Metrik beschränkte Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 So 22.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Sei M die Menge aller beschränkten Folgen reeller Zahlen.
a) Sei [mm] d(x,y):=sup\{|x_{n}-y_{n}|:n \in \IN\}, [/mm] wobei [mm] x=(x_{n})_{n=1}^{\infty} [/mm] und [mm] y=(y_{n})_{n=1}^{\infty} [/mm] zwei beliebige Elemente aus M sind. Man zeige, dass d eine Metrik auf M ist. |
Hallo zusammen^^
Ich hatte hier Schwierigkeiten mit der Dreiecksungleichung, der Rest müsste stimmen.
1. d(x,y) [mm] \ge [/mm] 0 gilt immer, da der Betrag immer ge 0 ist.
2. d(x,y)=d(y,x), da [mm] |x_{n}-y_{n}|=|y_{n}-x_{n}|
[/mm]
3. d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y: [mm] sup\{|x_{n}-y_{n}|\}=0 \gdw |x_{n}-y_{n}|=0 \gdw x_{n}-y_{n}=0 \gdw x_{n}=y_{n}.
[/mm]
4. zz:d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y), also [mm] sup\{|x_{n}-y_{n}|\} \le sup\{|x_{n}-z_{n}|\}+sup\{|z_{n}-y_{n}|\}.
[/mm]
Bei der Dreiecksungleichung weiß ich nicht wie ich die zeigen kann.
Stimmt der Rest so?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 So 22.05.2011 | | Autor: | fred97 |
[mm] $|x_n-y_n|=|x_n-z_n-y_n+z_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 So 22.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Ist die abgeschlossene Einheitskugel
[mm] \overline{K(0,1)}=\{x \in M:d(x,0) \le 1\}, [/mm] (wobei0 [mm] \in [/mm] M die Folge [mm] x_{n}_{n=1}^{\infty} [/mm] mit [mm] x_{n}=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist) in (M,d) kompakt? |
> [mm]|x_n-y_n|=|x_n-z_n-y_n+z_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|[/mm]
>
Achso, ok alles klar.Danke.
Bei der b) habe ich mir folgendes überlegt:
Nach Definition ist die Kugel kompakt, falls jede Folge in K(0,1) eine konvergente Teilfolge besitzt,deren Grenzwert wieder in K(0,1) liegt.
Nach Bolzano Weierstraß enthält nun jede Folge aus K(0,1) eine konvergente Teilfolge, sei diese [mm] \{x_{n}_{k}\}.
[/mm]
Zu überprüfen ist also, ob der Grenzwert dieser Folge auch in K(0,1) liegt.
Zunächst ist [mm] d(x,0)=sup\{|x_{n}-0|\}=sup\{|x_{n}|\} \le [/mm] 1.
Das heißt der Grenzwert von [mm] \{x_{n}_{k}\} [/mm] müsste kleiner als 1 sein, falls K(0,1) ein kompakter Raum wäre.
Jetzt wissen wir,dass K(0,1) abgeschlossen ist. Daher liegt der Grenzwert von [mm] \{x_{n}_{k}\} [/mm] wieder in K(0,1) ( wobei K(0,1) Folgen als Elemente enthält, der Grenzwert von [mm] \{x_{n}_{k}\} [/mm] ist dann ein Folgenglied) und K(0,1) ist kompakt.
Stimmt das so oder wenigstens der Anfang?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 So 22.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist die abgeschlossene Einheitskugel
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> [mm]\overline{K(0,1)}=\{x \in M:d(x,0) \le 1\},[/mm] (wobei0 [mm]\in[/mm] M
> die Folge [mm]x_{n}_{n=1}^{\infty}[/mm] mit [mm]x_{n}=0[/mm] für alle n [mm]\in \IN[/mm]
> ist) in (M,d) kompakt?
>
>
> > [mm]|x_n-y_n|=|x_n-z_n-y_n+z_n| \le |x_n-z_n|+|z_n-y_n|[/mm]
> >
>
> Achso, ok alles klar.Danke.
>
> Bei der b) habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Nach Definition ist die Kugel kompakt, falls jede Folge in
> K(0,1) eine konvergente Teilfolge besitzt,deren Grenzwert
> wieder in K(0,1) liegt.
>
> Nach Bolzano Weierstraß
Liebe Mandy,
wie oft soll ich Dir noch sagen, dass in unendlich dimensionale normierten Räumen der Satz von Bolzano -Weierstraß nicht gilt !
