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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:31 Di 18.01.2011 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Sei M eine beliebige Menge, und d: MxM [mm] \to [/mm] R wie folgt definiert:
d(x,y) [mm] =\begin{cases} 1, wenn x \not= y \\ 0, wenn x=y \end{cases}
[/mm]
i) Weisen Sie nach, dass d eine Metrik auf M ist |
Also jetzt muss ich ja die drei Eigenschaften einer Metrik nachweisen.
a) d(x,y) = 0 , wenn x= y
das ist ja ziemlich trivial, weil die Menge so definiert ist
b) d(x,y) = d(x,y)
c) [mm] d(x,z)\le [/mm] d(x,y)+d(y,z)
bei den letzten beiden weiß ich nicht was ich machen soll???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Mi 19.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Also jetzt muss ich ja die drei Eigenschaften einer Metrik
> nachweisen.
>
> a) d(x,y) = 0 , wenn x= y
> das ist ja ziemlich trivial, weil die Menge so definiert
> ist
>
> b) d(x,y) = d(x,y)
Eigentlich nicht so schwer, falls $x=y$, sind beide Seiten 1, falls $x [mm] \not= [/mm] y$, sond beide Seiten 0, die Gleichheit gilt also in beiden Fällen.
> c) [mm]d(x,z)\le[/mm] d(x,y)+d(y,z)
Falls $x=z$ ist $d(x,z)=0$, so ist nichts zu zeigen, da wegen der Positivität der Metrik die rechte Seite auch nicht kleiner als 0 werden kann.
Ist $x [mm] \not= [/mm] z$ so ist $d(x,z) = 1$. Jetzt versuche mal selbst zu begründen, warum die rechte Seite nicht kleiner als 1 sein kann.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mi 19.01.2011 | | Autor: | sissenge |
Muss ich da auch wieder Fallunterscheidungen machen also
1. Fall x=y und [mm] y\not= [/mm] z
Dann ist [mm] 1\le [/mm] 0+1
2.Fall [mm] x\not= [/mm] y und [mm] y\not= [/mm] z
Dann ist [mm] 1\le [/mm] 1+1
3.Fall [mm] x\not= [/mm] y und y=z
Dann ist [mm] 1\le [/mm] 1+0
4.Fall x=y und y=z wobei dann x=z und somit die linke Seite dann 0
und somit [mm] 0\le [/mm] 0+0
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Hallo sissenge,
> Muss ich da auch wieder Fallunterscheidungen machen also
>
> 1. Fall x=y und [mm]y\not=[/mm] z
> Dann ist [mm]1\le[/mm] 0+1
> 2.Fall [mm]x\not=[/mm] y und [mm]y\not=[/mm] z
> Dann ist [mm]1\le[/mm] 1+1
Hier hast Du den Fall betrachtet, daß [mm]x\not=z[/mm]
Es gibt hier aber noch den Fall [mm]x=z[/mm]
Dieser ist bereits durch den vorhergehenden Fall abgedeckt.
> 3.Fall [mm]x\not=[/mm] y und y=z
> Dann ist [mm]1\le[/mm] 1+0
> 4.Fall x=y und y=z wobei dann x=z und somit die linke
> Seite dann 0
> und somit [mm]0\le[/mm] 0+0
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Mi 19.01.2011 | | Autor: | sissenge |
Ok jetzt habe ich noch eine Aufgabe.
ii) Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kiriterium für die Konvergenz einer Folge im metrischen Raum (M,d) an.
Ich konnte noch nie notwendig und hinreichend unterscheiden.
Ist das Cauchy-Kriterium ein notwendiges und hinreichendes Kriterium?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok jetzt habe ich noch eine Aufgabe.
>
> ii) Geben Sie ein notwendiges und hinreichendes Kiriterium
> für die Konvergenz einer Folge im metrischen Raum (M,d)
> an.
>
> Ich konnte noch nie notwendig und hinreichend
> unterscheiden.
Glückwunsch ! Ist google nicht DEin Freund
http://de.wikipedia.org/wiki/Notwendige_und_hinreichende_Bedingung
>
> Ist das Cauchy-Kriterium ein notwendiges und hinreichendes
> Kriterium?
Nein. Nur in vollständigen Metr. Räumen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Mi 19.01.2011 | | Autor: | sissenge |
Ich bin nur drauf gekommen, weil meine nächste Frage ist:
iii) Ist (M,d) vollständig?
