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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:37 Di 14.05.2013 | | Autor: | piriyaie |
| Aufgabe | Es seien [mm] d_{1} [/mm] und [mm] d_{2} [/mm] Metriken auf X. Zeigen Sie, dass dann auch
a) [mm] d=d_{1}+d_{2}
[/mm]
b) [mm] d=max(d_{1}, [/mm] d{2})
Metriken sind. |
Hallo,
ich stehe mal wieder vor einer Aufgabe wo ich überhaupt keine Ahnung habe.
Also diese Definitionen habe ich verstanden:
1.) d(x, y) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] d(x, y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y
(Umgangssprachilich: "Der Abstand von mir zuhause bis zur Uni ist größer gleich Null und Null wäre es genau dann wenn und nur dann wenn mein zuhause die Uni wäre.")
2.) d(x, y) = d(y, x)
(Umgangssprachlich: "Der Abstand von mir zuhause ist genauso groß wie der Abstand von der Uni zu mir nachhause.")
3.) d(x, y) [mm] \le [/mm] d(x, z) + d(z, y)
(Umgangssprachlich: "Ich kann nicht abkürzen indem ich einen Umweg gehe. Wenn ich von mir zuhause losgehe und zur Uni will aber auf dem weg bei mc donalds noch essen möchte, dann muss ich einen umweggehen und dieser weg ist länger als der direkte weg. das gleichheitszeichen gilt genau dann wenn mc donalds auf dem weg zur Uni wäre.")
Wie gehts jetzt aber weiter? Wie kann ich obige Aufgabe mit meinem Wissen lösen?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Di 14.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu a) [mm] d=d_1+d_2
[/mm]
1) Dass [mm] d(x,y)\ge [/mm] 0 ist, sollte klar sein.
Wenn d(x,y)=0 ist, so ist [mm] d_1(x,y)=0. [/mm] Ist Dir das klar ?
2) d(x, y) = d(y, x) sollt auch klar sein, weil [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] diese Eigenschaft haben.
3 ) auch d(x, y) $ [mm] \le [/mm] $ d(x, z) + d(z, y) kannst Du sofort nachrechnen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 14.05.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hi Fred,
habe es mir jetzt so gedacht:
[mm] d_{1}:=d(x, [/mm] z) [mm] \wedge d_{2}:=(z, [/mm] y)
zu 1.) [mm] d_{1}(x, [/mm] z) + [mm] d_{2}(z, [/mm] y) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \wedge d_{1}(x, z)+d_{2}(z, [/mm] y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=z=y
zu 2.) [mm] d_{1}(x, [/mm] z) + [mm] d_{2}(z, [/mm] y) = [mm] d_{1}(z, [/mm] x) + [mm] d_{2}(y, [/mm] z)
zu 3.) [mm] d_{1}(x, [/mm] z) + [mm] d_{2}(z,y) \le d_{1}(x, [/mm] c) + [mm] d_{3}(c, [/mm] z) + [mm] d_{2}(z, [/mm] y)
richtig?
Danke schonmal.
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Di 14.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Fred,
>
> habe es mir jetzt so gedacht:
>
> [mm]d_{1}:=d(x,[/mm] z) [mm]\wedge d_{2}:=(z,[/mm] y)
>
> zu 1.) [mm]d_{1}(x,[/mm] z) + [mm]d_{2}(z,[/mm] y) [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\wedge d_{1}(x, z)+d_{2}(z,[/mm]
> y)=0 [mm]\gdw[/mm] x=z=y
>
> zu 2.) [mm]d_{1}(x,[/mm] z) + [mm]d_{2}(z,[/mm] y) = [mm]d_{1}(z,[/mm] x) + [mm]d_{2}(y,[/mm]
> z)
>
> zu 3.) [mm]d_{1}(x,[/mm] z) + [mm]d_{2}(z,y) \le d_{1}(x,[/mm] c) + [mm]d_{3}(c,[/mm]
> z) + [mm]d_{2}(z,[/mm] y)
>
>
> richtig?
was denkst Du Dir da überhaupt (mal nebenbei zu Deinen
umgangssprachlichen Beschreibungen: Es gibt i.a. mehr Orte als nur die
Uni, Dein Zuhause und den McDonalds  - auch, wenn Du natürlich für
eine Menge [mm] $X\,$ [/mm] meinetwegen gewisse Elemente mit diesen Orten
identifizieren kannst ).
Zur Dreiecksungleichung:
Seien $x,y,z [mm] \in X\,.$ [/mm]
[mm] $\red{\;(\*)\;}$ [/mm] Zu zeigen ist: $d(x,z) [mm] \le d(x,y)+d(y,z)\,.$
[/mm]
Wissen:
WEIL [mm] $d_1$ [/mm] Metrik auf [mm] $X\,$ [/mm] ist, folgt
a) [mm] $d_1(x,z) \le d_1(x,y)+d_1(y,z)\,.$
[/mm]
WEIL [mm] $d_2$ [/mm] Metrik auf [mm] $X\,$ [/mm] ist, folgt
b) [mm] $d_2(x,z) \le d_2(x,y)+d_2(y,z)\,.$
[/mm]
Addiere a) und b), und Du wirst [mm] $\red{\;(\*)\;}$ [/mm] erhalten, indem Du [mm] $d=d_1+d_2$ [/mm] benutzt!
So, und jetzt schreibe das alles nochmal richtig auf. Und mir ist's lieber,
wenn Du schreibst:
1. Zur Definitheit: Wegen [mm] $d_1 \ge [/mm] 0$ und [mm] $d_2 \ge [/mm] 0$ ist mit [mm] $d=d_1+d_2$ [/mm] dann $d [mm] \ge [/mm] 0$ klar.
Es bleibt noch zu zeigen: Aus $d(x,y)=0$ folgt auch [mm] $x=y\,$ [/mm] (für $x,y [mm] \in [/mm] X$).
Gelte also [mm] $d(x,y)=0\,.$ [/mm] ... (Und jetzt sagte Fred: Begründe, dass nur [mm] $d_1(x,y)=0\,$ [/mm]
gelten kann - dann benutze Dein Wissen über [mm] $d_1$!)
[/mm]
Und okay: Meinetwegen auch nochmal das, was Fred zur Symmetrie sagte,
etwas genauer:
Zu zeigen ist, dass für (alle) $x,y [mm] \in [/mm] X$
$$d(x,y)=d(y,x)$$
gilt.
Zu zeigen ist also
[mm] $$d_1(x,y)+d_2(x,y)=d_1(y,x)+d_2(y,x)\,.$$
[/mm]
Weil [mm] $d_1,d_2$ [/mm] Metriken auf [mm] $X\,$ [/mm] sind, gilt aber insbesondere
a') [mm] $d_1(x,y)=d_1(y,x)$
[/mm]
und
b') [mm] $d_2(x,y)=d_2(y,x)$
[/mm]
Addiere nun a') und b')...
Gruß,
Marcel
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