$ [mm] \overline{K(0,1)}=\{x \in M:d(x,0) \le 1\}, [/mm] $ ist nicht kompakt, dazu betrachte mal die Folge [mm] (x_n), [/mm] wobei
[mm] x_n=(0,...,0,1,0,.....) [/mm] (die 1 an der n-ten Stelle, sonst nur Nullen)
FRED
> enthält nun jede Folge aus K(0,1)
> eine konvergente Teilfolge, sei diese [mm]\{x_{n}_{k}\}.[/mm]
>
> Zu überprüfen ist also, ob der Grenzwert dieser Folge
> auch in K(0,1) liegt.
>
> Zunächst ist [mm]d(x,0)=sup\{|x_{n}-0|\}=sup\{|x_{n}|\} \le[/mm]
> 1.
>
> Das heißt der Grenzwert von [mm]\{x_{n}_{k}\}[/mm] müsste kleiner
> als 1 sein, falls K(0,1) ein kompakter Raum wäre.
> Jetzt wissen wir,dass K(0,1) abgeschlossen ist. Daher
> liegt der Grenzwert von [mm]\{x_{n}_{k}\}[/mm] wieder in K(0,1) (
> wobei K(0,1) Folgen als Elemente enthält, der Grenzwert
> von [mm]\{x_{n}_{k}\}[/mm] ist dann ein Folgenglied) und K(0,1) ist
> kompakt.
> Stimmt das so oder wenigstens der Anfang?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 22.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Liebe Mandy,
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> wie oft soll ich Dir noch sagen, dass in unendlich
> dimensionale normierten Räumen der Satz von Bolzano
> -Weierstraß nicht gilt !
Ok, bevor ich mir das genauer anschaue was du unten geschrieben hast, hier mal unsere Definition vom Satz von B.Weierstraß:
"Jede beschränkte unendliche Folge reeller Zahlen enthält eine unendlich konvergente Teilfolge".
In der Aufgabe steht: Sei M die Menge aller beschränkten Folgen reeller Zahlen und [mm] (x_{n})_{n=1}^{\infty}, [/mm] d.h. [mm] x_{n} [/mm] ist eine unendliche Folge.
Ich verstehe jetzt nicht ganz, wieso ich diesen Satz hier nicht anwenden darf, denn da steht nichts von irgendwelchen Räumen. Aus welchem Teil der Definition folgt, dass ich den Satz hier nicht anwenden darf?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 22.05.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier nach, dort steht die Begründung, warum der Satz v. Bolzano Weirstrass bei deinem Fall nicht anwenden kann.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 So 22.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
>
>
> [mm]\overline{K(0,1)}=\{x \in M:d(x,0) \le 1\},[/mm] ist nicht
> kompakt, dazu betrachte mal die Folge [mm](x_n),[/mm] wobei
>
> [mm]x_n=(0,...,0,1,0,.....)[/mm] (die 1 an der n-ten Stelle,
> sonst nur Nullen)
Ok. Diese Folge liegt in K(0,1), aber sie hat keine Teilfolge die konvergiert.
Beweisen würde ich das so: Gegen 1 kann die Folge nicht konvergieren. Gegen 0 konvergiert sie, falls für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert derart, dass [mm] d(x_{n},0) [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] aber für [mm] \varepsilon [/mm] >1 existiert kein solches N. Das heißt die Folge konvergiert nicht.
Dann kann sie aber auch keine Teilfolge haben die konvergiert.
Kann man das so machen?
Vielen Dank
lg
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Moin Mandy,
> >
> > [mm]\overline{K(0,1)}=\{x \in M:d(x,0) \le 1\},[/mm] ist nicht
> > kompakt, dazu betrachte mal die Folge [mm](x_n),[/mm] wobei
> >
> > [mm]x_n=(0,...,0,1,0,.....)[/mm] (die 1 an der n-ten Stelle,
> > sonst nur Nullen)
>
> Ok. Diese Folge liegt in K(0,1), aber sie hat keine
> Teilfolge die konvergiert.
> Beweisen würde ich das so: Gegen 1 kann die Folge nicht
> konvergieren. Gegen 0 konvergiert sie, falls für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert derart, dass
> [mm]d(x_{n},0)[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm] aber für [mm]\varepsilon[/mm] >1
> existiert kein solches N. Das heißt die Folge konvergiert
> nicht.
> Dann kann sie aber auch keine Teilfolge haben die konvergiert.
Ich sehe hier leider nirgends ein entscheidendes Argument dafür, dass die Folge keine konvergente Teilfolge besitzt.
Die Implikation
[mm] x_n [/mm] konvergiert nicht [mm] \Rightarrow x_n [/mm] hat keine konvergente Teilfolge
ist außerdem falsch.
>
> Kann man das so machen?
Aber man kann es so machen:
Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge [mm] x_{n_k},k\in\IN. [/mm] Offenbar gilt für zwei beliebige Folgenglieder x, y von [mm] (x_n), [/mm] dass d(x,y)=1.
