Messbarkeit von Fkt. (konkret) < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Beweisen Sie, dass folgende Funktion [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R})-\mathcal{B}(\mathbb{R})$-messbar [/mm] ist:
[mm] $f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, \qquad f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x} & x\notin \mathbb{Q} \\ x^2 & x\in\mathbb{Q}\end{cases}.$ [/mm] |
Hallo zusammen,
ich denke mal, dass diese Aufgabe ziemlich leicht ist, habe dabei aber gerade ein Brett vorm Kopf und benötige deswegen eure Hilfe.
Bis jetzt habe ich Folgendes:
Ich wollte das Ganze direkt nach folgender Definition machen:
Es seien [mm] $(\Omega_1, \mathcal{A}_1)$, $(\Omega_2, \mathcal{A}_2)$ [/mm] messbare Räume und [mm] $T\colon \Omega_1\to\Omega_2$ [/mm] eine Abbildung. $T$ heißt [mm] $\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2$-messbar, [/mm] falls gilt:
[mm] $T^{-1}(B)\in\mathcal{A}_1$ [/mm] für alle [mm] $B\in\mathcal{A}_2$. [/mm]
1. Fall: [mm] $x\in\mathbb{Q}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, [/mm] da [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] abzählbar. [mm] $\left\{x^2: x\in\mathbb{Q}\right\}$ [/mm] ist ebenfalls abzählbar, also [mm] $\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. [/mm]
(Geht das soweit? Ist das viel zu umständlich? Kann ich in beiden Fällen mit Stetigkeitsargumenten kommen, oder irgendwie nutzen, dass [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] eine Nullmenge ist?)
2. Fall: [mm] $x\notin\mathbb{Q}\Rightarrow x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$, [/mm] denn [mm] $\mathbb{R}, \mathbb{Q}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$. [/mm]
Wie zeige ich jetzt, dass [mm] $\frac{1}{x}\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$? [/mm] Geht das irgendwie über die Stetigkeit von [mm] $\frac{1}{x}$, [/mm] die ja auch auf [mm] $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ [/mm] gelten müsste, oder geht das anders? Ich denke mal, die Lösung ist wirklich sehr sehr einfach, aber ich komme nicht drauf. Ist das Vorgehen so generell überhaupt in Ordnung? Das einzige "konkrete" Beispiel zur Messbarkeit von Funktionen, was in der Vorlesung dran kam, war nämlich die charakterische Funktion einer Menge, also eine eher einfache Geschichte.
Ich wäre also für jede Hilfe (Korrektur/Kommentar zu 1., Tipp zu 2., etc.) dankbar!
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Hiho,
> Ich wollte das Ganze direkt nach folgender Definition machen:
Gibts dafür nen Grund?
> (Geht das soweit? Ist das viel zu umständlich?
Ja & Ja.
> Kann ich in beiden Fällen mit Stetigkeitsargumenten kommen, oder irgendwie nutzen, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine Nullmenge ist?)
Ja und Ja. Wobei du "beide" Fälle, gar nicht betrachten musst.
> Geht das irgendwie über die Stetigkeit
Was heißt "irgendwie"?
Was weißt du denn über Meßbarkeit stetiger Funktionen?
Tipp: Du hast es ja eigentlich schon hingeschrieben, mach dir mal klar, dass faktisch $f = [mm] \bruch{1}{x}$ ($\lambda$ [/mm] - f.s) gilt.
Du hast also nur noch diese Funktion zu betrachten.
Dann Stetigkeit verwenden. Denn wo ist diese Funktion stetig?
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mo 05.11.2012 | | Autor: | Lustique |
Hi Gono, danke erstmal für deine schnelle Antwort!
> Hiho,
>
> > Ich wollte das Ganze direkt nach folgender Definition
> machen:
>
> Gibts dafür nen Grund?
Aus einem mir nicht näher bekannten Grund erschien mir das sinnvoll... :O
> > (Geht das soweit? Ist das viel zu umständlich?
>
> Ja & Ja.
>
> > Kann ich in beiden Fällen mit Stetigkeitsargumenten
> kommen, oder irgendwie nutzen, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine
> Nullmenge ist?)
>
> Ja und Ja. Wobei du "beide" Fälle, gar nicht betrachten
> musst.
>
> > Geht das irgendwie über die Stetigkeit
>
> Was heißt "irgendwie"?
> Was weißt du denn über Meßbarkeit stetiger Funktionen?
>
Laut meiner Vorlesung sind stetige Funktionen von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}^m$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)-\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$-messbar [/mm] (obwohl es dafür wohl noch eine allgemeinere Formulierung geben wird, nehme ich an).
>
> Tipp: Du hast es ja eigentlich schon hingeschrieben, mach
> dir mal klar, dass faktisch [mm]f = \bruch{1}{x}[/mm] ([mm]\lambda[/mm] -
> f.s) gilt.
Was meinst du mit "([mm]\lambda[/mm] - f.s)"? Ich kann damit ehrlich gesagt nichts anfangen. Ich nehme mal an, mit [mm] $\lambda$ [/mm] meinst du das (Borel-)Lebesgue-Maß, aber die Abkürzung(?) f.s ist mir nicht geläufig.
> Du hast also nur noch diese Funktion zu betrachten.
> Dann Stetigkeit verwenden. Denn wo ist diese Funktion
> stetig?
>
f ist stetig auf [mm] $\mathbb{R}\setminus\{0\}, [/mm] also hier stetig (weil ja [mm] $0\in\mathbb{Q}$), [/mm] und damit ist f messbar. Einfach so?
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:00 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Gono, danke erstmal für deine schnelle Antwort!
