Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 15.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich soll eine Metrik auf [mm] C[0,1]x\IR^{2} [/mm] finden.
(C[0,1] ist der Raum der stetigen Funktionen von [0,1] nach [mm] \IR)
[/mm]
Man kann hier die triviale Metrik nehmen. Gibt es hier eine Metrik, die "mehr Sinn"
als die triviale Metrik hat.
Das Kartesische Produkt von der Menge , liefert die Menge aller geordneten Paare in der Form
[mm] ((f_{1},v_{1}),(f_{2}v_{2}) [/mm] ) mit [mm] f_{1},f_{2} \in [/mm] C[0,1] , [mm] v_{1},v_{2}\in \IR^{2}.
[/mm]
Was könnte eine stetige Funktion mit einem Vektor in [mm] \IR^{2} [/mm] zu tun haben? Vielleicht sollte irgendwie Abstand zwischen einer Koordinate des Vektors und einem Wert der Funktion an einer Stelle bestimmt werden?
(z.B kleinster oder größter Abstand). Aber es gibt zwei Funktionen und zwei Vektoren. Wenn ich für ein geordnetes Paar größten Abstand bestimme und dasselbe mit dem zweiten geordneten Paar , was soll man dann mit den beiden Abständen machen ?Z.B den größten von den beiden Abständen mit Hilfe der Maximums-Norm nehmen?
Gruss
Igor
|
|
| |
|
Moin Igor,
> ich soll eine Metrik auf [mm]C[0,1]\times\IR^{2}[/mm] finden.
> (C[0,1] ist der Raum der stetigen Funktionen von [0,1] nach [mm] \IR)
[/mm]
Sei [mm] d_1 [/mm] eine Metrik auf C([0,1]) und [mm] d_2 [/mm] eine Metrik auf [mm] \IR^2.
[/mm]
Dann ist auf [mm] C([0,1])\times\IR^2 [/mm] eine Metrik e definiert durch
[mm] e((f_1,v_1), (f_2,v_2))=d_1(f_1,f_2)+d_2(v_1,v_2).
[/mm]
> Das Kartesische Produkt von der Menge , liefert die Menge
> aller geordneten Paare in der Form
> [mm]((f_{1},v_{1}),(f_{2}v_{2})[/mm] ) mit [mm]f_{1},f_{2} \in[/mm] C[0,1], [mm]v_{1},v_{2}\in \IR^{2}.[/mm]
Seit wann denn das? Es ist [mm] A\times B=\{(a,b): a\in A, b\in B\}.
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Di 15.11.2011 | | Autor: | Igor1 |
Early moin Kamaleonti,
die Metrik, die Du angegeben hast, habe ich für (XxY)x(XxY) (also im abstrakten Sinne,d.h für allgemeine metrische Räume) auf meinem Übungsblatt als Teilaufgabe gesehen(man sollte zeigen, dass e eine Metrik ist). Jedoch , mir schien diese Definition/Konstruktion
nicht so sinnvoll: warum möchte man denn einen Abstand von zwei Funktionen berechnen und dann dazu den Abstand zwei Vektoren dazu addieren? Wird diese Definition irgendwo wichtig in Anwendung?
Wenn Du diese Definition angegeben hast und diese auch auf dem Übungsblatt steht, ist schon wahrschinlicher , dass diese Metrik wichtig ist, aber warum?
P.S: Mit dem kartesischen Produkt "von der Menge" wollte ich eigentlich [mm] (C[0,1]x\IR^{2})x(C[0,1] x\IR^{2}) [/mm] meinen . Sorry, ich habe mich da unverständlich ausgedruckt.
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Wenn Du diese Definition angegeben hast und diese auch auf
> dem Übungsblatt steht, ist schon wahrschinlicher , dass
> diese Metrik wichtig ist, aber warum?
Man kann sich allgemein n metrische Räume [mm] (X_i, d_i), 1\leq i\leq [/mm] n nehmen und die sogenannte Produktmetrik e auf dem Produktraum [mm] X_1\times X_2\times\ldots\times X_n [/mm] definieren durch
[mm] e((\xi_1,\ldots,\xi_n)(\mu_1\ldots,\mu_n))=\sum_{i=1}^n d_i(\xi_i,\mu_i).
[/mm]
Sie beschreibt ein sehr allgemeines Konzept, unterschiedlich strukturierte Räume mit einer Metrik zu versehen. Dein konkretes Beispiel soll eher zur Verdeutlichung dienen.
Als Anwendung von Produktmetriken fällt mir spontan die Klassifizierung von Objekten ein: Das passiert zum Beispiel in der Mustererkennung und der Bildinformatik. Dort hat man einen Merkmalsraum, also gewisse Daten vorliegen. Aus einer Stichprobe (etwa ein "zufälliges" Bild, dem man eine Bedeutung zuordnen will) kann man Daten wie Formen, Farben etc. extrahieren und dann mit gewissen bekannten Mustern vergleichen. Dazu braucht man eine geeignete Metrik. Diese kann je nach Problemstellung ganz unterschiedlich aussehen. Wenn man zwei Objekte mit den unterschiedlichen Eigenschaften vergleichen will, kommen eben auch durchaus mal Produktmetriken zum Einsatz.
Allgemein: Vergleich von eher komplexen Strukturen.
LG
|
|
|
|
