Messbarkeit und Sigma Algebra < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:34 Mo 29.09.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Sei [mm] $X:(\Omega,F) \to (\IR, \IB(\IR))$ [/mm] eine Zufallsvariable und [mm] $\sigma(X) [/mm] := [mm] \{X^{-1}(B) | B \in \IB(\IR)\}$.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm] $\sigma(X)$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] über [mm] $\Omega$ [/mm] ist.
b) Sei $Y : [mm] (\Omega, [/mm] F) [mm] \to (\IR, \IB(\IR))$ [/mm] eine [mm] $\sigma(X)$-messbare [/mm] Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass dann eine messbare Funktion $h : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] existiert, sodass [mm] $Y(\omega) [/mm] = [mm] h(X(\omega))$ [/mm] fur alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] |
Hi,
a) Sei $B= [mm] \IR \in \IB(\IR)$, [/mm] dann werden alle Elemente aus [mm] $\Omega$ [/mm] nach $B$ abgebildet,
also [mm] $X^{-1}(B)= \Omega \in \sigma(X)$
[/mm]
Sei $B=C [mm] \subseteq \IR$ [/mm] so dass [mm] $X^{-1}(B)=A \in \sigma(X)$. [/mm] Dann ist nach Def. der Borel sigma algebra auch [mm] $B=C^c \in \IB(\IR)$ [/mm] und somit [mm] $X^{-1}(B)= A^c \in \sigma(X)$. [/mm] Also $A [mm] \in \sigma(X) \Rightarrow A^c \in \sigma(X)$.
[/mm]
Wenn für $k [mm] \in \IN: B=B_{k} \in \IB(\IR)$ [/mm] so dass [mm] $A_{k} \in \sigma(X)$, [/mm] dann ist nach Def. auch [mm] $B=\bigcup_{k \in \IN }^{ } B_{k} \in \IB(\IR)$ [/mm] und somit ist auch [mm] $X^{-1}(\bigcup_{k \in \IN }^{ } B_{k})=\bigcup_{k \in \IN }^{ } X^{-1}(B_{k}) [/mm] = [mm] \bigcup_{k \in \IN }^{ } A_{K} \in \sigma(X)$.
[/mm]
b) Ich würde sagen: sei [mm] $Y(\omega)= [/mm] k [mm] \in \IR \Rightarrow Y^{-1}(k)=\omega$ [/mm] und
[mm] $X(\omega) [/mm] = C [mm] \in \IR \Rightarrow X^{-1}(C) [/mm] = [mm] \omega$. [/mm] Dann sei [mm] $h(X(\omega))=k=Y(\omega) \subseteq \IR$ [/mm] und damit ist [mm] $h^{-1}(k)= X(\omega)=C \subseteq \IR \Rightarrow [/mm] h \ $ ist messbar. Aber so einfach wirds wohl nicht sein. Was muss ich hier sonst zeigen um nachzuweisen, dass h messbar ist?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:45 Di 30.09.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Cccya!
> Sei [mm]X:(\Omega,F) \to (\IR, \IB(\IR))[/mm] eine Zufallsvariable
> und [mm]\sigma(X) := \{X^{-1}(B) | B \in \IB(\IR)\}[/mm].
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]\sigma(X)[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra über
> [mm]\Omega[/mm] ist.
>
> b) Sei [mm]Y : (\Omega, F) \to (\IR, \IB(\IR))[/mm] eine
> [mm]\sigma(X)[/mm]-messbare Zufallsvariable. Zeigen Sie, dass dann
> eine messbare Funktion [mm]h : \IR \to \IR[/mm] existiert, sodass
> [mm]Y(\omega) = h(X(\omega))[/mm] fur alle [mm]\omega\in\Omega[/mm]
> a) Sei [mm]B= \IR \in \IB(\IR)[/mm], dann werden alle Elemente aus
> [mm]\Omega[/mm]
von $X$
> nach [mm]B[/mm] abgebildet,
> also [mm]X^{-1}(B)= \Omega \in \sigma(X)[/mm]/
(Schreibe besser: [mm] $\Omega=X^{-1}(B)\in\sigma(X)$.)
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sei [mm]B=C \subseteq \IR[/mm] so dass [mm]X^{-1}(B)=A \in \sigma(X)[/mm].
Du meinst [mm] $C\in\mathcal{B}(\IR)$, [/mm] nicht nur [mm] $C\subseteq\IR$.