>
> > Hiho,
> >
> > > Ich wollte das Ganze direkt nach folgender Definition
> > machen:
> >
> > Gibts dafür nen Grund?
>
> Aus einem mir nicht näher bekannten Grund erschien mir das
> sinnvoll... :O
>
> > > (Geht das soweit? Ist das viel zu umständlich?
> >
> > Ja & Ja.
> >
> > > Kann ich in beiden Fällen mit Stetigkeitsargumenten
> > kommen, oder irgendwie nutzen, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine
> > Nullmenge ist?)
> >
> > Ja und Ja. Wobei du "beide" Fälle, gar nicht betrachten
> > musst.
> >
> > > Geht das irgendwie über die Stetigkeit
> >
> > Was heißt "irgendwie"?
> > Was weißt du denn über Meßbarkeit stetiger
> Funktionen?
> >
>
> Laut meiner Vorlesung sind stetige Funktionen von
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] nach [mm]\mathbb{R}^m[/mm]
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)-\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)[/mm]-messbar
> (obwohl es dafür wohl noch eine allgemeinere Formulierung
> geben wird, nehme ich an).
>
> >
> > Tipp: Du hast es ja eigentlich schon hingeschrieben, mach
> > dir mal klar, dass faktisch [mm]f = \bruch{1}{x}[/mm] ([mm]\lambda[/mm] -
> > f.s) gilt.
>
> Was meinst du mit "([mm]\lambda[/mm] - f.s)"? Ich kann damit ehrlich
> gesagt nichts anfangen. Ich nehme mal an, mit [mm]\lambda[/mm]
> meinst du das (Borel-)Lebesgue-Maß, aber die Abkürzung(?)
> f.s ist mir nicht geläufig.
>
> > Du hast also nur noch diese Funktion zu betrachten.
> > Dann Stetigkeit verwenden. Denn wo ist diese Funktion
> > stetig?
> >
>
> f ist stetig auf [mm]$\mathbb{R}\setminus\{0\},[/mm]
Das stimmt nun aber überhaupt nicht !
Es gilt: f ist messbar [mm] \gdw [/mm] für jedes a [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] \{x \in \IR: f(x) \le a \} \in B(\IR).
[/mm]
FRED
> also hier
> stetig (weil ja [mm]$0\in\mathbb{Q}$),[/mm] und damit ist f messbar.
> Einfach so?
>
> > MFG,
> > Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Gono, danke erstmal für deine schnelle Antwort!
>
> > Hiho,
> >
> > > Ich wollte das Ganze direkt nach folgender Definition
> > machen:
> >
> > Gibts dafür nen Grund?
>
> Aus einem mir nicht näher bekannten Grund erschien mir das
> sinnvoll... :O
>
> > > (Geht das soweit? Ist das viel zu umständlich?
> >
> > Ja & Ja.
> >
> > > Kann ich in beiden Fällen mit Stetigkeitsargumenten
> > kommen, oder irgendwie nutzen, dass [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine
> > Nullmenge ist?)
> >
> > Ja und Ja. Wobei du "beide" Fälle, gar nicht betrachten
> > musst.
> >
> > > Geht das irgendwie über die Stetigkeit
> >
> > Was heißt "irgendwie"?
> > Was weißt du denn über Meßbarkeit stetiger
> Funktionen?
> >
>
> Laut meiner Vorlesung sind stetige Funktionen von
> [mm]\mathbb{R}^n[/mm] nach [mm]\mathbb{R}^m[/mm]
> [mm]\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)-\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)[/mm]-messbar
> (obwohl es dafür wohl noch eine allgemeinere Formulierung
> geben wird, nehme ich an).
>
> >
> > Tipp: Du hast es ja eigentlich schon hingeschrieben, mach
> > dir mal klar, dass faktisch [mm]f = \bruch{1}{x}[/mm] ([mm]\lambda[/mm] -
> > f.s) gilt.
>
> Was meinst du mit "([mm]\lambda[/mm] - f.s)"?
ich glaube, er meinte "f.ü." - ![[]](/images/popup.gif) fast überall
Anders gesagt: Die Funktion $f(x)=1/x$ ist als Funktion [mm] $\IR \setminus \{0\} \to \IR$ [/mm]
stetig. (Hier ist auch schon zu beachten, dass [mm] $f\,$ [/mm] auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] und nicht
auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert ist - der von Dir zitierte Satz ist also nicht direkt so anwendbar. Aber
mach' Dir mal Gedanken, warum die Funktion dennoch Borel-messbar ist...).
Ändert man sie nur auf einer Nullmenge ab, so ist die abgeänderte Funktion insbesondere...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:18 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Aus Gonos und Marcels Antworten ergibt sich für mich folgende Frage:
Bezeichne [mm] $\lambda$ [/mm] das Lebesgue-Maß auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Sei [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] messbar, [mm] $h\colon\IR\to\IR$ [/mm] mit $h=g$ [mm] $\lambda$-fast [/mm] überall. Folgt dann die Messbarkeit von $h$?
Wenn ja: Warum?
Überlegt habe ich mir, dass dieser Zusammenhang genau dann gilt, wenn [mm] $(\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] schon vollständig ist, d.h. wenn alle [mm] $\lambda$-Nullmengen [/mm] schon Borelsch sind.
Ist Letzteres Fall? Wenn ja: Warum?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:30 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen!
>
>
> Aus Gonos und Marcels Antworten ergibt sich für mich
> folgende Frage:
>
>
> Bezeichne [mm]\lambda[/mm] das Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm].
>
> Sei [mm]g\colon\IR\to\IR[/mm] messbar, [mm]h\colon\IR\to\IR[/mm] mit [mm]h=g[/mm]
> [mm]\lambda[/mm]-fast überall. Folgt dann die Messbarkeit von [mm]h[/mm]?
