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| Aufgabe | Einer der Wanderteilnehmer will sich einen Wanderstock kaufen. Der Laden hat 23 Stöcke im Angebot, und da der Teilnehmer ein pensionierter Ingenieur ist, misst er zunächst die Durchmesser der Stöcke, er erhält folgende Ergebnisse:
Anzahl der Stöcke | 2 | 2 | 5 | 7 | 3 | 1 | 2 | 1
gemessener Durchmesser | 18,5 | 19,0 | 20,0 | 20,5 | 21,0 | 21,5 | 22,0 | 23,0
Geben Sie das Intervall an, das mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit den tatsächlichen Durchmesser enthält. |
1) arithmetischen Mittelwert berechnen:
[mm] x_m=\bruch{2*18,5+2*19+5*20+7*20,5+3*21+1*21,5+2*22+1*23}{23}=\bruch{470}{23}
[/mm]
2) Standardabweichung des Mittelwerts berechnen:
[mm] s=\wurzel{\bruch{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}_{m})^{2}}{n-1}}=\wurzel{\bruch{(-\bruch{89}{46})^2+(-\bruch{33}{23})^2+(-\bruch{10}{23})^2+(\bruch{3}{46})^2+(\bruch{13}{23})^2+(\bruch{49}{46})^2+(\bruch{36}{23})^2+(\bruch{59}{23})^2}{22}}=0,8654919421
[/mm]
[mm] s_m=\bruch{s}{\wurzel{23}}=0,1804675452
[/mm]
3) Intervall mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit bestimmen:
[mm] a=x_m-2s_m=18,70379872
[/mm]
[mm] b=x_m+2s_m=22,16576649
[/mm]
Der Wanderstock hat mit 95,5%iger Wahrscheinlichkeit einen Durchmesser zwischen 18,7cm und 22,17cm. Korrekt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Fr 26.09.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo mathgenius,
natürlich kannst du in diesem Fall die [mm] \sigma- [/mm] Regeln nutzen, wenn man hier eine annähernde ![[]](/images/popup.gif) Normalverteilung annimmt. Es gilt ja schließlich [mm] $P(\mu_X-2\sigma_X
Es gilt, dass bei hinreichend häufiger Durchführung 95,5% aller Messwerte eine Abweichung von ca. [mm] 2\sigma_X [/mm] vom Mittelwert haben. [mm] \sigma_X=\sqrt{Var(X)} [/mm] ist die Standardabweichung. Für den Anwender der Mathematik reicht das meist.
Schau aber bitte noch mal nach, wie die Standardabweichung definiert ist. Was fällt dir bzgl. n auf?
Hier noch mal die Definition aus dem Link: $ [mm] \sigma_X=s_n=\wurzel{V(X)} [/mm] \ mit \ [mm] V(X)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline x\right)^2 [/mm] $
Sobald du [mm] \sigma_X [/mm] ausgerechnet hast, ist das entsprechende Intervall durch [mm] [\mu_X-2\sigma_X,\mu_X+2\sigma_X] [/mm] anzugeben.
Übrigens ist die Frage nicht ganz richtig gestellt. Eine häufige Fehlinterpretation bzgl. [mm] \sigma- [/mm] Umgebungen ist folgende: Man sagt einfach, dass der tatsächliche Durchmesser mit 95,5% in dem Intervall liegt. Das ist falsch. Ein Durchmesser kann nicht mit 95,5% Wahrscheinlichkeit in einem Intervall liegen. Entweder liegt der Durchmesser im Intervall oder er liegt nicht drin! Zulässig ist dagegen zu sagen, dass auf lange Sicht (bei hinreichend häufiger Durchführung) hin in 95,5% aller Realisierungen der Durchmesser in dem entsprechenden Intervall liegt.
MfG
Ladon
EDIT: Unerhörter Schwachsinn. 
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> Was fällt dir bzgl. n auf?
Dieser Formel zufolge muss für n=23 eingesetzt werden:
[mm] \sigma_x=s=\wurzel{\bruch{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x}_{m})^{2}}{n-1}}=\wurzel{\bruch{(-\bruch{89}{46})^2+(-\bruch{33}{23})^2+(-\bruch{10}{23})^2+(\bruch{3}{46})^2+(\bruch{13}{23})^2+(\bruch{49}{46})^2+(\bruch{36}{23})^2+(\bruch{59}{23})^2}{23}}=0,846467818
[/mm]
Allerdings verwirrt mich das jetzt. Ich habe gelernt (so steht's in meinen Unterlagen), dass bei der Berechnung der Standardabweichung s der Stichprobe durch n-1 geteilt werden muss. Gut, ich werde jetzt einfach unter der Annahme n=23 weiterrechnen.
Anschließend habe ich gelernt, den Mittelwert der errechneten Standardabweichung zu berechen:
[mm] \sigma_{xm}=\bruch{s}{\wurzel{n}}=\bruch{\sigma_x}{\wurzel{23}}=0,1765007411
[/mm]
Das Intervall habe ich sonst immer wie folgt berechnet:
[mm] [\mu_{xm}-2\sigma_{xm};\mu_{xm}+2\sigma_{xm}]=[20,08178113;20,78778409]
[/mm]
Du rechnest hier aber scheinbar ohne arithmetische Mittelwerte:
[mm] [\mu_X-2\sigma_X;\mu_X+2\sigma_X]
[/mm]
Muss ich jetzt auch den Erwartungswert ohne arithmetische Bestimmung berechnen? Habe ich dich jetzt falsch verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Fr 26.09.2014 | | Autor: | mathgenius |
Kein Problem!
Du hast mir mit den Informationen sehr geholfen. Ich war also auf dem richtigen Weg und hatte nur mit meinem letzten Satz eine unkorrekte Aussage getroffen.
Vielen Dank Ladon!
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