Metrik und Cauchyfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Knuffy |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
bei 3a) soll man ja zeigen dass [mm] $d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}$
[/mm]
die ersten beiden axiome habe ich folgendermaßen bewiesen.
1) $d(x,y)=0 [mm] \gdw [/mm] x=y$
[mm] $d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{d(x,x)}{1+d(x,x)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1+0} [/mm] = 0$
2) $d(x,y)=d(y,x)$
$ [mm] d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{|x-y|}{1+|x-y|} [/mm] = [mm] \bruch{|y-x|}{1+|y-x|} [/mm] = [mm] \bruch{d(y,x)}{1+d(y,x)} [/mm] = [mm] d^{'}(x,y) [/mm] $
die Dreiecksungleichung hab ich nicht hinbekommen.
bei 3b) weiß ich nicht was man beweisen soll.
eine cauchyfolge ist ja folgendermaßen definiert:
[mm] $\forall\varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \forall n,m>n_{0} [/mm] : [mm] |Xn-Xm|<\varepsilon$
[/mm]
aber in der aufgabe ist doch garkeine folge gegeben.
könnte mir jemand ein tip zu der dreiecksungleichung und 3b) geben?
Gruß Knuffy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:27 So 07.01.2007 | | Autor: | Knuffy |
keiner ne idee :/? könnte mir zumindest jemand bestätigen ob ich die 2 axiome richtig bewiesen habe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 So 07.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> 1) [mm]d(x,y)=0 \gdw x=y[/mm]
>
> [mm]d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \bruch{d(x,x)}{1+d(x,x)} = \bruch{0}{1+0} = 0[/mm]
Naja, so eher nicht. [m]d'=0[/m] - und dann mal mit dem Nenner multiplizieren ...
> 2) [mm]d(x,y)=d(y,x)[/mm]
>
> [mm]d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \bruch{|x-y|}{1+|x-y|} = \bruch{|y-x|}{1+|y-x|} = \bruch{d(y,x)}{1+d(y,x)} = d^{'}(x,y)[/mm]
Betragstriche? Wir haben hier b,os eine Metrik!
> die Dreiecksungleichung hab ich nicht hinbekommen.
Schreib sie einfach mal hin, was rauskommen soll - und dann multiplizer mit dem Hauptnenner. Da fällt einiges weg, der Rest ist Dreieck-Ungl. vom ursprünglichen d.
> bei 3b) weiß ich nicht was man beweisen soll.
Eine Folge [m](x_n)[/m] ist eine Cauchyfolge in der einen Metrik, dann auch in der anderen.
>
> eine cauchyfolge ist ja folgendermaßen definiert:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \forall n,m>n_{0} : |Xn-Xm|<\varepsilon[/mm]
Nicht ganz - woher der Betrag? Eher [m]d(x_n,x_m)[/m]. Zeige doch zB [m]d'\le d[/m], kannst du irgendwie [m]d\le c*d'[/m] hinbekommen? Wenn nicht - geht das abhaängig von kleinem Epsilon?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 07.01.2007 | | Autor: | Knuffy |
danke für deine antwort SEcki
axiom 1:
[mm]d(x,y)=0 \gdw x=y[/mm]
[mm] $"\subset"$
[/mm]
[mm] $d^{'}(x,y) [/mm] = [mm] \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] = 0
[mm] $\Rightarrow [/mm] d(x,y) = 0$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x=y$
[mm] $"\supset"$
[/mm]
[mm] $d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \bruch{d(x,x)}{1+d(x,x)} [/mm] $
[mm] $\Rightarrow \bruch{0}{1+0} [/mm] = 0$
ist das so richtig?
> Betragstriche? Wir haben hier bloß eine Metrik!
ich bin fälschlicherweise davon ausgegangen dass wir uns im [mm] $\IR^{1}$ [/mm] befinden.
axiom 2:
[mm] $\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} [/mm] = [mm] \bruch{d(y,x)}{1+d(y,x)}$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] d(x,y) + d(x,y)d(y,x) = d(y,x) + d(y,x)d(x,y)$
[mm] $\gdw [/mm] d(x,y) + d(x,y)d(y,x) = d(y,x) + d(x,y)d(y,x)$
[mm] $\gdw [/mm] d(x,y) = d(y,x)$
richtig?
> Schreib sie einfach mal hin, was rauskommen soll - und dann
> multiplizier mit dem Hauptnenner. Da fällt einiges weg, der
> Rest ist Dreieck-Ungl. vom ursprünglichen d.
$d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z)+d(z,y)$
herauskommen müsste also folgendes:
[mm] $\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} [/mm] + [mm] \bruch{d(z,y)}{1+d(z,y)}$
[/mm]
$ [mm] \gdw [/mm] d((x,y)) (1+d(x,z)) (1+d(z,y)) [mm] \le [/mm] d((x,z)) (1+d(x,y)) (1+d(z,y)) + d((z,y)) (1+d(x,y)) (1+d(x,z))$
[mm] $\gdw [/mm] d(x,y) [mm] \le [/mm] d(x,z) + d(z,y) + 2d(x,z)d(z,y)$
weiter weiß ich leider nicht. könntest du mir noch einen tip geben?
> Zeige doch
> zB [m]d'\le d[/m], kannst du irgendwie [m]d\le c*d'[/m] hinbekommen? Wenn
> nicht - geht das abhaängig von kleinem Epsilon?