>
> Wenn ja: Warum?
>
>
> Überlegt habe ich mir, dass dieser Zusammenhang genau dann
> gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon
> vollständig ist, d.h. wenn alle [mm]\lambda[/mm]-Nullmengen schon
> Borelsch sind.
Hallo Tobias,
$ [mm] (\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda) [/mm] $ ist kein vollständiger Maßraum !
Gruß FRED
>
> Ist Letzteres Fall? Wenn ja: Warum?
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:57 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Danke, Fred, für die schnelle Klärung!
Dann ist Gonos und Marcels Argumentation mit der Abänderung auf Nullmengen falsch:
Man ändere [mm] $g\colon\IR\to\IR, x\mapsto [/mm] 0$ auf einer nicht Borelschen Nullmenge A zu 1 ab. Wir erhalten so [mm] $h=1_A$ [/mm] (Indikatorfunktion). Da A nicht Borelsch ist, ist h nicht messbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, Fred, für die schnelle Klärung!
>
> Dann ist Gonos und Marcels Argumentation mit der
> Abänderung auf Nullmengen falsch:
>
> Man ändere [mm]g\colon\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] auf einer nicht
> Borelschen Nullmenge A zu 1 ab. Wir erhalten so [mm]h=1_A[/mm]
> (Indikatorfunktion). Da A nicht Borelsch ist, ist h nicht
> messbar.
Genau.
Edit: da stand Unsinn.
FRED
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Machen wirs konkret: Der Satz von Vitali besagt: in [mm]\IR[/mm]
> gibt es eine Teilmenge C die nicht Borelsch ist.
>
> Wir setzen A:= C [mm]\cap \IQ.[/mm] Dann ist A nicht Borelsch, aber
> A ist Teilmenge der Borelschen Nullmenge [mm]\IQ[/mm]
Natürlich ist A dann als abzählbare Menge Borelsch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:34 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Machen wirs konkret: Der Satz von Vitali besagt: in [mm]\IR[/mm]
> > gibt es eine Teilmenge C die nicht Borelsch ist.
> >
> > Wir setzen A:= C [mm]\cap \IQ.[/mm] Dann ist A nicht Borelsch, aber
> > A ist Teilmenge der Borelschen Nullmenge [mm]\IQ[/mm]
> Natürlich ist A dann als abzählbare Menge Borelsch!
Au Backe, da hab ich mich verhauen !!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:33 Di 06.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Danke, Fred, für die schnelle Klärung!
> >
> > Dann ist Gonos und Marcels Argumentation mit der
> > Abänderung auf Nullmengen falsch:
> >
> > Man ändere [mm]g\colon\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] auf einer nicht
> > Borelschen Nullmenge A zu 1 ab. Wir erhalten so [mm]h=1_A[/mm]
> > (Indikatorfunktion). Da A nicht Borelsch ist, ist h nicht
> > messbar.
>
> Genau.
>
>
Edit: da stand Unsinn !
>
> FRED
> >
> >
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Danke, Fred, für die schnelle Klärung!
>
> Dann ist Gonos und Marcels Argumentation mit der
> Abänderung auf Nullmengen falsch:
>
> Man ändere [mm]g\colon\IR\to\IR, x\mapsto 0[/mm] auf einer nicht
> Borelschen Nullmenge A zu 1 ab. Wir erhalten so [mm]h=1_A[/mm]
> (Indikatorfunktion). Da A nicht Borelsch ist, ist h nicht
> messbar.
ich glaube, das hängt davon ab, welche Definition des Begriffes Nullmenge man zugrundelegt.
Denn - so dachte ich es mir jedenfalls auch - sollte eine Nullmenge eigentlich messbar sein - siehe die oben genannte erste Definition!
Oder?
P.S. Ich habe gerade gesehen, dass Gono auch von Lebesgue-Nullmengen
sprach. Damit hast Du natürlich Recht - ich meinte eigentlich Borel-
Nullmengen (wobei ich mir beim Schreiben gar nicht mehr der Unterschiede
bewußt war und das auch deswegen gar nicht wirklich wahrgenommen
habe)!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel,
> ich glaube, das hängt davon ab, welche
> Definition des Begriffes Nullmenge
> man zugrundelegt.
> Denn - so dachte ich es mir jedenfalls auch - sollte eine
> Nullmenge eigentlich messbar sein - siehe die oben genannte
> erste Definition!
Diese Definitionsvariante kannte ich noch gar nicht. Danke für den Hinweis!
Was bedeutet dann bei dieser Definition $f=g$ f.ü.? Ist damit dann implizit [mm] $\{x\in\IR\;|\;f(x)\not=g(x)\}\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] gemeint?
Aber auch dann lässt sich aus [mm] $g\colon\IR\to\IR$ [/mm] messbar, [mm] $h\colon\IR\to\IR$ [/mm] und $h=g$ [mm] $\lambda$-f.ü. [/mm] nicht auf die Messbarkeit von h schließen.
Wir nehmen wieder eine Menge [mm] $A\in\IR\setminus\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] her, die (in meinem Sinne) [mm] $\lambda$-Nullmenge [/mm] ist, d.h. es existiert [mm] $A\subset A'\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] mit [mm] $\lambda(A')=0$. [/mm] Solche A, A' existieren, wenn Fred Recht hat, dass [mm] $(\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] kein vollständiger Maßraum ist.
Nun nehmen wir
[mm] $g\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto [/mm] 0$
und
[mm] $h\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not\in A' \\ 1, & \mbox{für } x\in A \\ 2, & \mbox{für } x\in A'\setminus A \end{cases}$.
