Methode d. finiten Differenzen < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | d²y / dx² + c * dy / dx = f(x)
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Hi ihr,
ich beschäftige mich nun schon seit einigen Tagen mit der Lösung der oben genannten Differentialgleichung.
Zur Lösung der Differentialgleichung muss ich laut Aufgabenstellung die Methode der finiten Differenzen mittels Disketisierung des Differentialoperators anwenden.
Leider komme ich trotz umfangreicher Recherche auf keinen Lösungsansatz.
Kann mir jemand einen Tip geben, wie ich am besten an die Lösung der Aufgabe rangehe?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] $\bruch{d^2y}{dx^2}+c*\bruch{dy}{dx}\ [/mm] =\ s(x)$
(ich bezeichne die Funktion rechts lieber nicht mit f,
weil ich f für die gesuchte Funktion verwende)
> ich beschäftige mich nun schon seit einigen Tagen mit der
> Lösung der oben genannten Differentialgleichung.
> Zur Lösung der Differentialgleichung muss ich laut
> Aufgabenstellung die Methode der finiten Differenzen
> mittels Disketisierung des Differentialoperators anwenden.
Hallo Tom,
für diese Methode wird ja das Integrationsintervall
[a,b] durch "Knotenpunkte" bzw. -Stellen in n gleich
breite Teilintervalle zerlegt:
$\ [mm] x_0=a\ [/mm] ,\ [mm] x_1=a+h\ [/mm] ,\ [mm] x_2=a+2h\ [/mm] ,\ .......\ ,\ [mm] x_n=b$
[/mm]
Die Funktionswerte [mm] y_k=f(x_k) [/mm] an diesen Stellen sind
gesucht (als Näherungswerte).
Nun soll für sie ein lineares Gleichungssystem aufge-
stellt werden. Um aus der gegebenen Differentialgleichung
Differenzengleichungen zu machen, wird an jeder
inneren Knotenstelle [mm] x_k [/mm] die Ableitung [mm] y_k' [/mm] und auch die
zweite Ableitung [mm] y_k'' [/mm] durch einen linearen Ausdruck
aus den benachbarten Funktionswerten angenähert.
Anstelle der (exakten) Ableitung [mm] f'(x_k) [/mm] (Tangenten-
steigung !) begnügt man sich z.B. mit der Sekanten-
steigung aus den links und rechts benachbarten
Knotenpunkten, also
$\ [mm] y_k'\ \approx\ f'(x_k)\ \approx\ \bruch{f(x_{k+1})-f(x_{k-1})}{x_{k+1}-x_{k-1}}\ \approx\ \bruch{y_{k+1}-y_{k-1}}{2\,h}$
[/mm]
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten
Ableitung, also kann man ganz analog vorgehen:
$\ [mm] y_k''\ \approx\ f''(x_k)\ \approx\ \bruch{f'(x_{k+1})-f'(x_{k-1})}{x_{k+1}-x_{k-1}}\ \approx\ \bruch{y'_{k+1}-y'_{k-1}}{2\,h}$
[/mm]
Um [mm] y_{k+1}' [/mm] und [mm] y_{k-1}' [/mm] aus dieser letzten Gleichung
zu entfernen, benützt man die vorherige Gleichung
(mit verschobenen Indices).
Auf diese Weise kommt man auf je eine lineare
Gleichung in $\ [mm] y_{k-2}\ [/mm] ,\ [mm] y_{k-1}\ [/mm] ,\ [mm] y_{k}\ [/mm] ,\ [mm] y_{k+1}\ [/mm] ,\ [mm] y_{k+2}$ [/mm] an allen
Knotenstellen angefangen bei k=2 bis k=n-2.
Für die Knoten am linken und rechten Rand muss
man sich noch ein paar zusätzliche Überlegungen
machen. Natürlich muss man dann auch die jeweiligen
Anfangsbedingungen ins Gleichungssystem einbinden.
Insgesamt sollte man auf ein System mit ebenso vielen
Gleichungen wie Unbekannten kommen.
LG Al-Chwarizmi
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Hi Al-Chwarizmi,
ich werde mich in den nächsten Stunden  mit deiner Antwort auseinander setzen. Jetzt habe ich zumindest einen Ansatzpunkt für die Lösung.
Fällt dir evtl. gerade eine gute Seite im Netz ein, die ein anschauliches Beispiel mit Beispielsrechnung bereitstellt?
Noch eine Frage was muss ich gegeben haben um eine konkrete Lösung zu erhalten? Sind ein Start- und ein Endwert ausreichend?
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> Hi Al-Chwarizmi,
>
> ich werde mich in den nächsten Stunden mit deiner
> Antwort auseinander setzen. Jetzt habe ich zumindest einen
> Ansatzpunkt für die Lösung.
> Fällt dir evtl. gerade eine gute Seite im Netz ein, die
> ein anschauliches Beispiel mit Beispielsrechnung
> bereitstellt?
Im Moment nicht - und ich mache mir Beispiele am
liebsten selber.
> Noch eine Frage was muss ich gegeben haben um eine konkrete
> Lösung zu erhalten? Sind ein Start- und ein Endwert
> ausreichend?
Auch das kann man sich selber klarmachen. Beim
Integrieren einer DGL 2. Ordnung kommen zwei
frei wählbare Integrationskonstanten herein.
Ebenso viele Parameterwerte müssen vorgegeben
werden, um aus der Schar aller Lösungskurven
eine als diejenige zu kennzeichnen, die man
berechnen will.
LG
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Hallo,
ich habe mir nun ein Beispiel ausgedacht, an
welchem man sich das Prinzip der Methode
klar machen kann. Allerdings sind mir dabei
auch noch nicht alle Lösungsschritte klar,
insbesondere (b). Ferner habe ich im Moment
noch keine Ahnung, wie "gut" allenfalls die
entstehende Lösung werden könnte. Das
ganze ist auf übersichtliche Rechnungen
ausgerichtet, die auch "von Hand" zu machen
sein sollten, um sich in das Funktionieren
des Verfahrens hinein denken zu können.
| Aufgabe | Gegeben ist die Differentialgleichung
[mm] y''+y'=x^2-1
[/mm]
Gesucht ist eine angenäherte Lösung mittels der Methode
der finiten Differenzen mit Schrittweite h=1 auf dem
Intervall [0,8] und mit den Randwerten y(0)=0 sowie y(8)=10 .
(a) Stelle die Differenzengleichung für die Stelle
[mm] x_k=k*h [/mm] auf für ein [mm] k\in\{2,3,4,5,6\}.
[/mm]
(b) Welche Gleichung soll man an der Stelle [mm] x_1=1
[/mm]
aufstellen ?
(c) Matrix des gesamten Gleichungssystems ?
(d) ev: Auflösung (mittels CAS) und Graph
(e) exakte Lösung der DGL ? |
Gruß Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Sa 27.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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