Und wenn so eine Frage kommt, ist es bei uns meistens so, dass die Aussage stimmt.
Ist das ein Kriterium: Wenn die Folge beschränkt ist, so konvergiert sie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin nur drauf gekommen, weil meine nächste Frage ist:
>
> iii) Ist (M,d) vollständig?
>
> Und wenn so eine Frage kommt, ist es bei uns meistens so,
> dass die Aussage stimmt.
>
> Ist das ein Kriterium: Wenn die Folge beschränkt ist, so
> konvergiert sie??
Nein. Im allg. stimmt das nicht. Nimm [mm] (\IR, d_0) [/mm] mit [mm] d_0(x,y)=|x-y| [/mm] und [mm] (x_n)=((-1)^n)
[/mm]
Zu iii) Ist (M,d) vollständig? :
Nimm Dir doch mal eine Cauchyfolge [mm] (a_n) [/mm] aus M her.
Dann gibt es doch ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $d(a_n,a_m)<1$ [/mm] für n.m > N
Was kannst Du nun über die Folgenglieder [mm] a_j [/mm] sagen, wenn j> N ist ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal ergänzend:
> Ist das ein Kriterium: Wenn die Folge beschränkt ist, so
> konvergiert sie??
Leider gilt eben diese Folgerung i.a. nicht. Es gilt:
Wenn eine Folge konvergiert, dann ist sie auch (in notwendiger Weise) beschränkt. Wegen der Kontraposition kann man das in äquivalenter Weise formulieren:
Wenn eine Folge unbeschränkt ist, dann konvergiert sie mit Sicherheit nicht(!!)
(Denn unter der Annahme, dass sie doch konvergiere, würde ja ihre Beschränktheit folgen...)
Beachte bitte, dass
$$A [mm] \Rightarrow [/mm] B$$
und
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$$
gleichwertig sind (die eine Aussage ist die Kontraposition der anderen).
Beachte dabei aber bitte insbesondere, dass die Aussagen
$$B [mm] \Rightarrow [/mm] A$$
und
[mm] $$(\neg [/mm] B) [mm] \Rightarrow (\neg [/mm] A)$$
zwei nicht gleichwertige Aussagen sind - i.a. sind es quasi "grundverschiedene" Aussagen. Denn andernfalls wäre ja auch $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ das gleiche wie $B [mm] \Rightarrow A\,,$ [/mm] aber die Folgerung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] "ist i.a. nicht symmetrisch".
Man kann sich das ganze auch nochmal ganz schön an einem Beispiel klarmachen:
Sei $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Für $r > 0$ betrachte wieder
$$x=r [mm] \Rightarrow x^2=r^2\,.$$
[/mm]
Damit kannst Du nun quasi "alles mal an einem konkreten Beispiel durchspielen".
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:51 Do 20.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich konnte noch nie notwendig und hinreichend
> unterscheiden.
bei einer Folgerung $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ - für Aussagen [mm] $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] (deren Wahrheitsgehalt entweder wahr oder falsch ist) - heißt [mm] $B\,$ [/mm] notwendig für [mm] $A\,$ [/mm] (denn $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ besagt ja, dass, wenn [mm] $A\,$ [/mm] gilt, dann (in notwendiger Weise) auch [mm] $B\,$ [/mm] gelten muss) und [mm] $A\,$ [/mm] hinreichend für [mm] $B\,$ [/mm] (denn $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$ besagt, dass es hinreichend ist, zu wissen, dass [mm] $A\,$ [/mm] gilt, um zu schließen, dass [mm] $B\,$ [/mm] gilt).
Wenn man sagt, [mm] $A\,$ [/mm] sei sowohl hinreichend als auch notwendig für [mm] $B\,,$ [/mm] dann heißt dies:
1.) $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$
gilt [mm] ($A\,$ [/mm] ist hinreichend für [mm] $B\,$)
[/mm]
UND
2.) $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$
gilt [mm] ($A\,$ [/mm] ist notwendig für [mm] $B\,$).
[/mm]
Kurz:
$$A [mm] \gdw B\,.$$
[/mm]
(Man sagt dann auch: [mm] $A\,$ [/mm] ist gleichwertig mit [mm] $B\,.$ [/mm] Andere Sprechweisen sind etwa:
[mm] $\bullet$ $A\,$ [/mm] ist äquivalent zu [mm] $B\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ $A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$ [/mm] sind gleichbedeutend.
.
.
.)
Beispiele:
----
I.)