[/mm]
Es gilt $g=h$ f.ü. [mm] (\{x\in\IR\;|\;g(x)\not=h(x)\}=A') [/mm] und h ist nicht messbar, denn [mm] $h^{-1}(\{1\})=A\not\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
> P.S. Ich habe gerade gesehen, dass Gono auch von
> Lebesgue-Nullmengen
> sprach. Damit hast Du natürlich Recht - ich meinte
> eigentlich Borel-
> Nullmengen (wobei ich mir beim Schreiben gar nicht mehr
> der Unterschiede
> bewußt war und das auch deswegen gar nicht wirklich
> wahrgenommen
> habe)!
Kannst du mir die beiden Begriffe erklären?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Di 06.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Kannst du mir die beiden Begriffe erklären?
letztendlich gibt es da nicht viel "zu erklären".
In Vollständigen Maßräumen sind Teilmengen von Nullmengen per Definition wieder meßbar!
Das gilt in der Borel-Sigma-Algebra aber eben gerade nicht, darum ist dein Beispiel auch ein solches: Eine Nicht-Borel-meßbare Funktion.
Lebesgue-meßbar ist sie aber, da dein konstruiertes A' eben eine Teilmenge einer Nullmenge und damit Lebesgue-Meßbar ist.
edit: Um deine Frage vollständig zu beantworten:
Die Menge [mm] $\{f \not= g\}$ [/mm] macht ja faktisch nur bei meßbaren Funktionen bereits Sinn. Da ist diese Menge meßbar und damit macht die Aussage "fast überall" im Sinne von "überall, bis auf einer Nullmenge" wieder Sinn, denn Nullmengen sind per Definition meßbar!
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> > Kannst du mir die beiden Begriffe erklären?
>
> letztendlich gibt es da nicht viel "zu erklären".
> In Vollständigen Maßräumen sind Teilmengen von
> Nullmengen per Definition wieder meßbar!
> Das gilt in der Borel-Sigma-Algebra aber eben gerade
> nicht, darum ist dein Beispiel auch ein solches: Eine
> Nicht-Borel-meßbare Funktion.
> Lebesgue-meßbar ist sie aber, da dein konstruiertes A'
> eben eine Teilmenge einer Nullmenge und damit
> Lebesgue-Meßbar ist.
>
> edit: Um deine Frage vollständig zu beantworten:
> Die Menge [mm]\{f \not= g\}[/mm] macht ja faktisch nur bei meßbaren
> Funktionen bereits Sinn.
d.h. [mm] $\{f \not=g\}$ [/mm] macht Sinn, falls sowohl [mm] $f\,$ [/mm] als auch [mm] $g\,$ [/mm] messbar -
was heißt aber, das die Menge "Unsinn" ist, wenn eine der beiden
Funktionen nicht messbar?
Ich frage mich nämlich gerade, was "unsinnige Mengen" sind? Mit ist schon
klar, dass [mm] $\{f \not=g\}$ [/mm] nur eine Kurznotation für [mm] $\{x \in \Omega: f(x) \not=g(x)\}$ [/mm] ist, wenn [mm] $f,g\,$ [/mm] auf [mm] $\Omega$ [/mm] definiert...
Aber: Kann man über "diese eventuell unsinnig Menge" mehr Aussagen
außer einer Entscheidung, dass sie eventuell nicht in einer entsprechenden Sigma-Algebra liegt, eigentlich was aussagen?
(Oder meint dieses "unsinnig", dass die einzige Aussage ist, dass man
nicht entscheiden kann, ob die Menge in der [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] liegt oder
nicht...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 06.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> d.h. [mm]\{f \not=g\}[/mm] macht Sinn, falls sowohl [mm]f\,[/mm] als auch [mm]g\,[/mm] messbar - was heißt aber, das die Menge "Unsinn" ist, wenn eine der beiden Funktionen nicht messbar?
Im Sinne eines "fast überall" Begriffes schon, denn dort bezieht man sich ja auf Nullmengen, d.h. insbesondere auf meßbare Mengen.
Man kann über nicht-meßbare Mengen eben keinerlei Aussage bezüglich ihres potentiellen "Maßes" treffen.
> Aber: Kann man über "diese eventuell unsinnig Menge" mehr
> Aussagen außer einer Entscheidung, dass sie eventuell nicht in
> einer entsprechenden Sigma-Algebra liegt, eigentlich was aussagen?
Formal eben nicht, das ist der springende Punkt an der Sache.
Du kannst natürlich (mit einem weiteren Blickwinkel) Aussagen darüber treffen, ob die Menge möglicherweise bezüglich einer Vervollständigung oder anderer Erweiterung der zugrunde liegenden Sigma-Algebra meßbare wäre.
Aber das kannst du ja nur, weil du dann eigentlich die Menge bereits bezüglich der neuen Sigma-Algebra betrachtest (und dort macht sie wieder Sinn).
> (Oder meint dieses "unsinnig", dass die einzige Aussage ist, dass man
> nicht entscheiden kann, ob die Menge in der [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> liegt oder nicht...)
Na entscheiden kann man das meist sicherlich schon.
Lieben Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > d.h. [mm]\{f \not=g\}[/mm] macht Sinn, falls sowohl [mm]f\,[/mm] als auch [mm]g\,[/mm]
> messbar - was heißt aber, das die Menge "Unsinn" ist, wenn
> eine der beiden Funktionen nicht messbar?
>
> Im Sinne eines "fast überall" Begriffes schon, denn dort
> bezieht man sich ja auf Nullmengen, d.h. insbesondere auf
> meßbare Mengen.
> Man kann über nicht-meßbare Mengen eben keinerlei
> Aussage bezüglich ihres potentiellen "Maßes" treffen.
ah, okay!