Für Konvergenz der Teilfolge ist aber notwendig, dass die Teilfolge eine Cauchyfolge ist, d.h. für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es [mm] N\in\IN [/mm] mit [mm] d(x_{n_k}, x_{n_j})<\varepsilon [/mm] für [mm] k,j\geq [/mm] N.
Wir haben aber gerade gesehen, dass sich für alle [mm] \varepsilon<1 [/mm] kein solches N finden lässt: Widerspruch.
>
> Vielen Dank
> lg
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 23.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti,
> > Dann kann sie aber auch keine Teilfolge haben die
> konvergiert.
> Ich sehe hier leider nirgends ein entscheidendes Argument
> dafür, dass die Folge keine konvergente Teilfolge
> besitzt.
> Die Implikation
>
> [mm]x_n[/mm] konvergiert nicht [mm]\Rightarrow x_n[/mm] hat keine konvergente
> Teilfolge
>
> ist außerdem falsch.
Schade.
> >
> > Kann man das so machen?
> Aber man kann es so machen:
>
> Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> [mm]x_{n_k},k\in\IN.[/mm] Offenbar gilt für zwei beliebige
> Folgenglieder x, y von [mm](x_n),[/mm] dass d(x,y)=1.
aber doch nur für zwei Folgengleider,die nicht gleich sind, richtig?
> Für Konvergenz der Teilfolge ist aber notwendig, dass die
> Teilfolge eine Cauchyfolge ist, d.h. für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm]d(x_{n_k}, x_{n_j})<\varepsilon[/mm]
> für [mm]k,j\geq[/mm] N.
> Wir haben aber gerade gesehen, dass sich für alle
> [mm]\varepsilon<1[/mm] kein solches N finden lässt: Widerspruch.
Ok.Alles klar. Das leuchtet ein.
Vielen lieben Dank.
lg
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> > Aber man kann es so machen:
> >
> > Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> > [mm]x_{n_k},k\in\IN.[/mm] Offenbar gilt für zwei beliebige
> > Folgenglieder x, y von [mm](x_n),[/mm] dass d(x,y)=1.
>
> aber doch nur für zwei Folgengleider,die nicht gleich
> sind, richtig?
Ja, das kann/sollte man der Exaktheit wegen noch dazu sagen.
LG
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| Aufgabe | c) Man beweise, dass (M,d) vollständig ist.
Hinweis: Man zeige zuerst, dass falls [mm] x^{k}=(x_{n}^{k})_{n=1}^{\infty}, [/mm] k=1,2,3,...eine Cauchy-Folge von Elementen aus M ist, für jedes fixierte [mm] n_{0} [/mm] auch [mm] x_{n_{0}}^{1}, x_{n_{0}}^{1}...eine [/mm] Cauchy-Folge reeller Zahlen ist. |
Ok, dann habe ich noch die c) versucht, aber bin hier leider nicht sonderlich weit gekommen.
Zu zeigen ist, dass jede Cauchy-Folge in (M,d) konvergiert (Monotonie+Beschränktheit).
Ich weiß,dass [mm] x^{k} [/mm] Cauchy-Folge aus M ist. Das heißt, [mm] x^{k} [/mm] ist beschränkt und konvergiert und besteht aus reellen Zahlen.Außerdem existiert für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN,sodass: d(x_{n},x_{m})< \varepsilon \forall [/mm] n,m > [mm] \IN. [/mm]
[mm] x^{k} [/mm] sieht so aus:
[mm] x_{1}^{k},x_{2}^{k},x_{3}^{k}... [/mm] Und die andere Folge sieht für [mm] k=n_{0} [/mm] so aus: [mm] x_{k}^{1},x_{k}^{2},x_{k}^{3}.
[/mm]
Die Folgen sind an sich ganz verschieden, deswehen weiß ich auch nicht wie ich den Zusammenhang zwischen den beiden herstellen soll.
Was man sofort sieht, ist dass sie ein gmeinsames Folgenglied haben.
Aber ich weiß nicht, wie ich jetzt weitermachen kann.
Kann mir jemand weitehelfen?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 Sa 28.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Mi 25.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo kamaleonti,
ich hab noch eine kurze Frage.
>
> Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> [mm]x_{n_k},k\in\IN.[/mm] Offenbar gilt für zwei beliebige
> Folgenglieder x, y von [mm](x_n),[/mm] dass d(x,y)=1.
