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Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Fr 11.01.2008
Autor: Pidgin

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gilt bei folgender Metrik die Dreiecksungleichung? Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob in der Ungleichung die Gleichheit auch möglich sein muss.

[mm] d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 5+|x-y|, & \mbox{für } x\neq y \end{cases} [/mm]

        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Fr 11.01.2008
Autor: Somebody


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Gilt bei folgender Metrik die Dreiecksungleichung? Ich bin
> mir nämlich nicht sicher, ob in der Ungleichung die
> Gleichheit auch möglich sein muss.
>  
> [mm]d(x,y)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x=y \\ 5+|x-y|, & \mbox{für } x\neq y \end{cases}[/mm]
>  

Da [mm] $0\leq [/mm] d(x,y)$ immer gilt, ist die Dreiecksungleichung

[mm]d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)[/mm]


jedenfalls erfüllt, falls $x=y$ ist. Sei also [mm] $x\neq [/mm] y$. Ist unter dieser Bedingung $z=x$ oder $z=y$, so gilt die Ungleichung ebenfalls, denn $z$ kann nicht zugleich $=x$ und $=y$ sein (wegen unserer Voraussetzung [mm] $x\neq [/mm] y$).
Ist sogar [mm] $x\neq [/mm] y$, [mm] $z\neq [/mm] x$ und [mm] $z\neq [/mm] y$, so lautet die Ungleichung, nach Einsetzen der Definition von $d$:

[mm]5+|x-y|\leq 5+|x-z|+5+|z-y|[/mm]

Die verbleibende Frage ist somit: gilt diese Ungleichung? Weil [mm] $|\ldots|$ [/mm] die Dreiecksungleichung [mm] $|x-y|\leq [/mm] |x-z|+|z-y|$ erfüllt doch wohl schon, nicht?

Bezug
                
Bezug
Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Fr 11.01.2008
Autor: Pidgin


>  
> [mm]5+|x-y|\leq 5+|x-z|+5+|z-y|[/mm]
>  Die verbleibende Frage ist
> somit: gilt diese Ungleichung? Weil [mm]|\ldots|[/mm] die
> Dreiecksungleichung [mm]|x-y|\leq |x-z|+|z-y|[/mm] erfüllt doch wohl
> schon, nicht?

Diese Ungleichung ist schon erfüllt, aber meine Frage wahr, ob der Fall 5+|x-y| = 5+|x-z|+5+|z-y| möglich sein muss, damit es eine Metrik ist. Weil in meinem Fall ist der ja nicht erfüllt.


Bezug
                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Fr 11.01.2008
Autor: M.Rex

Hallo

> >  

> > [mm]5+|x-y|\leq 5+|x-z|+5+|z-y|[/mm]
>  >  Die verbleibende Frage
> ist
> > somit: gilt diese Ungleichung? Weil [mm]|\ldots|[/mm] die
> > Dreiecksungleichung [mm]|x-y|\leq |x-z|+|z-y|[/mm] erfüllt doch wohl
> > schon, nicht?
> Diese Ungleichung ist schon erfüllt, aber meine Frage wahr,
> ob der Fall 5+|x-y| = 5+|x-z|+5+|z-y| möglich sein muss,
> damit es eine Metrik ist. Weil in meinem Fall ist der ja
> nicht erfüllt.
>  

Die Ungleichung reicht schon,  um zu zeigen, dass es eine Metrik ist.

Die Gleichheit bei der Dreiecksungleichung gilt nur, wenn alle Punkte x, y und z auf einer Linie liegen. Das ist aber für den Beweis, ob es eine Metrik ist, irrelevant, hier reicht es, dass die Ungleichung erfüllt ist.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 Fr 11.01.2008
Autor: Pidgin

Ja schon aber wenn alle Punkte in einer Linie liegen dann gilt:
[mm] $$5+|x-y|=5+|x-z|+|z-y|\neq [/mm] 5+|x-z|+5+|z-y|$$
In meinem Fall lautet die Dreiecksungleichung doch:
[mm] $$d(x,y)=5+|x-y|\leq [/mm] 5+|x-z|+5+|z-y|=d(x,z)+d(x,y)$$
Bei meiner Dreiecksungleichung gilt doch keine Gleichheit wenn die Punkte auf einer Linie liegen.