> > Aber: Kann man über "diese eventuell unsinnig Menge" mehr
> > Aussagen außer einer Entscheidung, dass sie eventuell
> nicht in
> > einer entsprechenden Sigma-Algebra liegt, eigentlich was
> aussagen?
>
> Formal eben nicht, das ist der springende Punkt an der
> Sache.
> Du kannst natürlich (mit einem weiteren Blickwinkel)
> Aussagen darüber treffen, ob die Menge möglicherweise
> bezüglich einer Vervollständigung oder anderer
> Erweiterung der zugrunde liegenden Sigma-Algebra meßbare
> wäre.
Also quasi eine erweiterte Fragestellung.
> Aber das kannst du ja nur, weil du dann eigentlich die
> Menge bereits bezüglich der neuen Sigma-Algebra
> betrachtest (und dort macht sie wieder Sinn).
Irgendwie so ein altes "konstruktives Vorgehen", was man in der
Mathematik ja alle Nase lang betreibt. 
> > (Oder meint dieses "unsinnig", dass die einzige Aussage
> ist, dass man
> > nicht entscheiden kann, ob die Menge in der [mm]\sigma[/mm]-Algebra
> > liegt oder nicht...)
>
> Na entscheiden kann man das meist sicherlich schon.
Okay. Ich bin ein bisschen verwirrt, aber das liegt vermutlich einfach daran,
dass ich hier manche Begriffe ein wenig durcheinanderschmeiße (vielleicht
gäbe sich das wieder, wenn ich mal ein wenig mehr wieder mit dem Zeug
arbeiten müßte ^^).
Danke auf jeden Fall nochmal. Es (er)klärt sich (so) manches wieder (auf).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Tobi,
> Hallo Marcel,
>
>
> > ich glaube, das hängt davon ab, welche
> > Definition des Begriffes Nullmenge
> > man zugrundelegt.
> > Denn - so dachte ich es mir jedenfalls auch - sollte
> eine
> > Nullmenge eigentlich messbar sein - siehe die oben genannte
> > erste Definition!
> Diese Definitionsvariante kannte ich noch gar nicht. Danke
> für den Hinweis!
>
> Was bedeutet dann bei dieser Definition [mm]f=g[/mm] f.ü.? Ist
> damit dann implizit
> [mm]\{x\in\IR\;|\;f(x)\not=g(x)\}\in\mathcal{B}(\IR)[/mm] gemeint?
puh - WT ist echt schon lange her und war nicht gerade mein
Steckenpferd. 
Ich gehe mal davon aus, dass das so gemeint ist.
> Aber auch dann lässt sich aus [mm]g\colon\IR\to\IR[/mm] messbar,
> [mm]h\colon\IR\to\IR[/mm] und [mm]h=g[/mm] [mm]\lambda[/mm]-f.ü. nicht auf die
> Messbarkeit von h schließen.
>
> Wir nehmen wieder eine Menge
> [mm]A\in\IR\setminus\mathcal{B}(\IR)[/mm] her, die (in meinem Sinne)
> [mm]\lambda[/mm]-Nullmenge ist, d.h. es existiert [mm]A\subset A'\in\mathcal{B}(\IR)[/mm]
> mit [mm]\lambda(A')=0[/mm].
Ich glaube auch, dass wir da aufpassen müssen: Gono hat [mm] $\lambda$-f.s.
[/mm]
geschrieben (was wohl das gleiche wie [mm] $\lambda$-f.ü. [/mm] ist?) und das auch
so gemeint. Jetzt muss ich nur mal selbst noch überlegen, was ich da
eigentlich meinte - denn ich meinte eigentlich nicht das Lebesgue-Maß
[mm] $\lambda\,.$ [/mm] Sondern irgendwie sowas wie das Borel-Maß.
> Solche A, A' existieren, wenn Fred Recht
> hat, dass [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] kein
> vollständiger Maßraum ist.
> Nun nehmen wir
>
> [mm]g\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto 0[/mm]
>
> und
>
> [mm]h\colon\IR\to\IR,\quad x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\not\in A' \\ 1, & \mbox{für } x\in A \\ 2, & \mbox{für } x\in A'\setminus A \end{cases}[/mm].
>
> Es gilt [mm]g=h[/mm] f.ü. [mm](\{x\in\IR\;|\;g(x)\not=h(x)\}=A')[/mm] und h
> ist nicht messbar, denn
> [mm]h^{-1}(\{1,2\})=A'\not\in\mathcal{B}(\IR)[/mm].
Geht das bei mir dann auch noch? Mich verwirren sowieso ständig diese
Borel- und Lebesgue-Borel-Bezeichnungen. Ich kenne auch das Borel-Maß
als dieses äußere Maß - und beide Bezeichnungen wurden bei uns
damals verwendet, weil da in der Vorlesung "etwas erweitert wurde".
> > P.S. Ich habe gerade gesehen, dass Gono auch von
> > Lebesgue-Nullmengen
> > sprach. Damit hast Du natürlich Recht - ich meinte
> > eigentlich Borel-
> > Nullmengen (wobei ich mir beim Schreiben gar nicht mehr
> > der Unterschiede
> > bewußt war und das auch deswegen gar nicht wirklich
> > wahrgenommen
> > habe)!
> Kannst du mir die beiden Begriffe erklären?
(Lebesgue)-Borelmaß: Siehe oben -wobei ich hier NICHT die Definition des
äußeren Borelmaßes meinte (auch, wenn ich sie auch so kennengelernt
hatte, aber daran hatte ich bei der Aufgabe noch gar nicht gedacht).
Ich meinte also "das Maß auf der borelschen [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] auf [mm] $\IR\,,$
[/mm]
dass jedem (nichtleeren) Intervall $[a,b]$ den Wert [mm] $b-a\,$ [/mm] zuordnet".
