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| Aufgabe | Sei [mm] \IR^{\IN}=\{(\xi_{k})_{k\in\IN}, \xi_{k} \in \IR\} [/mm] der Raum aller (nicht notwendigerweise konvergenten) reellen Folgen versehen mit der Metrik
[mm] d(x,y):=\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\bruch{|\xi_{k}-\eta_{k}|}{1+|\xi_{k}-\eta_{k}|}
[/mm]
wobei [mm] x=(\xi_{k})_{k\in\IN}, y=(\eta_{k})_{k\in\IN}. [/mm] Zeigen Sie, dass diese Reihe konvergiert und eine Metrik auf [mm] \IR^{\IN} [/mm] ist.
Die Elemente [mm] x_{n}=(\xi_{nk})_{k\in\IN} \in \IR^{\IN} (n\in \IN) [/mm] konvergieren genau dann für [mm] n\to \infty [/mm] bezüglich d gegen [mm] x\in \IR^{\IN}, [/mm] wenn alle Komponenten [mm] \xi_{nk}, k\in \IN, [/mm] für [mm] n\to \infty [/mm] in [mm] \IR [/mm] gegen [mm] \xi_{k} [/mm] konvergieren. |
Hallo,
Ich habe vorerst mal eine Frage zum ersten Teil.
Die Konvergenz dieser Reihe ist klar, wenn man sie gegen die konvergente geometrische Reihe (konvergente Majorante) nach oben abschätzt.
Um zu zeigen, dass es sich dabei um eine Metrik handelt, sind die ersten zwei Axiome trivial, aber die Dreicksungleichung weiß ich nicht, wie ich die hinbekommen soll.
Da d(x,y) konvergiert, so ist die Folge im Summenzeichen eine Nullfolge. Das weiß ich. Aber kann ich mit dieser Information etwas anfangen?
Was ich noch weiß, ist dass d(x,y) gegen eine Zahl konvergiert die auf jeden Fall kleiner als 2 sein muss, weil die konvergente Majorante, also die geom. Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^{k} [/mm] gegen zwei konvergiert.
Habe ich da vielleicht richtige Ansätze?
Bitte um Hilfe.
Vielen vielen Dank.
Gruß Walodja1987
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:56 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]\IR^{\IN}=\{(\xi_{k})_{k\in\IN}, \xi_{k} \in \IR\}[/mm] der
> Raum aller (nicht notwendigerweise konvergenten) reellen
> Folgen versehen mit der Metrik
>
> [mm]d(x,y):=\summe_{k=1}^{\infty}2^{-k}\bruch{|\xi_{k}-\eta_{k}|}{1+|\xi_{k}-\eta_{k}|}[/mm]
>
> wobei [mm]x=(\xi_{k})_{k\in\IN}, y=(\eta_{k})_{k\in\IN}.[/mm] Zeigen
> Sie, dass diese Reihe konvergiert und eine Metrik auf
> [mm]\IR^{\IN}[/mm] ist.
> Die Elemente [mm]x_{n}=(\xi_{nk})_{k\in\IN} \in \IR^{\IN} (n\in \IN)[/mm]
> konvergieren genau dann für [mm]n\to \infty[/mm] bezüglich d gegen
> [mm]x\in \IR^{\IN},[/mm] wenn alle Komponenten [mm]\xi_{nk}, k\in \IN,[/mm]
> für [mm]n\to \infty[/mm] in [mm]\IR[/mm] gegen [mm]\xi_{k}[/mm] konvergieren.
> Hallo,
>
> Ich habe vorerst mal eine Frage zum ersten Teil.
> Die Konvergenz dieser Reihe ist klar, wenn man sie gegen
> die konvergente geometrische Reihe (konvergente Majorante)
> nach oben abschätzt.
Genau.
> Um zu zeigen, dass es sich dabei um eine Metrik handelt,
> sind die ersten zwei Axiome trivial, aber die
> Dreicksungleichung weiß ich nicht, wie ich die hinbekommen
> soll.
Zeige doch zuerst, dass $d'(x, y) := [mm] \frac{|x - y|}{1 + |x - y|}$ [/mm] auf [mm] $\IR$ [/mm] eine Metrik ist, also dass die Dreiecksungleichung da gilt.
Dann folgt daraus auch schnell die Dreiecksungleichung fuer die oben beschriebene Metrik.
> Da d(x,y) konvergiert, so ist die Folge im Summenzeichen
> eine Nullfolge. Das weiß ich. Aber kann ich mit dieser
> Information etwas anfangen?
Nein.
LG Felix
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Hi, danke für deine Antwort.
Also ich würde das folgendermaßen machen.
Ich muss Folgendes zeigen:
[mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le\bruch{|x-z|}{1+|x-z|}+\bruch{|z-y|}{1+|z-y|}
[/mm]
Dann würde ich das so machen:
[mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le1
[/mm]
[mm] \bruch{|x-z|}{1+|x-z|}\le1
[/mm]
[mm] \bruch{|z-y|}{1+|z-y|}\le1
[/mm]
Also folgt: [mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le1\le1+1=2
[/mm]
Warum kann ich daraus schließen, dass die ganze Reihe eine Metrik darstellt?
Gruß Walodja1987
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:30 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hi, danke für deine Antwort.
>
> Also ich würde das folgendermaßen machen.
>
> Ich muss Folgendes zeigen:
>
> [mm]\bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le\bruch{|x-z|}{1+|x-z|}+\bruch{|z-y|}{1+|z-y|}[/mm]
>
> Dann würde ich das so machen:
>
> [mm]\bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le1[/mm]
>
> [mm]\bruch{|x-z|}{1+|x-z|}\le1[/mm]
>
> [mm]\bruch{|z-y|}{1+|z-y|}\le1[/mm]
>
> Also folgt: [mm]\bruch{|x-y|}{1+|x-y|}\le1\le1+1=2[/mm]
Das sagt aus: garnix.
Es gilt ja auch [mm] $\sin [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$, [mm] $\sin [/mm] y [mm] \le [/mm] 1$, [mm] $\sin(x [/mm] + y) [mm] \le [/mm] 1$, und somit [mm] $\sin(x [/mm] + y) [mm] \le [/mm] 1 [mm] \le [/mm] 1 + 1 = 2$. Aber daraus folgt noch lange nicht, dass [mm] $\sin(x [/mm] + y) [mm] \le \sin [/mm] x + [mm] \sin [/mm] y$ gilt. (Das gilt naemlich gar nicht, siehe $x = [mm] \pi$ [/mm] und $y = [mm] -\pi/2$: [/mm] dann steht da $1 [mm] \le [/mm] 0 + (-1)$.)
Versuch das doch mal richtig nachzurechnen. Du kannst auch ruhig |x-y|, |x-z| und |z-y| durch drei nicht-negative Zahlen $A$, $B$, $C$ mit $A [mm] \le [/mm] B + C$ ersetzen, um dir etwas Schreibarbeit zu ersparen.
> Warum kann ich daraus schließen, dass die ganze Reihe eine
> Metrik darstellt?
Wenn $a [mm] \le [/mm] b + c$ und $d [mm] \le [/mm] e + f$ gilt so gilt ja auch $a + d [mm] \le [/mm] (b + e) + (c + f)$. Oder? Fuer mehr Summanden geht das genauso.
LG Felix
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