Bezug
                                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:46 Sa 12.01.2008
Autor: Somebody


> Ja schon aber wenn alle Punkte in einer Linie liegen dann
> gilt:
>  [mm]5+|x-y|=5+|x-z|+|z-y|\neq 5+|x-z|+5+|z-y|[/mm]
>  In meinem Fall
> lautet die Dreiecksungleichung doch:
>  [mm]d(x,y)=5+|x-y|\leq 5+|x-z|+5+|z-y|=d(x,z)+d(x,y)[/mm]
>  Bei
> meiner Dreiecksungleichung gilt doch keine Gleichheit wenn
> die Punkte auf einer Linie liegen.

Im allgemeinen Fall macht die Formulierung des "auf einer Linie liegens" bei einem metrischen Raum keinen Sinn. Jede beliebige Menge $X$ kann mit der Struktur eines metrischen Raumes versehen werden, indem man definiert:

[mm]d(x,y) := \begin{cases}0 & \text{falls $x=y$}\\ 1 & \text{falls $x\neq y$}\end{cases}[/mm]

("diskrete Metrik").
In einem solchen Falle gilt das Gleichheitszeichen bei der Dreiecksungleichung

[mm]d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)[/mm]

genau dann, wenn $z=x$ oder $z=y$ ist. Mit "auf einer Linie liegen" hat diese Bedingung doch wohl kaum etwas zu tun.

Auch im Falle der "euklidischen Metrik" eines $n$-dimensionalen Vektorraumes wie [mm] $\IR^n$ [/mm] ist es so, dass "auf einer Linie liegen" von $x,y$ und $z$ für das Gelten des Gleichheitszeichens in der Dreiecksungleichung nicht genügt: $z$ muss genauer auf der Verbindungstrecke von $x$ und $y$ liegen. Für den [mm] $\IR^1$ [/mm] bedeutet dies also, dass $|x-y|=|x-z|+|z-y|$ genau dann gilt, wenn [mm] $x\leq z\leq [/mm] y$ oder $y [mm] \leq z\leq [/mm] x$ gilt: was anschaulich unmittelbar einleuchtend sein dürfte.

Bezug
                                                
Bezug
Metrik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:46 So 13.01.2008
Autor: Pidgin

Danke für eure Erklärungen.
Nun noch mal zu meiner Frage. Ist diese Abstandsmessung nun eine Metrik ?
[mm] $$d(x,y)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x=y\\ 5+|x-y| & \mbox{für } x\neq y \end{cases}$$ [/mm]

Ich würde sagen ja.


Bezug
                                                        
Bezug
Metrik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:54 So 13.01.2008
Autor: DaReava

Guten Abend!

Ist diese Abstandsmessung nun eine Metrik ?

[mm] d(x,y)=\begin{cases} 0 & \mbox{für } x=y\\ 5+|x-y| & \mbox{für } x\neq y \end{cases} [/mm]

Also mal Schritt für Schritt:
Es gilt:

(1) [mm] d(x,y)=0 \quad \gdw \quad x=y [/mm]
Bew: [mm] x=y \Rightarrow d(x,y)=d(x,x)=0 [/mm] laut Def.
$ [mm] \quad \quad [/mm] d(x,y)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=x  $,
da  $ [mm] |x-y|\not=-5 \quad \forall x,y\in \IR [/mm] $

(2) Symmetrie: [mm] d(x,y)=d(y,x) [/mm]
Bew:
für $ [mm] x\not= [/mm] y $ gilt: $ d(x,y)=(5+|x-y|)=(5+|y-x|)=d(y,x) $
für $ x=y $ gilt: $ d(x,x)=0=d(y,y) $

(3) Dreiecksungleichung: [mm] d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y) [/mm]
Bew:
Es gilt: [mm] d(x,y)=(5+|x-y|)=(5+|x-z+z-y|) \le (5+|x-z|+|z-y|) \le (5+|x-z|+5+|z-y|)=(5+|x-z|)+(5+|z-y|)=d(x,z)+d(z,y) [/mm]

Damit sind alle Anforderungen an eine Metrik erfüllt. $ [mm] \Box [/mm] $

Ich hoffe die Frage ist ausreichend beantwortet ;-)

LG reava

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