Lebesguemaß:
Das ist quasi "die Vervollständigung" des oben genannten Borelmaßes.
So, nun bin ich gerade wieder mit denBegriffen komplett selbst verwirrt, so
dass ich merke, dass ich mir diese demnächst nochmal genau angucken
sollte, um keinen Unsinn zu reden. (Und ich glaube, wir hatten damals
das Lebesgue-Maß, nachdem wir erst das Borel-Maß wie oben eingeführt
hatten, mithilfe "des äußeren Borel-Maßes" konstruiert, wobei wir das
äußere Maß - warum auch immer - wohl wieder Borelmaß genannt hatten.
Aber irgendwas daran verwirrt mich gerade - vielleicht habe ich damals so
maches auch nur einfach nicht genau genug gelesen!)
So: Ich bin jetzt vollständig verwirrt. Also frag' besser nicht weiter - oder
stelle mir nur Fragen, wo ich Deine Überlegungen nachzuvollziehen habe.
Sonst schreibe ich nachher noch eine Menge (mehr) Unsinn ^^
(Die Begriffe sind aber auch teilweise echt "schwammig" in dem Sinne, dass
der eine Autor mit dem einen Begriff was anderes meint wie ein anderer
Autor...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Di 06.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hi Marcel,
die Bezeichnungen sind eigentlich bei jedem Autor klar (sofern er sich sauber daran hält)
Seien folgende Mengensysteme gegeben:
[mm] \mathcal{P}(\IR) [/mm] - Potenzmenge auf [mm] \IR
[/mm]
[mm] \mathcal{L}(\IR) [/mm] - Lebesgue-Sigma-Algebra
[mm] \mathcal{B}(\IR) [/mm] - Borel-Sigma-Algebra
Nun gibt es folgende Bezeichnungen:
[mm] \lambda^\*: \mathcal{P}(\IR) \to [0,\infty] [/mm] - äußeres Lebesgue-Maß
[mm] \lambda_1: \mathcal{L}(\IR) \to [0,\infty] [/mm] - Lebesgue-Maß auf [mm] \mathcal{L}(\IR)
[/mm]
[mm] \lambda_2: \mathcal{B}(\IR) \to [0,\infty] [/mm] - Lebesgue-Maß oder Borel-Lebesgue-Maß auf [mm] \mathcal{B}(\IR)
[/mm]
Es gilt jeweils eingeschränkt auf die Teilmengen die Gleichheit, d.h.
[mm] $\lambda^\*|_{\mathcal{L}} [/mm] = [mm] \lambda_1$
[/mm]
[mm] $\lambda_1|_{\matchal{B}} [/mm] = [mm] \lambda_2$
[/mm]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten diese Dinge jeweils zu kontruieren:
i) "von oben": Man definiert sich [mm] $\lambda^\*$ [/mm] als äußeres Maß (mithilfe eines kanonischen Inhalts auf der Menge der halboffenen Quader) und konstruiert sich dann mithilfe von Caratheodory die Menge der meßbaren Mengen und erhält [mm] \mathcal{L}
[/mm]
ii) "von unten": Man definiert sich ein Maß auf der Borel-Sigma-Algebra [mm] \mathcal{B}, [/mm] vervollständigt diese und erhält [mm] \mathcal{L}
[/mm]
MFG;
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Di 06.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hi Marcel,
>
> die Bezeichnungen sind eigentlich bei jedem Autor klar
> (sofern er sich sauber daran hält)
>
> Seien folgende Mengensysteme gegeben:
>
> [mm]\mathcal{P}(\IR)[/mm] - Potenzmenge auf [mm]\IR[/mm]
> [mm]\mathcal{L}(\IR)[/mm] - Lebesgue-Sigma-Algebra
na, diese Notation wurde bei uns nicht verwendet - aber ich erinnere mich
auch nicht mehr, welche wir verwendet hatten!
> [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm] - Borel-Sigma-Algebra
>
> Nun gibt es folgende Bezeichnungen:
>
> [mm]\lambda^\*: \mathcal{P}(\IR) \to [0,\infty][/mm] - äußeres
> Lebesgue-Maß
> [mm]\lambda_1: \mathcal{L}(\IR) \to [0,\infty][/mm] - Lebesgue-Maß
> auf [mm]\mathcal{L}(\IR)[/mm]
> [mm]\lambda_2: \mathcal{B}(\IR) \to [0,\infty][/mm] - Lebesgue-Maß
> oder Borel-Lebesgue-Maß auf [mm]\mathcal{B}(\IR)[/mm]
>
> Es gilt jeweils eingeschränkt auf die Teilmengen die
> Gleichheit, d.h.
>
> [mm]\lambda^\*|_{\mathcal{L}} = \lambda_1[/mm]
>
> [mm]\lambda_1|_{\matchal{B}} = \lambda_2[/mm]
>
> Nun gibt es zwei Möglichkeiten diese Dinge jeweils zu
> kontruieren:
>
> i) "von oben": Man definiert sich [mm]\lambda^\*[/mm] als äußeres
> Maß (mithilfe eines kanonischen Inhalts auf der Menge der
> halboffenen Quader) und konstruiert sich dann mithilfe von
> Caratheodory die Menge der meßbaren Mengen und erhält
> [mm]\mathcal{L}[/mm]
Das kenne ich.
> ii) "von unten": Man definiert sich ein Maß auf der
> Borel-Sigma-Algebra [mm]\mathcal{B},[/mm] vervollständigt diese und
> erhält [mm]\mathcal{L}[/mm]
Das nur als Bemerkung.
