Metrik < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:34 Fr 11.05.2012 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | Guten späten abend, ich häng an einer aufgabe fest:
Sei $ [mm] (X,d)=\{(a_n)\ :\ a_n\in \mathbb R \} [/mm] $ ein metrischer raum mit
$ [mm] d[(a_n),(b_n)]\ [/mm] =\ [mm] \sum\limits_{j=0}^\infty \frac{|a_j-b_j|}{2^{j+1}(1+|a_j-b_j|)} [/mm] $.
Behauptung: $ (X,d) $ ist abgeschlossen und beschränkt. |
Die beschränktheit hab ich schon, aber die abgeschlossenheit...?
Ich hab mir überlegt: jede partialsumme ist ja genau so wie der jeweilige grenzwert der reihe genau ein punkt auf dem reellen zahlenstrahl. Und ein einzelner punkt ist ja abgeschlossen. Aber es sind ja leider unendlich viele punkte und dass die vereinigung abgeschlossener mengen wieder abgeschlossen ist, gilt ja nur für endlich viele abgeschlossene mengen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:00 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
> Guten späten abend, ich häng an einer aufgabe fest:
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> Sei [mm](X,d)=\{(a_n)\ :\ a_n\in \mathbb R \}[/mm] ein metrischer
> raum mit
>
> [mm]d[(a_n),(b_n)]\ =\ \sum\limits_{j=0}^\infty \frac{|a_j-b_j|}{2^{j+1}(1+|a_j-b_j|)} [/mm].
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> Behauptung: [mm](X,d)[/mm] ist abgeschlossen und beschränkt.
> Die beschränktheit hab ich schon, aber die
> abgeschlossenheit...?
>
> Ich hab mir überlegt: jede partialsumme ist ja genau so
> wie der jeweilige grenzwert der reihe genau ein punkt auf
> dem reellen zahlenstrahl. Und ein einzelner punkt ist ja
> abgeschlossen. Aber es sind ja leider unendlich viele
> punkte und dass die vereinigung abgeschlossener mengen
> wieder abgeschlossen ist, gilt ja nur für endlich viele
> abgeschlossene mengen....
Deine Überlegungen zur Abgeschlossenheit versteh ich überhaupt nicht. Die obigen Elemente sind Folgen - nicht Ergebnisse aus Abstandsberechnungen (mal unabhängig davon, dass ich auch dann nicht kapiere, worauf Du hinaus wolltest...?).
Vielleicht machst Du Dir erstmal klar bzw. teilst uns mit, bzgl. was [mm] $X=\{(a_n)\ :\ a_n\in \mathbb R \}$ [/mm] abgeschlossen sein soll? Also ich meine, hier wird doch nicht [mm] $X\,$ [/mm] selbst als Grundmenge angenommen?
Oder, was ich mir auch vorstellen könnte: Wenn [mm] $X\,$ [/mm] die Menge aller reellwertigen Folgen ist, wobei man den Abstand zweier Folgen durch die obige (konvergente!) Reihe misst: Welche Teilmenge von Folgen sollst Du nun auf Abgeschlossenheit und Beschränktheit untersuchen?
P.S.
Auch, wenn es nicht explizit dabeisteht: Es ist wichtig, das man sich klarmacht, dass [mm] $d\,$ [/mm] etwas "wohldefiniertes" ist:
Dass [mm] $d\,$ [/mm] nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ annimmt, ist klar. Danach sollte man sich klarmachen, dass die Reihe stets konvergiert (etwa Wurzelkr. - oder noch einfacher: Majorantenkriterium und geom. Reihe).
Und natürlich: Wenn das eine Metrik sein soll, sollte man sich auch davon überzeugen, dass das auch wirklich eine ist: Also die Eigenschaften, die eine Metrik definieren, für dieses spezielle [mm] $d\,$ [/mm] nachrechnen! (Einzig die Dreiecksungleichung ist ggf. etwas mühseliger.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 12.05.2012 | | Autor: | anabiene |
Hey Marcel! Da bin ich wieder. Danke dass du mir auch hier hilfst  .