>
> SEcki
versteh ich ehrlich gesagt nicht. :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 07.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> [mm]"\subset"[/mm]
Äh, was? Du meinst von rechts nach links ... naja, das ist eher simpel, also bitte mit Äquivalenz durchmachen.
> [mm]$d^{'}(x,y)[/mm] = [mm]\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow d(x,y) = 0[/mm]
> [mm]\Rightarrow x=y[/mm]
>
> [mm]"\supset"[/mm]
> [mm]d^{'}(x,y)= \bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{d(x,x)}{1+d(x,x)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{0}{1+0} = 0[/mm]
>
> ist das so richtig?
Die Rückrichtung versteh ich nicht ...
> axiom 2:
>
> [mm]\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} = \bruch{d(y,x)}{1+d(y,x)}[/mm]
>
> [mm]\gdw d(x,y) + d(x,y)d(y,x) = d(y,x) + d(y,x)d(x,y)[/mm]
>
> [mm]\gdw d(x,y) + d(x,y)d(y,x) = d(y,x) + d(x,y)d(y,x)[/mm]
>
> [mm]\gdw d(x,y) = d(y,x)[/mm]
>
> richtig?
schon aber sehr umständlich ...
> [mm]d(x,y) \le d(x,z)+d(z,y)[/mm]
>
> herauskommen müsste also folgendes:
>
> [mm]\bruch{d(x,y)}{1+d(x,y)} \le \bruch{d(x,z)}{1+d(x,z)} + \bruch{d(z,y)}{1+d(z,y)}[/mm]
>
> [mm]\gdw d((x,y)) (1+d(x,z)) (1+d(z,y)) \le d((x,z)) (1+d(x,y)) (1+d(z,y)) + d((z,y)) (1+d(x,y)) (1+d(x,z))[/mm]
>
> [mm]\gdw d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) + 2d(x,z)d(z,y)[/mm]
Also den letzten Schritt hab ich jetzt nich nachgerechnet - aber wenn das stimmt, steht es ja schon da, da die Dreicksungleichung für d erfüllt ist ...
> weiter weiß ich leider nicht. könntest du mir noch einen
> tip geben?
Ich sehe dein Problem nicht.
> > Zeige doch
> > zB [m]d'\le d[/m], kannst du irgendwie [m]d\le c*d'[/m] hinbekommen? Wenn
> > nicht - geht das abhaängig von kleinem Epsilon?
> versteh ich ehrlich gesagt nicht. :/
Also zB wenn [m]d'\le d[/m], ist doch sofort jede Cauchyfolge bzgl. d eine bzgl. [m]d'[/m], siehst du das? Wenn du jetzt eine Cauchyfolge bzgl. [m]d'[/m] gegeben hast, dann musst du zeigen das dies auch für d eine ist. Also - wenn jetzt [m]d'(x,y)\le \epsilon [/m], dann löse das mal nach d auf - was kann man jetzt für kleines Epsilon sagen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 So 07.01.2007 | | Autor: | Knuffy |
> > [mm]\gdw d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y) + 2d(x,z)d(z,y)[/mm]
>
> Also den letzten Schritt hab ich jetzt nich nachgerechnet -
> aber wenn das stimmt, steht es ja schon da, da die
> Dreicksungleichung für d erfüllt ist ...
ja stimmt ich dachte man müsste noch ein paar worte zu $2d(x,z)d(z,y)$ verlieren.
es ist ja klar dass $2d(x,z)d(z,y)$ positiv ist und somit das [mm] $\le$ [/mm] stimmt.
> Also zB wenn [m]d'\le d[/m], ist doch sofort jede Cauchyfolge
> bzgl. d eine bzgl. [m]d'[/m], siehst du das?
ja, sehe ich
> Wenn du jetzt eine
> Cauchyfolge bzgl. [m]d'[/m] gegeben hast, dann musst du zeigen das
> dies auch für d eine ist. Also - wenn jetzt [m]d'(x,y)\le \epsilon [/m],
> dann löse das mal nach d auf - was kann man jetzt für
> kleines Epsilon sagen?
>
> SEcki
$d'(x,y) [mm] \le \varepsilon$
[/mm]
nach weiteren umformen kommt folgendes heraus:
$d(x,y) [mm] \le \bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}$
[/mm]
[mm] $\varepsilon'= \bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}$
[/mm]
also insgesamt:
$ [mm] \forall\varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \forall n,m>n_{0} [/mm] : [mm] d'(x,y)
ist das so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Mo 08.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> [mm]d'(x,y) \le \varepsilon[/mm]
>
> nach weiteren umformen kommt folgendes heraus:
>
> [mm]d(x,y) \le \bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}[/mm]
>
> [mm]\varepsilon'= \bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}[/mm]
Was bringt die letzte Zeile? Du willst doch zeigen, dass wenn die Folge bzgl. [m]d'[/m] eine Cauchyfolge ist, sie bzgl. d auch eine ist. Also wenn ich dir ein [m]\varepsilon '[/m] vorgebe, am besten mal OBdA kleiner als [m]\bruch{1}{2}[/m], dann finde ich wie ein [m]\varepsilon[/m], so dass die Cauchyfolgenbedingung für d erfüllt ist? Dazu musst du doch blos [m] \bruch{\varepsilon}{1-\varepsilon}\le \varepsilon '[/m] lösen.
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists n_{0}\in\IN \forall n,m>n_{0} : d'(x,y)
Das glaub ich nicht.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Mi 10.01.2007 | | Autor: | Knuffy |
Danke für deine hilfe SEcki.
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