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Metrischer Raum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 06.01.2008
Autor: hundert

Aufgabe
Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei [mm] J=\{U \subset M \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0: B_(\varepsilon) (x) \subset U \} \subset [/mm] P(M)  die Menge der offenen Teilmengen von M.
  Zeigen sie (a)  leere Menge und M  [mm] \epsilon [/mm] J
(b) Für [mm] U_1 ,...,U_k \epsilon [/mm] J ist auch [mm] U_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap U_k \epsilon [/mm] J
(c) Sei K [mm] \subset [/mm] J , dann ist auch [mm] \bigcup [/mm] K  [mm] \epslion [/mm]  J [mm] [\latex] [/mm]

ich kann leider mit dieser Aufgabe nichts anfangen.  hab mir folgendes überlegt, da ja die menge  J teilmenge der potzenmenge  von m ist ist ja die leere menge auf jeden fall in J enthalten, da die leere Menge Teilmenge aller Mengen ist. und da da M enthalten ist in der Menge J also U teilmenge M ist ja  M schon automatisch element J hab ich das soweit richtig verstanden.? zu (b)  [mm] U_1 [/mm] bis [mm] U_k [/mm] sind elemente Von J, dann sollen auch die vereinigungen von [mm] U_1 [/mm] bis [mm] U_k [/mm] in J enthalten sein,.. wie könnt ich mathematisch an diesen teil rangehn?


vielen dank schonmal im vorraus für die hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Metrischer Raum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 So 06.01.2008
Autor: rainerS

Hallo!

[willkommenmr]

> Sei (M,d) ein metrischer Raum und sei [mm]J=\{U \subset M \mid \forall x \in U \exists \varepsilon > 0: B_{(\varepsilon)} (x) \subset U \} \subset P(M) [/mm] die Menge der offenen Teilmengen von M.
> Zeigen sie (a)  leere Menge und M  [mm]\epsilon[/mm] J
> (b) Für [mm]U_1 ,...,U_k \epsilon[/mm] J ist auch [mm]U_1 \cap\dots\cap U_k \epsilon J[/mm]
>  (c) Sei K [mm]\subset[/mm] J , dann ist auch [mm]\bigcup[/mm] K  [mm]\epsilon[/mm]  J

>

>  ich kann leider mit dieser Aufgabe nichts anfangen.  hab
> mir folgendes überlegt, da ja die menge  J teilmenge der
> potzenmenge  von m ist ist ja die leere menge auf jeden
> fall in J enthalten, da die leere Menge Teilmenge aller
> Mengen ist. und da da M enthalten ist in der Menge J also U
> teilmenge M ist ja  M schon automatisch element J hab ich
> das soweit richtig verstanden.?

Nein, ich glaube, da hast du die beiden Aussagen [mm]\emptyset\subset J[/mm] und [mm]\emptyset\in J[/mm] verwechselt.
Natürlich ist die leere Menge ein Element der Potenzmenge, aber du kannst schon eine Teilmenge der Potenzmenge haben, die die leere Menge nicht enthält.

Nimm dir die Definition her: eine Teilmenge [mm]U \subset M [/mm] ist eine offene Menge, wenn es für jedes Element [mm]x\in U[/mm] eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung [mm]B_{(\varepsilon)} (x)[/mm] gibt, die ganz in U liegt.

Und jetzt frage dich: ist diese Bedingung erfüllt für

a) [mm]\emptyset[/mm]
b) M selbst?

Für die leere Menge ist es der Fall, denn sie hat keine Elemente, also ist die Aussage für alle ihre Elemente wahr.

Wie zeigst du es für M selbst?

> zu (b)  [mm]U_1[/mm] bis [mm]U_k[/mm] sind
> elemente Von J, dann sollen auch die vereinigungen von [mm]U_1[/mm]
> bis [mm]U_k[/mm] in J enthalten sein,.. wie könnt ich mathematisch
> an diesen teil rangehn?

Das ist zwar richtig, aber erst in (c) gefragt. In (b) sollst du es für den Durchschnitt zeigen. Zeige es zunächst für zwei Mengen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm]. Beide sind offen, also gibt es für jedes x in [mm]U_1[/mm] bzw. [mm]U_2[/mm] eine [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von, die ganz in [mm]U_1[/mm] bzw. [mm]U_2[/mm] liegt.

Überlege dir, was für die [mm]x\in U_1\cap U_2[/mm] gilt, das sind diejenigen x, für die sowohl [mm]x\in U_1[/mm] als auch [mm]x\in U_2[/mm] gilt.

In (c) wird dann nach der Vereinigung beliebig vieler offener Mengen gefragt. Auch hier überlegst du dir am Besten erst einmal einen Beweis für die Vereinigung zweier Mengen.

Viele Grüße
   Rainer

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