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Forum "Uni-Analysis" - Metrik (Sin)
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Metrik (Sin): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 Sa 22.04.2006
Autor: Mike67379

Aufgabe
Man soll zeigen, dass für a,b [mm] \in \IC^{n}; [/mm] d(a,b) =  | sin [mm] \alpha [/mm]  |,  [mm] \alpha \in [0,\pi] [/mm] eine Metrik ist.

Dafür benötigt man cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \frac {a^{H}b}{\sqrt{(a^{H}a)(b^{H}b)}} [/mm] und sin [mm] \alpha [/mm] = [mm] \sqrt{1-cos^{2}\alpha}. [/mm]

Um festzustellen ob es sich um eine Metrik handelt, muss man die Definitheit, Symmetrie und Dreiecksungleichung zeigen.


Definitheit und Symmetrie sind kein Problem, aber bei der Dreiecksungleichung komme ich nicht weiter.
Kann mir vielleicht jemand einen Tipp geben, wie man zu einer Lösung kommt.

Danke!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Metrik (Sin): Geometrischer Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:45 Sa 22.04.2006
Autor: self

Hast du schon versucht dir die Sache geometrisch klar zu machen?

Die Definition von [m] cos ( \alpha ) [/m] entspricht ja genau der Definition des Winkels der Ortsvektoren a und b untereinander. Bzgl des Cosinus ist es irgendwie klar, dass der Winkel zwischen a und c höchstens so groß ist wie der zwischen a und b plus den zwischen b und c. Dann musst du nur noch überlegen, was die Umformung in den Sinus bewirkt.

Ist nur 'n Ansatz, aber vielleicht bringt dich das ja weiter.

Grüße, Alex


Bezug
                
Bezug
Metrik (Sin): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:39 Sa 22.04.2006
Autor: Mike67379

Danke für die Hilfe!
Hab mir das geometrisch überlegt und Additionstheoreme angewendet und schon war ich dort!

Michael


Bezug
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