In der aufgabe heißt es tatsächlich "Sei X die menge aller reellen folgen mit der metrik ..."
Vllt versteh ich die metrik gar nicht: $ [mm] (a_n) [/mm] $ und $ [mm] (b_n) [/mm] $ in $ [mm] d[(a_n),(b_n)] [/mm] $ sind ja (zahlen-)folgen. Aber $ [mm] a_j [/mm] $ und $ [mm] b_j [/mm] $ in $ [mm] |a_j-b_j| [/mm] $ sind doch folgenglieder, oder? Also reelle zahlen? Oder sind das auch folgen? Wenn ja wäre es von der notation her grausam hingeschrieben...
Dass es eine metrik ist hatt ich schon beweisen. Für die dreiecksungleichung hatt man die konvergenz gebraucht (ich zumindest).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:47 Sa 12.05.2012 | | Autor: | SEcki |
> Dass es eine metrik ist hatt ich schon beweisen.
So, wie es da steht und wie man den Begriff "Abgeschlossenheit" normalerweise definiert, ist X trivialerweise abgeschlossen - da es der ganze Raum ist. Und da muss man fast nachfragen, was sich der Aufgabensteller gedacht hat. Aber, das musst du selber tun - da können wir nicht helfen.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Sa 12.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
> Hey Marcel! Da bin ich wieder. Danke dass du mir auch hier
> hilfst .
>
> In der aufgabe heißt es tatsächlich "Sei X die menge
> aller reellen folgen mit der metrik ..."
>
> Vllt versteh ich die metrik gar nicht: [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] in
> [mm]d[(a_n),(b_n)][/mm] sind ja (zahlen-)folgen. Aber [mm]a_j[/mm] und [mm]b_j[/mm] in
> [mm]|a_j-b_j|[/mm] sind doch folgenglieder, oder? Also reelle
> zahlen?
ja!
> Oder sind das auch folgen? Wenn ja wäre es von der
> notation her grausam hingeschrieben...
Es ist absolut korrekt hingeschrieben - und nein: [mm] $a_j$ [/mm] bzw. [mm] $b_j$ [/mm] sind keine Folgen:
Die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wird kurz mit [mm] $(a_n)$ [/mm] bezeichnet, und [mm] $a_n$ [/mm] (ohne Klammern!) bedeutet das [mm] $n\,$-te [/mm] Glied der Folge. Ich mach's mal anders damit's für Dich deutlicher wird - ich schreibe anstatt Folgen quasi Abbildungen (da gibt's ja Isomorphien bzw. manchmal definiert man das ganze ja auch so):
Wir definieren [mm] $\mathbf{\widehat{a}}: \IN \to \IR$ [/mm] vermittels [mm] $\mathbf{\hat{a}}(j):=a_j$ [/mm] für alle $j [mm] \in \IN\,,$ [/mm] entsprechend wird [mm] $\mathbf{\widehat{b}}$ [/mm] definiert.