[/mm]
> Dann ist nach Def. der Borel sigma algebra auch [mm]B=C^c \in \IB(\IR)[/mm]
Hier verwendest du $B$ ungünstigerweise in zwei verschiedenen Bedeutungen: Einmal $B=C$ und einmal [mm] $B=C^c$.
[/mm]
> und somit [mm]X^{-1}(B)= A^c \in \sigma(X)[/mm]. Also [mm]A \in \sigma(X) \Rightarrow A^c \in \sigma(X)[/mm].
Du meinst es korrekt. Ich würde es folgendermaßen aufschreiben:
Sei [mm] $A\in\sigma(X)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $A^c\in\sigma(X)$.
[/mm]
Wegen [mm] $A\in\sigma(X)$ [/mm] existiert ein [mm] $B\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] mit [mm] $A=X^{-1}(B)$.
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist, gilt auch [mm] $C:=B^c\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
Also [mm] $A^c=(X^{-1}(B))^c=X^{-1}(B^c)=X^{-1}(C)\in\sigma(X)$.
[/mm]
> Wenn für [mm]k \in \IN: B=B_{k} \in \IB(\IR)[/mm] so dass [mm]A_{k} \in \sigma(X)[/mm],
Du meinst:
Seien Mengen [mm] $A_k\in\sigma(X)$ [/mm] für alle [mm] $k\in\IN$ [/mm] gegeben.
Dann existieren Mengen [mm] $B_k\in\mathcal{B}(\IR)$, $k\in\IN$, [/mm] so dass [mm] $A_k=X^{-1}(B_k)$ [/mm] für jedes [mm] $k\in\IN$.
[/mm]
> dann ist nach Def. auch [mm]B=\bigcup_{k \in \IN }^{ } B_{k} \in \IB(\IR)[/mm]
> und somit ist auch [mm]X^{-1}(\bigcup_{k \in \IN }^{ } B_{k})=\bigcup_{k \in \IN }^{ } X^{-1}(B_{k}) = \bigcup_{k \in \IN }^{ } A_{K} \in \sigma(X)[/mm].
Schreibe besser:
[mm] $\bigcup_{k \in \IN }A_k=\bigcup_{k\in\IN}X^{-1}(B_k)=X^{-1}(\bigcup_{k\in\IN}B_k)=X^{-1}(B)\in\sigma(X)$.
[/mm]
Ansonsten: .
> b) Ich würde sagen: sei [mm]Y(\omega)= k \in \IR[/mm]
Welches [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] möchtest du betrachten? Ein beliebig vorgegebenes? Dann schreibe zunächst "Sei [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] beliebig vorgegeben.".
> [mm]\Rightarrow Y^{-1}(k)=\omega[/mm]
Das ist Quatsch. $Y$ ist im Allgemeinen nicht bijektiv, hat also gar keine Umkehrabbildung. Korrekt hingegen wäre z.B.
[mm] $Y^{-1}(\{k\})\supseteq\{\omega\}$.
[/mm]
> und
> [mm]X(\omega) = C \in \IR \Rightarrow X^{-1}(C) = \omega[/mm].
Hier gilt Analoges.
> Dann
> sei [mm]h(X(\omega))=k=Y(\omega) \subseteq \IR[/mm]
Wir suchen eine (!) Abbildung [mm] $h\colon\IR\to\IR$. [/mm] Bisher hast du nur [mm] $h(X(\omega))$ [/mm] für das eine betrachtete [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] erklärt. Erklärt werden müsste aber (in wohldefinierter Art und Weise) $h(x)$ für alle [mm] $x\in\IR$.
[/mm]
> und damit ist
> [mm]h^{-1}(k)= X(\omega)=C \subseteq \IR \Rightarrow h \[/mm] ist
> messbar. Aber so einfach wirds wohl nicht sein. Was muss
> ich hier sonst zeigen um nachzuweisen, dass h messbar ist?
Um die Messbarkeit einer Abbildung [mm] $h\colon\IR\to\IR$ [/mm] nachzuweisen, müsstest du nach Definition der Messbarkeit
[mm] $h^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\IR)$
[/mm]
für alle [mm] $B\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] nachweisen.
Der schwierigere Teil besteht aber darin, überhaupt eine geeignete Abbildung [mm] $h\colon\IR\to\IR$ [/mm] zu finden.
Sagt dir der Begriff "Funktionserweiterungsargument" etwas?
Dann führe ein solches Argument für die Funktion $Y$ durch.