Vielleicht sind auch weniger die Autoren schuld als vielmehr ich: Vielleicht
habe ich das immer "zu schlampig" gelesen und durchdacht. Ich werde
mir Deine Mitteilung mal als Spickzettel speichern.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Danke für die Klärungen!
Ist echt doof mit den unterschiedlichen Definitionen der Begriffe Nullmenge und Lebesgue-Maß.
(Ich kannte das Borel-Lebesgue-Maß auf [mm] $\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] einfach unter dem Namen "Lebesgue-Maß".)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Di 06.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Tobi,
genau die Problematik fiel mir heute Nacht auch noch auf und wollte auch noch was dazu schreiben (wie man an der Historie sieht).
Da war meine Antwort etwas vorschnell.
Letztlich geht die Argumentation auf den Borel-Mengen immer schief, sobald f selbst auf einer Nullmenge nicht meßbar ist.
Entschuldigt die Konfusion....
> Hallo zusammen!
>
>
> Aus Gonos und Marcels Antworten ergibt sich für mich
> folgende Frage:
>
>
> Bezeichne [mm]\lambda[/mm] das Lebesgue-Maß auf [mm]\IR[/mm].
>
> Sei [mm]g\colon\IR\to\IR[/mm] messbar, [mm]h\colon\IR\to\IR[/mm] mit [mm]h=g[/mm]
> [mm]\lambda[/mm]-fast überall. Folgt dann die Messbarkeit von [mm]h[/mm]?
>
> Wenn ja: Warum?
>
>
> Überlegt habe ich mir, dass dieser Zusammenhang genau dann
> gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon
> vollständig ist, d.h. wenn alle [mm]\lambda[/mm]-Nullmengen schon
> Borelsch sind.
Ja das gilt, brauchst du dafür noch einen Beweis?
Das liegt einfach daran, dass Teilmengen von Nullmengen wieder meßbare Nullmengen sind.
Verwende dann die Darstellung des Urbildes von dir und alles ist gut.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:05 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gono,
> > Überlegt habe ich mir, dass dieser Zusammenhang genau dann
> > gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon
> > vollständig ist, d.h. wenn alle [mm]\lambda[/mm]-Nullmengen schon
> > Borelsch sind.
>
> Ja das gilt, brauchst du dafür noch einen Beweis?
Ja, denn damit widersprichst du Fred, laut dem [mm] $(\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] kein vollständiger Maßraum ist.
> Das liegt einfach daran, dass Teilmengen von Nullmengen
> wieder meßbare Nullmengen sind.
Warum sind Teilmengen von Nullmengen Borelsch?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Di 06.11.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> > > Überlegt habe ich mir, dass dieser Zusammenhang genau dann
> > > gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon
> > > vollständig ist, d.h. wenn alle [mm]\lambda[/mm]-Nullmengen schon
> > > Borelsch sind.
> >
> > Ja das gilt, brauchst du dafür noch einen Beweis?
> Warum sind Teilmengen von Nullmengen Borelsch?
Sind sie nicht, dann haben wir aneinander vorbei geredet.
Deine Aussage, dass man Funktionen auf Nullmengen abändern kann, ohne was an der Meßbarkeit zu ändern, gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon vollständig ist.
(d.h. unter der Annahme, dass er es ist, gilt der Satz, das meinte ich)
Das ist er natürlich nicht, vervollständigt man ihn aber, gilt die Aussage.
Wäre er es, bräuchte man die Lebesgue-Sigma-Algebra nicht (die ist nämlich gerade die Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra).
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
> Deine Aussage, dass man Funktionen auf Nullmengen
> abändern kann, ohne was an der Meßbarkeit zu ändern,
> gilt, wenn [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] schon
> vollständig ist.
> (d.h. unter der Annahme, dass er es ist, gilt der Satz,
> das meinte ich)
>
> Das ist er natürlich nicht, vervollständigt man ihn aber,
> gilt die Aussage.
> Wäre er es, bräuchte man die Lebesgue-Sigma-Algebra
> nicht (die ist nämlich gerade die Vervollständigung der
> Borel-Sigma-Algebra).
Die Lebesgue-Sigma-Algebra bräuchte man ja schon dann, wenn man nur nicht nachweisen könnte, dass die Borel-Sigma-Algebra vollständig ist.
Daher die Nachfrage:
Welcher der zwei folgenden Sachverhalte trifft zu?
1. Man kann beweisen, dass die Vollständigkeit von [mm] $(\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] aus ZFC nicht folgt.
2. Man kann in ZFC die Unvollständigkeit von [mm] $(\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)$ [/mm] beweisen.
Viele Grüße
Tobias
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Hiho,
> Daher die Nachfrage:
>
> Welcher der zwei folgenden Sachverhalte trifft zu?
> 1. Man kann beweisen, dass die Vollständigkeit von
> [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] aus ZFC nicht folgt.
> 2. Man kann in ZFC die Unvollständigkeit von
> [mm](\IR,\mathcal{B}(\IR),\lambda)[/mm] beweisen.
Man kann die Unvollständigkeit sofort beweisen, wie folgt:
Es gilt:
[mm] $|\mathcal{L}(\IR)| [/mm] = [mm] |\matcal{P}(\IR)|$
[/mm]
aber
[mm] $|\mathcal{B}(\IR)| [/mm] = [mm] |\mathcal{P}(\IN)| [/mm] = [mm] |\IR|$
[/mm]
Daraus folgt sofort: [mm] $\exists [/mm] A: [mm] A\in\mathcal{L}(\IR) \wedge A\not\in\mathcal{B}(\IR)$
[/mm]
Nun lässt sich aber A darstellen als $A = B [mm] \cup [/mm] N$, wobei $B [mm] \in \mathcal{B}, N\subset N_0 \in \mathcal{B}(\IR), [/mm] B [mm] \cap N_0 [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] mit [mm] $\lambda(N_0) [/mm] = 0$.
