Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:04 Fr 16.02.2007 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | Folgende Abbildungen [mm] d:\IR^n\times\IR^n\to\IR [/mm] sind Metriken:
[mm] d(x,y)=min_{f\in P_{x,y}}\integral_0^1\wurzel{1+f'(t)^2}\:dt, [/mm] wobei [mm] P_{x,y} [/mm] die Menge aller Pfade von x nach y beschreibt, d.h.: [mm] P_{x,y}:=\{f\in C^1([0;1],\IR^n)|f(0)=x\wedge f(1)=y\}. [/mm] Bei d(x,y) handelt es sich also um die Länge des kürzesten Pfads von x nach y. |
Hallo!
Obiges kam in einer Probeklausur vor, man sollte von vier Möglichkeiten die richtige ankreuzen, und unter anderem war die oben angebene richtig. Wir scheiterten jetzt allerdings schon daran, zu zeigen, dass diese Metrik =0 ist, falls x=y ist. Was ist denn f' wenn x=y ist? Jedenfalls ist doch $f'^2$ immer [mm] \ge [/mm] 0, und somit ist der Teil unter der Wurzel immer [mm] \not=0 [/mm] und dann kann doch auch das Integral nicht =0 werden!?
Wir dachten, dass wir da irgendwo einen Denkfehler drin haben, haben aber schon Mathematiker und Physiker gefragt, und bisher konnte uns keiner sagen, was wir falsch machen oder warum das obige eine Metrik ist.
Kann da irgendwer weiterhelfen?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Fr 16.02.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bastiane!
> Folgende Abbildungen [mm]d:\IR^n\times\IR^n\to\IR[/mm] sind
> Metriken:
> [mm]d(x,y)=min_{f\in P_{x,y}}\integral_0^1\wurzel{1+f'(t)^2}\:dt,[/mm]
> wobei [mm]P_{x,y}[/mm] die Menge aller Pfade von x nach y
> beschreibt, d.h.: [mm]P_{x,y}:=\{f\in C^1([0;1],\IR^n)|f(0)=x\wedge f(1)=y\}.[/mm]
> Bei d(x,y) handelt es sich also um die Länge des kürzesten
> Pfads von x nach y.
Diese Formel ist so nicht OK oder zumindest mißverständlich, sie gibt die Bogenlänge einer diff.-baren Funktion von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Hier würde man für x = y (im [mm] \IR^{n}) [/mm] ja die konstante Parametrierung nehmen, und die hätte die Bogenlänge 0, weil die Ableitungen aller Koordinaten [mm] x_{i}(t) [/mm] = 0 sind.
Das werde ich später vielleicht noch genauer elaborieren, kann aber auch gerne jemand anders machen.
Gruß aus HH_Harburg
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 16.02.2007 | | Autor: | SEcki |
> Wir dachten, dass wir da irgendwo einen Denkfehler drin
> haben, haben aber schon Mathematiker und Physiker gefragt,
> und bisher konnte uns keiner sagen, was wir falsch machen
> oder warum das obige eine Metrik ist.
Mal eine Frage - ist denn keiner drauf gekommen, dass das einfach blos falsch ist? Wie schon im andren Posting gesagt - so ist es halt falsch, und ihr habt das ja begründet ...
Zu dem was da steht: Formel für Bogenlänge eine Funktion, das ist die Länge des Pfades [m]t\mapsto (t,f(t))[/m] mittels richtiger Pfadmetrik berechnet. (siehe unten)
> Kann da irgendwer weiterhelfen?
Die richtige Definition: Ersmtal Minimum a priori mit Infimum tauschen, dann: sei [m]\gamma[/m] ein auf [m][0,1][/m] parametrisierter Pfad, dann ist seine Länge [m]\int_0^1 ||\cdot{\gamma}|| dt[/m] (Länge ist Skalarpordukt des Gradienten, daraus die Wurzel.)
Roadmap: Dreiecksungleichung und Symmetrie geschenkt. Positiv definiti: hackliger, denn: man muss die Länge der Pfade nach unten gegen etwas abschätzen was größer als Null ist, probier mal die dirkete Verbindungslinie zwischen ihnen. (Da sieht man auch, das dass Minimum angenommen wird. Verllagemeinert man das auf Mannigfaltigkeiten, wird diese Aussage i.A. falsch)
Btw: diese Pfadmetrik entspricht genau der euklidsichen Metrik.
SEcki
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Von allen möglichen Funktionen ist jeweils diejenige zu suchen, die bei dem Integral den minimalen Wert gibt. (Wie die anderen schon geschrieben haben, gibt das Integral eigentlich eine Bogenlänge, falls man f(x) mit y identifiziert, was aber hier gar nicht gemeint ist!)
Für x = y müsstest du nun alle möglichen Funktionen betrachten. Das Sieht auf den ersten Blick so aus: wegen [mm] (f'(t))^2 \ge [/mm] 0 ist 1 + [mm] (f'(t))^2 \ge [/mm] 1, die Wurzel auch und somit das Integral ebenfalls [mm] \ge [/mm] 1.
Das stimmt aber nicht! Wir sind im Komplexen!!! Beispielsweise gilt für f(t)=i*t: f'(t)=i und [mm] 1+(f'(t))^2=0. [/mm] Mit dieser Funktion wird nun das Integral sofort 0.
Aber: Bei obiger Funktion gilt nun nicht f(0)=f(1) (=x=y). Man muss also eine geeignetere Funktion suchen. Außerdem müsste man sicherstellen, dass keines der Integrale negativ werden kann: Im Komplexen kann eine Wurzel bzw. dann auch das Integral negativ werden, dann wäre das Minimum negativ und man hätte keine Metrik. Also nicht aufgeben, sondern weiter forschen!
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