Dann steht oben nichts anderes, als, dass man den Abstand zwischen [mm] $\mathbf{\widehat{a}}$ [/mm] und [mm] $\mathbf{\widehat{b}}$ [/mm] berechnet vermittels:
[mm] $$d\big[\,\mathbf{\widehat{a}},\;\mathbf{\widehat{b}}\,\big]=\sum\limits_{j=0}^\infty \frac{|a_j-b_j|}{2^{j+1}(1+|a_j-b_j|)}=\sum\limits_{j=0}^\infty \frac{|\mathbf{\widehat{a}}(j)-\mathbf{\widehat{b}}(j)|}{2^{j+1}(1+|\mathbf{\widehat{a}}(j)-\mathbf{\widehat{b}}(j)|)}\,.$$
[/mm]
D.h.:
Man berechnet den Abstand der FUNKTIONEN [mm] $\mathbf{\widehat{a}}$ [/mm] und [mm] $\mathbf{\widehat{b}}$ [/mm] unter Verwendung derer jeweiligen Funktionswerte [mm] $\mathbf{\widehat{a}}(j)$ [/mm] bzw. [mm] $\mathbf{\widehat{b}}(j)\,.$
[/mm]
Also ursprünglich heißt das:
Die Berechnung des Abstandes zwischen zwei Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] erfolgt unter Verwendung der jeweiligen Funktionsglieder [mm] $a_j$ [/mm] bzw. [mm] $b_j\,.$
[/mm]
Irgendwas scheint Dir daran noch unklar zu sein. Wenn dem so ist:
Ziehe das ganze mal durch (nur formal aufschreiben!), was für die Folgen [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] mit [mm] $a_j:=1/j$ [/mm] ($j [mm] \in \IN$) [/mm] und [mm] $b_j:=1/j^2$ [/mm] ($j [mm] \in \IN$) [/mm] da oben rauskommt.
Ich habe nämlich die Befürchtung, dass Du hier irgendwo immer durcheinanderkommst: Man berechnet nicht Abstände in [mm] $\IR$ [/mm] vermittels einer neuen Metrik neu, sondern oben wird definiert, wie man einen Abstand zwischen zwei reellwertigen Folgen (das sind Elemente des [mm] $\IR^{\IN}\,,$ [/mm] also Funktionen [mm] $\IN \to \IR$) [/mm] berechnet.
P.S.
Zeig' mal bitte, wie Du die Dreiecksungleichung bewiesen hast. Ich hab's bisher nicht überlegt, aber es kann gut sein, dass man da auch Informationen aus diesem Artikel verwenden sollte/kann.
P.P.S.
Aber das ganze ändert nichts daran, dass die Aufgabe so, wie sie da steht, bzgl. der "Abgeschlossenheitsaussage" unvollständig ist - denn ich kann mir nicht vorstellen, dass die Antwort da lauten sollte:
"In einem topologischen Raum [mm] $(T,\tau)$ [/mm] ist [mm] $T\,$ [/mm] wegen [mm] $T,\emptyset \in \tau$ [/mm] in trivialer Weise abgeschlossen: Es gilt nämlich [mm] $T^c=\emptyset \in \tau\,.$"
[/mm]
Dass Secki genau diese Aussage benutzt hat, ist, weil: In einem metrischen Raum sind die Begriffe Abgeschlossenheit, Offenheit etc. genau so definiert, dass man ihn mit der von der Metrik her induzierten Topologie als topologischen Raum auffassen kann. Je nach Vorgehensweise motiviert man ja so gerade die Einführung von topologischen Räumen (was ich persönlich auch für didaktisch die bessere Vorgehensweise halte - weil die Menschen sich halt "Abstände" noch irgendwie vorstellen können, auch ein wenig abstrakter). Andere machen's halt so, dass sie erstmal axiomatisch fordern, was ein topologischer Raum sein soll und dann erst metrische Räume einführen etc. pp.. Ist halt auch so ein bisschen die Frage, wo man anfangen will...
Und noch ein Zusatz: Bei der Metrikeigenschaft hast Du ja auch zu zeigen:
[mm] $$d[(a_n),\,(b_n)]=0 \gdw (a_n)=(b_n)\,.$$
[/mm]
Um das einzusehen, solltest Du benutzt haben: Zwei reellwertige Folgen [mm] $(a_n)\,$ [/mm] und [mm] $(b_n)\,$ [/mm] sind genau dann gleich, wenn [mm] $a_j=b_j$ [/mm] für alle natürlichen [mm] $j\,$ [/mm] gilt.
Kurz: Zwei reellwertige Folgen sind genau dann gleich, wenn alle ihre Folgenglieder übereinstimmen.