Starte also damit, die Aufgabe unter der Zusatzannahme [mm] $Y=1_A$ [/mm] für ein beliebig vorgegebenes [mm] $A\in\sigma(X)$ [/mm] zu lösen.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Di 30.09.2014 | | Autor: | Cccya |
Hi,
danke für die Antwort. Leider kenne ich das Funktionserweiterungsargument
nicht und finde es auch nicht in meinem Skript oder bei Google. Kennst du vlt ein Buch wo ich das nachlesen könnte? Ich hab über die Uni online access zu den meisten gängigen Lehrbüchern.
Ich hab mir überlegt, wenn A beliebig ist könnte man [mm] h(x)=1_A(x^0) [/mm] wählen dann wäre [mm] h(X(w))=1_A=Y(w) [/mm] für alle X(w) [mm] \in \IR [/mm] und [mm] h^{-1}(B)= [/mm] A [mm] \in\mathcal{B}(\IR) [/mm] für B=1 und [mm] h^{-1}(B)= A^c \in \mathcal{B}(\IR) [/mm] für B=0 und [mm] h^{-1}(B)= \IR \in\mathcal{B}(\IR) [/mm] für B={0,1} sowie [mm] h^{-1}(B) ={\emptyset} \in \mathcal{B}(\IR) [/mm]
für B [mm] \in\mathcal{B}(\IR)\backslash [/mm] ({0},{1},{0,1}) => [mm] h^{-1}(B) \in\mathcal{B}(\IR) [/mm] für alle B [mm] \in\mathcal{B}(\IR). [/mm] Kann man das mit dem Funktionserweiterungsargument irgendwie auf beliebige Y(w) übertragen?
Viele Grüße,
Elias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:54 Mi 01.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Leider kenne ich das
> Funktionserweiterungsargument
> nicht und finde es auch nicht in meinem Skript oder bei
> Google. Kennst du vlt ein Buch wo ich das nachlesen
> könnte? Ich hab über die Uni online access zu den meisten
> gängigen Lehrbüchern.
Leider habe ich gerade kein passendes Lehrbuch zur Hand. Daher formuliere ich das Funktionserweiterungsargument gleich selber.
Das Funktionserweiterungsargument ist eine Methode, eine Aussage (*) über alle messbaren Funktionen [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$ [/mm] für einen festen messbaren Raum [mm] $(\Omega,F)$ [/mm] zu zeigen.
Dazu betrachten wir die Menge
[mm] $\mathcal{M}:=\{f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))\;|\;f\text{ erfüllt (\*)}\}$,
[/mm]
von der wir zeigen wollen, dass sie ALLE messbaren Funktionen [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$ [/mm] enthält.
Hier nun die genaue Formulierung:
Sei [mm] $(\Omega,F)$ [/mm] ein messbarer Raum und [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] eine Menge von messbaren Funktionen [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$.
[/mm]
Um nachzuweisen, dass [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] ALLE messbaren Funktionen [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$ [/mm] enthält, genügt es Folgendes zu zeigen:
1. Für alle [mm] $A\in [/mm] F$ gilt [mm] $1_A\in\mathcal{M}$.
[/mm]
2. Für alle [mm] $\alpha\in\IR$ [/mm] und [mm] $f\in\mathcal{M}$ [/mm] gilt auch [mm] $\alpha*f\in\mathcal{M}$.
[/mm]
3. Für alle [mm] $f,g\in\mathcal{M}$ [/mm] gilt auch [mm] $f+g\in\mathcal{M}$.
[/mm]
4. Für jede Funktion [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$, [/mm] die sich darstellen lässt in der Form [mm] $f=\sup_{n\in\IN}f_n$ [/mm] mit einer (aufsteigende) Folge [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von (nichtnegativen) Funktionen [mm] $f_n\in\mathcal{M}$, [/mm] gilt auch [mm] $f\in\mathcal{M}$.
[/mm]
Der Nachweis, dass man mit 1. bis 4. tatsächlich nachweisen kann, dass [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] ALLE messbaren Funktionen [mm] $f\colon(\Omega,F)\to(\IR,\IB(\IR))$ [/mm] enthält, erfolgt im Wesentlichen mit dem Zusammenhang, der z.B. ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript als Satz 4.12 formuliert ist.
In dieser Aufgabe wollen wir ein Funktionserweiterungsargument mit
[mm] $\mathcal{M}:=\{Y\colon(\Omega,\sigma(X))\to(\IR,\IB(\IR))\;|\;\text{es existiert eine messbare Funktion }h\colon\IR\to\IR\text{, so dass }Y(\omega)=h(X(\omega))\text{ für alle }\omega\in\Omega\}$.