Mit welcher Metrik berechnest du denn den Abstand zwischen zwei Folgengliedern? Denn die Metrik d berechnet den Abstand zwischen zwei Folgen [mm] x_{n} [/mm] und [mm] y_{n}, [/mm] welcher dann als [mm] sup\{|x_{n}-y_{n}|\} [/mm] definiert ist. Aber theoretisch kann man ja nicht zwei Folgengleider in d einsetzen oder doch (anscheinend doch), aber wie begründest du das?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy,
> > Angenommen es gäbe eine konvergente Teilfolge
> > [mm]x_{n_k},k\in\IN.[/mm] Offenbar gilt für zwei beliebige
> > Folgenglieder x, y von [mm](x_n),[/mm] dass d(x,y)=1.
>
> Mit welcher Metrik berechnest du denn den Abstand zwischen
> zwei Folgengliedern? Denn die Metrik d berechnet den
> Abstand zwischen zwei Folgen [mm]x_{n}[/mm] und [mm]y_{n},[/mm] welcher dann
> als [mm]sup\{|x_{n}-y_{n}|\}[/mm] definiert ist. Aber theoretisch
> kann man ja nicht zwei Folgengleider in d einsetzen oder
> doch (anscheinend doch), aber wie begründest du das?
Hier ist [mm] (x_n) [/mm] eine Folge von (beschränkten) Folgen.
Fred definierte:
$ [mm] x_n=(0,...,0,1,0,.....) [/mm] $ (die 1 an der n-ten Stelle, sonst nur Nullen)
Damit ist der Abstand d(x,y) von zwei Folgengliedern x,y von [mm] x_n [/mm] definiert (denn Folgenglieder sind ja beschränkte Folgen).
>
> Vielen Dank
> lg
LG
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Do 26.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo nochmal,
> Fred definierte:
>
> [mm]x_n=(0,...,0,1,0,.....)[/mm] (die 1 an der n-ten Stelle,
> sonst nur Nullen)
Streng genommen müsste ich doch zuerst beweisen, dass diese Folge beschränkt ist oder? Auch wenn nicht, würde ich das gerne tun. Die Schranke muss doch so aussehen (0,...,0,1,0,...), ich weiß nur nicht an welcher Stelle dann das n steht, an der n+1 -en vermute ich.
Eine reelle Zahl als Schranke kommt mir hier nicht so sinnvoll vor.
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy  ,
ich werde mich jetzt hier kurz einmischen. Das ganze ist ein bisschen verwirrend aus folgendem Grund.
M war Menge aller beschränkten Folgen. So, die Elemente dieser Menge sind also Folgen. Wenn man jetzt eine Folge aus Elementen dieser Menge bildet, bekommt man eine Folge mit Folgengliedern, die auch Folgen (in [mm] \mathbb{R}) [/mm] sind, also haben auch wieder Folgenglieder :).
Fred definierte nun Folge aus M, bzw. aus der Einheitkugel so: "$ [mm] (x_n), [/mm] $ wobei $ [mm] x_n=(0,...,0,1,0,.....) [/mm] $"
es ist vereinfachte Schreibweise, wenn man es vielleicht ganz ordentlich aufschreiben möchte, dann hätte man Folge
$ [mm] \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ [/mm] in M wobei $ [mm] x_n=\{x_N\}_{N=1}^{\infty} [/mm] $ wieder eine Folge (reellen Zahlen) ist, die so aussieht: [mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \mathbb{N}, [/mm] N [mm] \ne [/mm] n: [mm] x_N=0$ [/mm] und für $N=n: [mm] x_N=1$. [/mm] Diese Folge schreibt Fred also einfacher als unendlichen Vektor (0,...,0,1,0,0,...) mit der Eins an der n-ten Stelle. Es ist eine gute Definition, denn solche Folgen sind dann bestimmt begränzt (in [mm] \mathbb{R}!), [/mm] z.B. mit 1!
Wenn man sich Definition der Folge $ [mm] \{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ [/mm] in M anschaut und die Definition der Metrik in M, diese Folge ist dann beschränkt in M! (auch mit 1) und gehört also in die Einheitskugel der Menge M.
Ich hoffe, dass es dir so vielleicht hilft.
Gruss Strangelet
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Do 26.05.2011 | | Autor: | Mousegg |
Hallo,
ich hoffe ich darf kurz eine Frage zu dieser Antwort stellen mir ist das ganz nämlich noch nihct ganz klar:)
also wir wenn ich das recht verstehe wird ja (0,0,0,...,1,.. als Folge konstanter Folgen aufgefasst wieso ist beispielsweise der Abstand zwischen der ersten Folge und der zweiten gleich 1?
Beide sind doch die Nullfolge und Das supremum des Betrags der Dffferenz aller folgeglieder ist 0 oder ?
Wäre die Folge aller Nullfolgen keine konvergente Teilfolge ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Sa 28.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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