(Diese Erkenntniss sollte dann natürlich in der Abstandsberechnung vermittels [mm] $d\,$ [/mm] zum Einsatz kommen!)
Gruß,
Marcel
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Hey Marcel, ich versuch mich auch hier kürzer zu fassen.
Zuerst mal vielen dank für deine antwort!
für die dreiecksungleichung hab ich einfach die von mir selbst aufgestellte hilfsungleichung [mm] \bruch{|x+y|}{\lambda (1+|x+y|)}\leq \bruch{|x|+|y|}{\lambda (1+|x|+|y|)} [/mm] für $ [mm] \lambda [/mm] >0 $ bewiesen und dann muss man nur noch einsetzen un ein bissel umformen.
Ich hab das auch so gemacht, wie wenn die [mm] a_j [/mm] und [mm] b_j [/mm] reelle zahlen wären, was ja auch logisch ist, nur unser tutor hatte was gesagt von folge von folgen, vllt hab ich des aber auch nur im falschen kontext gehört .
Komisch, wir haben topologische räume noch gar nicht gehabt.
Ich haB das ganze jetzt mal mit wolfram|alpha für $ [mm] (a_n) [/mm] $ und $ [mm] (b_n) [/mm] $ mit $ [mm] a_j:=1/j [/mm] $ ($ j [mm] \in \IN [/mm] $) und $ [mm] b_j:=1/j^2 [/mm] $ ($ j [mm] \in \IN\setminus \{0\} [/mm] $) durchgespielt und es kommt etwa 0,045 heraus. Was bedeutet das? Dass, wenn man den abstand von von 2 aufeinanderfolgenden zahlen als 1LE definiert, der aufsummierte abstand je zweier folgeglieder [mm] a_i, b_i\quad [/mm] gleich (etwa) 0,045 LE ist?
Bei dieser Metikeigenschaft $ [mm] d[(a_n),\,(b_n)]=0 \gdw (a_n)=(b_n)\,. [/mm] $ hatt ich das so gemacht wie du das auch hingeschrieben hast.
lg Ana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 So 13.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anabiene,
vielleicht später mehr, momentan nur kurz eines:
> Komisch, wir haben topologische räume noch gar nicht
> gehabt.
das ist nicht verwunderlich - es ging dort darum, was Secki in einem kurzen Satz gesagt hat, kurz auf abstrakter Ebene zu erläutern. Ihr müßt topologische Räume noch nicht behandelt haben, was ich gegeben habe, ist eine kurze Erklärung bzgl. Seckis Aussage.
Wir können uns auch weiterhin nur auf metrische Räume beschränken, und Du kannst dann aber auch mal folgendes selbst beweisen:
Ist [mm] $(X,d)\,$ [/mm] irgendein metrischer Raum, so ist [mm] $X\,$ [/mm] stets abgeschlossen (bzgl. [mm] $d\,$).
[/mm]
Wenn ihr wißt, dass eine Teilmenge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ genau dann [mm] ($d\,$-)abgeschlossen [/mm] ist, wenn 'das Komplement von [mm] $A\,$ [/mm] in [mm] $X\,$' ($d\,$-)offen [/mm] ist, ist das trivial.
Mit Folgen ist das auch trivial:
$A [mm] \subseteq [/mm] X$ heißt ja abgeschlossen, wenn für jede Folge [mm] $(a_n)\,$ [/mm] mit Werten in [mm] $A\,,$ [/mm] die einen Grenzwert $x [mm] \in [/mm] X$ hat, gilt, dass dieser schon $x [mm] \in [/mm] A$ erfüllt.
Zu zeigen ist dann also:
Sind [mm] $a_n \in [/mm] A$ und existiert ein $x [mm] \in [/mm] X$ so, dass [mm] $d(a_n,x) \to [/mm] 0$ ($n [mm] \to \infty$), [/mm] so folgt schon $x [mm] \in A\,.$
[/mm]
Wie sieht das für [mm] $A=X\,$ [/mm] aus?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 15.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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