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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Di 26.06.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $l_2: [/mm] = [mm] \{x=(x_n): \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2<\infty\} [/mm] $ die Menge aller reellen Folgen mit bestimmter Eigenschaft. Dann definiert $d(x,y) = [mm] \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(x_i -y_i)^2 }$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $l_2,$ [/mm] bezüglich der [mm] $l_2$ [/mm] vollständig ist. Ist [mm] $l_2$ [/mm] seperabel? |
Erste Frage: Der erste Teil der Angabe ist ja eine reine Aussage; ist diese zu beweisen? Es steht nicht, dass hier irgendetwas zu tun ist.
Ich habe zu dieser Aufgabe leider keine Ansatzidee, ich hoffe, dass ich nicht gegen die Forenregel verstoße.
Könnte mir jemand einen Tipp geben, es wäre jedenfalls eine große Hilfe. Ich wüßte nämlich nicht, wie ich zeigen soll, dass bezügl. oben angegebener Metrik jede Cauchyfolge in $l_$ auch ihren Grenzwert in [mm] $l_2$ [/mm] hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Di 26.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]l_2: = \{x=(x_n): \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2<\infty\} [/mm]
> die Menge aller reellen Folgen mit bestimmter Eigenschaft.
> Dann definiert [mm]d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{\infty}(x_i -y_i)^2 }[/mm]
> eine Metrik auf [mm]l_2,[/mm] bezüglich der [mm]l_2[/mm] vollständig ist.
> Ist [mm]l_2[/mm] seperabel?
>
> Erste Frage: Der erste Teil der Angabe ist ja eine reine
> Aussage; ist diese zu beweisen? Es steht nicht, dass hier
> irgendetwas zu tun ist.
So wie das formuliert ist darfst du das als Fakt verwenden und musst es nicht beweisen.
> Ich habe zu dieser Aufgabe leider keine Ansatzidee, ich
> hoffe, dass ich nicht gegen die Forenregel verstoße.
>
> Könnte mir jemand einen Tipp geben, es wäre jedenfalls
> eine große Hilfe. Ich wüßte nämlich nicht, wie ich
> zeigen soll, dass bezügl. oben angegebener Metrik jede
> Cauchyfolge in [mm]l_[/mm] auch ihren Grenzwert in [mm]l_2[/mm] hat.
Das brauchst du nicht.
Du musst zeigen, dass der Raum separabel ist. Dazu musst du eine abzaehlbare Teilmenge finden, die dicht in dem Raum liegt.
Zeige doch zuerst, dass die Menge der abbrechenden Folgen (sprich ab einem von der Folge abhaengenden Index ist die Folge konstant 0) dicht in [mm] $\ell_2$ [/mm] liegt. Dann finde eine abzaehlbare dichte Teilmenge dieser Menge (Tipp: [mm] $\IQ^n$ [/mm] ist abzaehlbar und dicht in [mm] $\IR^n$; [/mm] das musst du hier verwenden).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Di 26.06.2012 | | Autor: | clemenum |
Erstmal danke für deine Antwort!
Du meinst, ich soll also zeigen, dass in jeder Umgebung von Elementen aus [mm] $l_2$ [/mm] ein Element der Menge der abbrechenden Folgen liegt (also, dass jede Umgebung von einem Element aus [mm] $l_2$ [/mm] auch die $0$ enthält).
Also meinst du, sehe ich mir mal den Abstand an in [mm] $l_2$ [/mm] von $x$ zu $0:$
$d(x,0) = [mm] \sqrt{\sum{(x_i) ^2} } [/mm] .$ Der Inhalt der Wurzel ist laut Vor. kleiner unendlich und damit erst recht die Wurzel an sich. Also ist der Abstand von einem bel. Element aus [mm] l_2 [/mm] zu 0 immer endlich. Da jede konvergente Cauchyfolge ihren Grenzwert wieder in [mm] $l_2$ [/mm] hat, muss damit auch 0 wieder in [mm] $l_2$ [/mm] liegen.
Ich weiß nicht ob man das so sagen kann bzw. ob ich nicht irgendwo einen schweren Denkfehler versteckt habe. Kann mir da wer weiterhelfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal danke für deine Antwort!
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> Du meinst, ich soll also zeigen, dass in jeder Umgebung von
> Elementen aus [mm]l_2[/mm] ein Element der Menge der abbrechenden
> Folgen liegt
Ja
(also, dass jede Umgebung von einem Element
> aus [mm]l_2[/mm] auch die [mm]0[/mm] enthält).
Nein. das ist was anderes.
> Also meinst du, sehe ich mir mal den Abstand an in [mm]l_2[/mm] von
> [mm]x[/mm] zu [mm]0:[/mm]
Das meinte Felix nicht.
> [mm]d(x,0) = \sqrt{\sum{(x_i) ^2} } .[/mm] Der Inhalt der Wurzel ist
> laut Vor. kleiner unendlich und damit erst recht die Wurzel
> an sich. Also ist der Abstand von einem bel. Element aus
> [mm]l_2[/mm] zu 0 immer endlich. Da jede konvergente Cauchyfolge
> ihren Grenzwert wieder in [mm]l_2[/mm] hat, muss damit auch 0 wieder
> in [mm]l_2[/mm] liegen.
Was soll das ? Hast Du überhaupt verstanden, was der Raum [mm] l_2 [/mm] ist ?
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> Ich weiß nicht ob man das so sagen kann bzw. ob ich nicht
> irgendwo einen schweren Denkfehler versteckt habe. Kann mir
> da wer weiterhelfen?
Wir nennen ein Element [mm] x=(x_n) [/mm] abbrechend, wenn es ein N =N(x) [mm] \in \IN [/mm] gibt mit:
[mm] x_m=0 [/mm] für alle m [mm] \ge [/mm] N.
Weiter sei
U:={ x [mm] \in l_2: [/mm] x ist abbrechend }
Zeige zunächst, dass U dicht liegt in [mm] l_2.
[/mm]
FRED
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