Betrachten wir $x [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Dann gilt:für (jedes) feste(s) $r [mm] \ge [/mm] 0$:
$$x=r [mm] \Rightarrow x^2=r^2\,.$$
[/mm]
[mm] ($x=r\,$ [/mm] ist hinreichend für [mm] $x^2=r^2\,.$)
[/mm]
[mm] $\text{(}$Dort [/mm] sind etwa die Aussagen
[mm] $$A:\;\;x=r\,.$$
[/mm]
[mm] $$B:\;\;x^2=r^2\,. \text{)}$$
[/mm]
Aber es gilt i.a. nicht
[mm] $$x^2=r^2 \Rightarrow x=r\,.$$
[/mm]
Denn:
Es gelten die folgende Äquivalenzen (beachte auch die dritte binomischen Formel):
[mm] $$x^2=r^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2-r^2=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+r)*(x-r)=0\,.$$
[/mm]
(Mach' Dir hierbei rechnerisch jede der beiden Folgerungen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und jede der beiden Folgerunegn [mm] $\Leftarrow$ [/mm] klar!)
Die letzte Gleichung ist auch für [mm] $x=-r\,$ [/mm] erfüllt; also muss
[mm] $$x^2=r^2$$
[/mm]
nicht [mm] $x=r\,$ [/mm] bedingen - es kann bei [mm] $x^2=r^2$ [/mm] durchaus auch $x=-r [mm] \not=r$ [/mm] sein, sofern denn etwa $r [mm] \not=0$ [/mm] (und damit wegen $r [mm] \ge [/mm] 0$ also $r > [mm] 0\,$) [/mm] ist.
Beispielsweise ist
[mm] $$x^2=2^2=4$$
[/mm]
auch für $x=-2 [mm] \not=r=2$ [/mm] wahr.
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II.) Sei $x [mm] \in \IR$ [/mm] UND es gelte $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Dann gilt für (jedes) feste(s) $r [mm] \ge [/mm] 0$:
[mm] $$(\star)\;\;x^2=r^2 \gdw x=r\,.$$
[/mm]
Hier ist die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] klar, denn jedes $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit $x [mm] \ge [/mm] 0$ erfüllt ja insbesondere $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so dass $x=r [mm] \Rightarrow x^2=r^2$ [/mm] sich aus 1.) ergibt.
Die Folgerung [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (in [mm] $(\star)$) [/mm] ist nicht ganz klar, denn in 1.) galt sie nicht. Wir haben aber erkannt, dass
[mm] $$x^2=r^2\,$$
[/mm]
gleichbedeutend (gleichwertig) mit
[mm] $$(x-r)*(x+r)=0\,$$
[/mm]
ist. Nun ist ein Produkt (bestehend aus endlich vielen Faktoren) genau dann Null (man sagt auch: es verschwindet), wenn (mindestens) einer der Faktoren Null ist (anders gesagt: wenn wenigstens einer der Faktoren verschwindet).
Also ist [mm] $(x-r)*(x+r)=0\,$ [/mm] gleichbedeutend mit
$$x=r [mm] \text{ oder }x=-r\,.$$
[/mm]
(Dieses "oder" ist ein "mathematisches 'oder'" und NICHT im "entweder-oder"-Sinne zu verstehen. Es kann durchaus auch sein, dass beides gilt: Für [mm] $r=0\,$ [/mm] gilt sowohl [mm] $x=r=0\,$ [/mm] als auch [mm] $x=-r=-0\;\;(=0)\,.$)
[/mm]
Für [mm] $r=0\,$ [/mm] besagt dies aber nichts anderes als [mm] $x=r=0\,.$
[/mm]
Für $r > [mm] 0\,$ [/mm] gibt es nun zwei Fälle:
1. Fall: [mm] $x=r\,.$ [/mm] Hier ist nichts mehr zu zeigen.
2. Fall: [mm] $x=-r\,.$ [/mm] Wegen $r > [mm] 0\,$ [/mm] ist aber $-r < [mm] 0\,,$ [/mm] so dass [mm] $x=-r\,$ [/mm] sofort $x < [mm] 0\,$ [/mm] impliziert. Nach Voraussetzung war aber $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Somit führt [mm] $x=-r\,$ [/mm] zu einem Widerspruch. Also kann dieser Fall - der Fall $x=-r$ - nicht eintreten.
Also muss [mm] $x=r\,$ [/mm] gelten.
Gruß,
Marcel
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