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Messbarkeit Komposition: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:23 Di 23.06.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei X eine nicht-leere Menge, [mm] (Y,\mathcal{B}) [/mm] ein m.b. Raum und [mm] T:X\to [/mm] Y eine Abbildung. Weiter sei
[mm] \mathcal{A}_T:=T^{-1}(\mathcal{B})=\{T^{-1}:B \in \mathcal{B}\} [/mm]
die von T erzeugte [mm] \sigma-Algebra [/mm] über X. Zeigen Sie, dass eine nicht-negative Funktion f:X [mm] \to \IR_+ [/mm] genau dann [mm] \mathcal{A}_T-messbar [/mm] ist, wenn eine [mm] \mathcal{B}-m.b. [/mm] Funktion g:Y [mm] \to \IR_+ [/mm] existiert mit
f= [mm] g\circ [/mm] T

Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm] \mathcal{A}_T-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] aus.

[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Ist f m.b., dann [mm] f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B) [/mm] = [mm] g^{-1}(T^{-1}(B)) \in \mathcal{A}_T \forall [/mm] B [mm] \in \mathcal{B}, [/mm]
da T und g nach Voraussetzung [mm] \mathcal{A}_T [/mm] messbar. (wobei die Reihenfolge der Verkettung eigentlich nicht passt)


[mm] "\Leftarrow": [/mm]
Für B [mm] \in \mathcal{B} [/mm] ist [mm] T^{-1}(B)\in [/mm] X.
[mm] (\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in [/mm] X

Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist unerheblich?

Na dann hoffe ich mal, dass meine Gebete erhört werden^^

        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:19 Di 23.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Vorweg: Ich gehe hier von einer [mm]\mathcal{A}_T-\mathcal{B}[/mm]-Messbarkeit aus.

Das ist unglücklich formuliert.
[mm] $\mathcal{B}$ [/mm] heißt ja (hier) die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf $Y$.
$f$ ist aber eine Abbildung von $X [mm] \to \IR_+$, [/mm] d.h. welche [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] betrachtest du auf [mm] $\IR_+$? [/mm]
Normalerweise würde man dort die Borelsche-Sigma-Algebra betrachten, die man normalerweise mit [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] bezeichet. Der Buchstabe ist hier aber schon vergeben… du solltest also die Bezeichnungen etwas klarer wählen…

> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>  Ist f m.b., dann [mm]f^{-1}(B)=(g \circ T)^{-1}(B)[/mm]

[notok]
Du hast als Voraussetzung: $f$ ist meßbar und nichtnegativ.
Die Existenz eines meßbaren $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] mit $f = [mm] g\circ [/mm] T$ ist hier erst zu zeigen.

Was weißt du denn über meßbare, nichtnegative Funktionen?

> [mm]"\Leftarrow":[/mm]
>  Für B [mm]\in \mathcal{B}[/mm] ist [mm]T^{-1}(B)\in[/mm] X.

Nein, [mm] $\in \mathcal{A}_T$. [/mm]

>  [mm](\underbrace{g \circ T}_{f})^{-1}(B)=T^{-1}(\underbrace{g^{-1}(B)}_{\mathcal{B} m.b.}) \in[/mm] X

Auch hier: [mm] $\in \mathcal{A}_T$ [/mm]
Sonst passt es.

>  
> Ich frage nach, da mir der Beweis in Verbindung mit der
> Komposition nicht so ganz klar ist. Hat denn der Teil
> "nicht-negative Funktion" eine bestimmte Bedeutung oder ist
> unerheblich?

Für die Rückrichtung ist das egal, das ist aber auch der einfache Teil.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:35 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Es muss also wieder wie bei [mm] "\Leftarrow" [/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] von g nicht voraussetzbar.

[mm] \mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] heißt doch hier in diesem Fall, das gilt:
[mm] \forall [/mm] C [mm] \in \IR_+: g^{-1}(C) \in \mathcal{B}. [/mm]

Bekannt ist mir aktuell nur, dass man mithilfe von [mm] \mathcal{A}-messbaren [/mm]  einfachen Funktionen eine nichtnegative Funktion approximieren kann.