[/mm]
durchführen.
(Leider schaffe ich es zeitlich gerade nicht mehr, auf deinen Lösungsansatz zu 1. einzugehen. Das hole ich heute Nachmittag in einer zweiten Antwort nach, wenn sich bis dahin niemand anderes drum kümmert.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 01.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hab mir überlegt, wenn A beliebig ist könnte man
> [mm]h(x)=1_A(x^0)[/mm] wählen
Was meinst du mit [mm] $x^0$? [/mm] Die 0-te Potenz der reellen Zahl $x$? Also eine komplizierte Schreibweise für die Zahl 1?
Wir haben [mm] $A\in\sigma(X)$, [/mm] also [mm] $A\subseteq\Omega$. [/mm] $A$ muss keine Menge reeller Zahlen sein.
> dann wäre [mm]h(X(w))=1_A=Y(w)[/mm] für alle
> X(w) [mm]\in \IR[/mm]
Du meinst, dann wäre [mm] $h(X(\omega))=1_A(\omega)=Y(\omega)$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$?
[/mm]
Dem linken Gleichheitszeichen kann ich nicht folgen, was daran liegen kann, dass ich deine Wahl von $h$ nicht verstanden habe.
> und [mm]h^{-1}(B)=[/mm] A [mm]\in\mathcal{B}(\IR)[/mm] für B=1
Meinst du [mm] $B=\{1\}$?
[/mm]
[mm] $h^{-1}(B)$ [/mm] ist (wenn denn [mm] $h\colon\IR\to\IR$) [/mm] eine Menge reeller Zahlen, $A$ hingegen nicht notwendigerweise, geschweige denn [mm] $A\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
> und [mm]h^{-1}(B)= A^c \in \mathcal{B}(\IR)[/mm] für B=0
Hier gilt Analoges.
> und [mm]h^{-1}(B)= \IR \in\mathcal{B}(\IR)[/mm] für B={0,1}
Das wird bei einer vernünftigen Wahl von $h$ stimmen.
> sowie [mm]h^{-1}(B) ={\emptyset} \in \mathcal{B}(\IR)[/mm]
> für B [mm]\in\mathcal{B}(\IR)\backslash[/mm] ({0},{1},{0,1})
Du meinst sicherlich [mm] $\emptyset$ [/mm] anstelle von [mm] $\{\emptyset\}$ [/mm] und [mm] $\{\{0\},\{1\},\{0,1\}\}$ [/mm] anstelle von [mm] $(\{0\},\{1\},\{0,1\})$.
[/mm]
Dann ist [mm] $h^{-1}(B) =\emptyset$ [/mm] im Allgemeinen sicherlich falsch, denke z.B. an [mm] $B=\{0,1,2\}$.
[/mm]
> => [mm]h^{-1}(B) \in\mathcal{B}(\IR)[/mm] für alle B
> [mm]\in\mathcal{B}(\IR).[/mm]
Folgerichtig.
Wir haben [mm] $Y=1_A$ [/mm] für ein [mm] $A\in\sigma(X)$.
[/mm]
Was bedeutet [mm] $A\in\sigma(X)$?
[/mm]
Das bedeutet, dass $A$ die Form hat [mm] $A=X^{-1}(B)$ [/mm] für ein [mm] $B\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
Wähle nun [mm] $h=1_B\colon\IR\to\IR$ [/mm] und weise nach, dass diese Wahl das Gewünschte leistet.
Für den Nachweis der Messbarkeit von $h$ genügt es zu wissen:
Sei [mm] $(\Omega',F') [/mm] ein messbarer Raum und [mm] $A'\subseteq\Omega'$. [/mm] Dann ist die Indikatorfunktion [mm] $1_{A'}\colon \Omega'\to\IR$ [/mm] genau dann [mm]F'-\mathcal{B}(\IR)[/mm]-messbar, wenn [mm]A'\in F'[/mm] gilt.
Wenn du dir also [mm] $h(X(\omega))=Y(\omega)$ [/mm] für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] klar gemacht hast, bist du mit 1. aus meiner Formulierung des Funktionserweiterungsargumentes fertig.
Hast du schon mit dem Nachweis von 2. bis 4. begonnen?
Viel Erfolg dabei!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:44 Mi 01.10.2014 | | Autor: | Cccya |
Hey danke für die Erläuterung, ja ich hatte fälschlicherweise angenommen, dass A reell ist. Ich werd mich dann jetzt mal dran machen.
Viele Grüße,
Elias
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