Nun ist $N = [mm] A\setminus [/mm] B$ nicht meßbare Teilmenge einer Borel-Nullmenge, d.h. [mm] \mathcal{B} [/mm] ist nicht vollständig.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Antwort, Gono!
> Es gilt:
> [mm]|\mathcal{L}(\IR)| = |\matcal{P}(\IR)|[/mm]
Das ist aber nichttrivial, oder?
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Hiho,
> > Es gilt:
> > [mm]|\mathcal{L}(\IR)| = |\matcal{P}(\IR)|[/mm]
> Das ist aber
> nichttrivial, oder?
doch.
Da [mm] $\mathcal{L}(\IR)$ [/mm] vollständig und es überabzählbare Nullmengen in [mm] $\mathcal{L}(\IR)$ [/mm] gibt, beispielsweise die Cantor-Menge.
Demzufolge sind auch alle Teilmengen davon in [mm] \mathcal{L}.
[/mm]
Und da die Cantor-Menge selbst überabzählbar ist, hat allein die Potenzmenge dieser Cantor-Menge (die Teilmenge von [mm] \mathcal{L} [/mm] ist), die Kardinalität von [mm] $\mathcal{P}(\IR)$.
[/mm]
Es gibt nur eine Sache, wo man das Auswahlaxiom braucht:
Es gilt ja [mm] $\matcal{L}(\IR) \subseteq \mathcal{P}(\IR)$.
[/mm]
Nur mithilfe des Auswahlaxioms kann man zeigen, dass [mm] $\matcal{L}(\IR)\not= \mathcal{P}(\IR)$.
[/mm]
Lebesgue selbst beispielsweise war der Meinung, dass "seine" Mengen alle Teilmengen von [mm] \IR [/mm] darstellen und hat Beweise mit Hilfe des Auswahlaxioms nicht akzeptiert
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Super, danke Gono!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:49 Di 06.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lustique,
> Laut meiner Vorlesung sind stetige Funktionen von [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] nach [mm] $\mathbb{R}^m$
[/mm]
> [mm] $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)-\mathcal{B}(\mathbb{R}^m)$-messbar(obwohl [/mm] es dafür wohl noch eine allgemeinere
> Formulierung geben wird, nehme ich an).
In der Tat lässt sich das verallgemeinern:
Sei [mm] $D\subseteq\IR^n$ [/mm] und [mm] $g\colon D\to\IR^m$ [/mm] stetig.
Dann ist f [mm] $\mathcal{B}(D)-\IB(\IR^m)$-messbar, [/mm] wobei [mm] $\mathcal{B}(D):=\{B\cap D\;|\;B\in\mathcal{B}(\IR^n)\}$ [/mm] die Spur-Sigma-Algebra von [mm] $\mathcal{B}(\IR^n)$ [/mm] auf D bezeichnet.
Dies lässt sich ähnlich der zu eurer Aussage aus der Vorlesung beweisen.
Sei nun [mm] $B\in\mathcal{B}(\IR)$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
Es gilt [mm] $f^{-1}(B)=\underbrace{\{x\in\IQ\;|\;f(x)\in B\}}_{=:E}\cup\underbrace{\{x\in\IR\setminus\IQ\;|\;f(x)\in B\}}_{=:F}$.
[/mm]
Also genügt es, [mm] $E\in \mathcal{B}(\IR)$ [/mm] und [mm] $F\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] zu zeigen.
Wie du schon angedeutet hast, ist E abzählbar und damit [mm] $E\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
Um [mm] $F\in\mathcal{B}(\IR)$ [/mm] zu sehen, betrachte die stetige Funktion
[mm] $g\colon\IR\setminus\IQ\to\IR, x\mapsto\bruch1x$.
[/mm]
Es gilt [mm] $F=g^{-1}(B)$. [/mm] Wegen der Messbarkeit von g ist [mm] $F=g^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\IR\setminus\IQ)$, [/mm] hat also die Gestalt [mm] $F=C\cap(\IR\setminus\IQ)$ [/mm] für ein [mm] $C\in\mathcal{B}(\IR)$. [/mm] Somit [mm] $F\in\mathcal{B}(\IR)$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Di 06.11.2012 | | Autor: | Lustique |
Ich danke nochmal allen von euch für eure Hilfe! Anscheinend hat ja diese Frage auch nicht nur mir etwas gebracht, wenn man sich so die Diskussionen anschaut. :)
Ach ja, der Vollständigkeit halber mal die Definition von Nullmengen aus meiner Vorlesung:
a) Ist [mm] $\mu$ [/mm] ein Maß auf einer [mm] $\sigma$-Algebra $\mathcal{A}$ [/mm] auf [mm] $\Omega$, [/mm] so heißt eine Menge [mm] $N\subseteq \Omega$ [/mm] eine [mm] $\mu$-Nullmenge, [/mm] falls [mm] $M\in\mathcal{A}$ [/mm] mit [mm] $N\subseteq [/mm] M$ und [mm] $\mu(M)=0$. [/mm]
b) Ist [mm] $\nu\colon \mathcal{P}(\Omega)\to[0, \infty]$ [/mm] ein äußeres Maß, so nennen wir Mengen [mm] $N\subseteq \Omega$ [/mm] mit [mm] $\nu(N)=0$ $\nu$-Nullmengen. [/mm]
Gibt es hier eigentlich einen Ersatz für "\mathscr{}", oder muss man hier ganz auf das Skript-Alphabet verzichten und auf "\mathcal{}" zurückgreifen?
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