb Q ) \cup ( \cos^{-1}(B) \cap \mathbb Q )[/mm]
> wenn [mm]33 \in B [/mm].
[mm] $f^{-1}({33})$ [/mm] ist [mm] $\IR\backslash \IQ$, [/mm] weil $f(x)=33$ für [mm] $x\in \IR\backslash \IQ$ [/mm] nach Definition. Das vereinigst Du jetzt noch mit dem Urbild des Rests von B, wie im Fall, daß 33 nicht in B liegt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 So 03.02.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ja, jetzt demmert es  !
Ich habe die Restmenge von B total vergessen, denn B muss ja nicht umbedingt nur aus der Zahl 33 bestehen...
Viele Dank!
Viele Grüße
Irmchen
|
|
|
|