Nun müsste allerdings das Urbild [mm] g^{-1}(C) [/mm] mit C [mm] \in \IR_+ [/mm] in den Borelmengen liegen.

Da [mm] \IR_+ [/mm] = [mm] (0,\infty) [/mm] als offenes Intervall auch eine Borelmenge ist,
kann man dann hier bei g von einer [mm] \mathcal{B}-\mathcal{B}-Messbarkeit [/mm] sprechen?
In diesem Fall müsste ich nur noch zeigen können, dass das Urbild der einfachen Funktionen [mm] \in \mathcal{B}, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}=\mathcal{B} [/mm]

Soweit aktuell mein Kenntnisstand, ob das in die richtige Richtung geht weiß ich leider nicht.. Aufklärung wäre dementsprechend nett.

Bezug
                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:41 Mi 24.06.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Es muss also wieder wie bei [mm]"\Leftarrow"[/mm] die gleiche Verkettungsauflösung verwendet werden damit es zusammenpasst, nur ist die [mm]\mathcal{B}-Messbarkeit[/mm] von g nicht voraussetzbar.

Nein, du machst hier den zweiten Schritt vor dem ersten.

Du hast bei [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] erst mal nur, dass es eine meßbare Funktion $f: X [mm] \to \IR_+$ [/mm] gibt und eine Funktion $ [mm] T:X\to [/mm]  Y$ mit den gegebenen Eigenschaften.

Wer sagt nun, dass es überhaupt eine Funktion gibt mit $f = g [mm] \circ [/mm] T$?

Mal ein Gegenbeispiel, wo ein solches $g$ gar nicht existiert:
Sei $X = [mm] \IR_+, [/mm] Y = [mm] \{0\}, [/mm] f(x) = x, T [mm] \equiv [/mm] 0$
Dann ist $f: [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] als Identität bijektiv aber für jedes $g: Y [mm] \to \IR_+$ [/mm] ist $(g [mm] \circ [/mm] T)(x) = g(T(x)) = g(0)$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$, d.h. $(g [mm] \circ [/mm] T): [mm] \IR_+ \to \IR_+$ [/mm] ist weder injektiv noch surjektiv, d.h. $f [mm] \not= g\circ [/mm] T$ für alle $g$.

Warum ist das trotzdem kein Gegenbeispiel für obigen Satz?
Na das kann dann nur an der vorausgesetzten Meßbarkeit für $f$ liegen.
Zeige also: Obiges $f$  ist nicht [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm] meßbar.
Dafür wirst du [mm] $\mathcal{A}_T$ [/mm]  für obiges T bestimmen müssen…

Es geht also darum, ein passendes [mm] $\mathcal{B}$-meßbares [/mm] $g$ zu konstruieren, so dass $f = [mm] g\circ [/mm] T$ gilt und nach obigem braucht man dazu offensichtlich die Meßbarkeit von $f$.
Wenn du das verstanden hast, machen wir weiter…

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Messbarkeit Komposition: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:23 Mi 24.06.2020
Autor: TS85

Wenn ich [mm] T\equiv0 [/mm] als T(x)=0 interpretiere, müsste [mm] T^{-1}(x)=0 [/mm] sein,
d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\{\emptyset,X,\{0\},\{X\setminus\{0\}\}\} [/mm]

Mit f(x)=x (was natürlich bereits ungleich g [mm] \circ [/mm] T ist)
wäre [mm] f^{-1}(y)=x, [/mm] d.h. [mm] \mathcal{A}_T=\mathcal{P}(X) [/mm] (oder sowas in die absteigende Richtung).

Was genau soll mir das nun aber bringen, da doch sowieso klar ist, dass [mm] f\not=g \circ [/mm] T in diesem Beispiel gilt.

Mit der Konstruktion von g ist mir schon klar, nur was macht man hier dazu? Vermutlich muss g schoneinmal stetig sein.

Bezug
                                        
Bezug
Messbarkeit Komposition: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Fr 26.06.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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