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Hallo,
die Aufgabe, an der ich grad rumtüftel, ist folgende:
Sei (M,d) ein metrischer Raum. Und es wird folgendes definiert:
[mm] d^{*}: [/mm] M x M [mm] \to \IR, d^{*}(x,y)= [/mm] min {d(x,y),1}.
Ich soll zeigen, dass auch [mm] (M,d^{*}) [/mm] ein metrischer Raum ist und [mm] T_{d}=T_{d^{*}}, [/mm] wobei T eine Topologie ist.
Die Eigenschaften eines metrischen Raumes sind doch:
1) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,y) \ge [/mm] 0
2) Symmetrie: [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,y) [/mm] = [mm] d^{*}(y,x)
[/mm]
3)Dreiecksungl.: [mm] \forall [/mm] x,y,z [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,z) \le d^{*}(x,y)+d^{*}(y,z)
[/mm]
4) [mm] \forall x\in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,x)=0
[/mm]
5) [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,y)=0 \Rightarrow [/mm] x=y.
Wenn alles gilt, ist d eine Metrik auf M und (M,d) ein metrischer Raum.
Muss ich jetzt einfach nur alle Eig. nachweisen oder? Dann bin ich doch fertig. Ich weiß aber nicht, wie das mit der Topologie beweisen soll.
Ich bitte um Tipps.
Danke,
wetterfrosch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo wetterfrosch!
Ja, du musst für [mm] $d^{\*}$ [/mm] die Eigenschaften einer Metrik nachweisen.
Das ist recht simpel. Nur bei der Dreiecksungleichung muss man, so denke ich, eine kleine Fallunterscheidung machen. Muss man doch nicht, geht so simpel durch.
Bei der Topologie gehst du wie folgt vor:
Zeige: In jedem [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik $d$,
[mm] $B_{\varepsilon}^{d}(x_0):=\{x \in M\, : \, d(x,x_0) < \varepsilon\}$
[/mm]
liegt ein [mm] $\delta$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik [mm] $d^{\*}$,
[/mm]
[mm] $B_{\delta}^{d^{\*}}(x_0):=\{x \in M\, : \, d^{\*}(x,x_0) < \delta\}$.
[/mm]
Ebenso zeigst du:
In jedem [mm] $\varepsilon$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik [mm] $d^{\*}$,
[/mm]
[mm] $B_{\varepsilon}^{d^{\*}}(x_0):=\{x \in M\, : \, d^{\*}(x,x_0) < \varepsilon\}$
[/mm]
liegt ein [mm] $\delta$-Ball [/mm] bezüglich der Metrik $$,
[mm] $B_{\delta}^{d}(x_0):=\{x \in M\, : \, d(x,x_0) < \delta\}$.
[/mm]
Damit hast du quasi gezeigt, dass die Identität:
[mm] $id_M:(X,d) \to (x,d^{\*})$
[/mm]
ein Homöomorphismus ist; die Topologien sind gleich.
Naja, jedenfalls zeigt man so die Behauptung.  Und es ist wirklich einfach, weil man ja oBdA [mm] $\varepsilon<1$ [/mm] wählen kann...
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
danke für die Tipps. Ich konnte die Eigenschaften eines metrischen Raume ohne Probleme beweisen. Das war ganz leicht.
Aber nun habe ich versucht, zu zeigen, dass [mm] T_{d}=T_{d^{*}} [/mm] gilt. Dazu habe ich die Tipps von Julius befolgt. Ich weiß aber nicht, ob mein Beweis so richtig ist, deshalb bitte ich um Rückmeldung:
Ich bin so vorgegangen:
Wähle oBdA [mm] \epsilon [/mm] < 1.
Sei (M,d) wie gegeben ein metr. Raum und x [mm] \in [/mm] M und [mm] \episilon [/mm] >0.
Sei [mm] x\in U_{\epsilon}^{d}(x) [/mm] = { y [mm] \in [/mm] M : d(x,y) < [mm] \epsilon}.
[/mm]
Dann wähle ein y [mm] \in U_{\epsilon}^{d}(x), [/mm] so dass d(x,y) < [mm] \epsilon.
[/mm]
Setze nun [mm] \delta \le \epsilon [/mm] und sei wie bewiesen [mm] (M,d^{*}) [/mm] ein metr. Raum. Wähle y so, dass y [mm] \in U_{\epsilon}^{d}(x) \cap U_{\delta}^{d^{*}}(x). [/mm] Also: [mm] U_{\epsilon}^{d}(x) \subseteq U_{\epsilon}^{d}(x) [/mm] mit [mm] U_{\epsilon}^{d}(x) [/mm] = { y [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,y) [/mm] < [mm] \delta}.
[/mm]
Ebenso die andere Richtung:
Sei [mm] (M,d^{*}) [/mm] metr. Raum, [mm] x\in [/mm] M und [mm] \epsilon [/mm] > 0.
Sei [mm] U_{\epsilon}^{d^{*}}(x)= [/mm] {y [mm] \in [/mm] M: [mm] d^{*}(x,y) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] } mit y [mm] \in U_{\epsilon}^{d^{*}}(x). [/mm] Wähle dieses y so, dass y [mm] \in U_{\epsilon}^{d^{*}}(x) \cap U_{\delta}^{d}(x), [/mm] wobei [mm] \delta \le \epsilon. [/mm] Damit gilt: [mm] U_{\delta}^{d}(x) \subseteq U_{\epsilon}^{d^{*}}(x), [/mm] und [mm] U_{\delta}^{d}(x) ={y\in M : d(x,y) < \delta}. [/mm]
Somit ist die Identität [mm] id_{M}: [/mm] (x,d) [mm] \to (x,d^{*}) [/mm] ein Homöomorphismus. Was bedeutet das? Den begriff kenn ich noch nicht.
Also muss [mm] T_{d}=T_{d^{*}} [/mm] gelten.
danke für die Rückmeldung, obs stimmt. Wenn nicht, bitte mir sagen!
Danke.
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Hallo,
kann sich bitte jemand meine Lösung angucken, und schauen ob sie so richtig ist? Wenn sie falsch ist, überarbeite ich sie nochmal.
Vielen Dank.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Sa 23.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
So ganz habe ich das nicht verstanden, was du da geschrieben hast. Wir machen es jetzt ganz einfach:
Für beliebiges [mm] $0<\varepsilon<1$ [/mm] gilt:
[mm] $B_{\varepsilon}^{d'}(x)$
[/mm]
$= [mm] \{y \in M\, : \, d'(x,y)< \varepsilon\}$
[/mm]
[mm] $=\{y \in M\, :\, \min(d(x,y),1) < \varepsilon\}$
[/mm]
[mm] $=\{y \in M\, : \, d(x,y) < \varepsilon\}$
[/mm]
$= [mm] B_{\varepsilon}^d(x)$.
[/mm]
Die offenen Mengen in [mm] $\tau_{d'}$ [/mm] lassen sich als Vereinigungen von offenen Bällen [mm] $B_{\varepsilon}^{d'}(x)$ [/mm] mit [mm] $0<\varepsilon<1$ [/mm] darstellen. Entsprechend lassen sich die offenen Mengen in [mm] $\tau_d$ [/mm] lassen sich als Vereinigungen von offenen Bällen [mm] $B_{\varepsilon}^{d}(x)$ [/mm] mit [mm] $0<\varepsilon<1$ [/mm] darstellen.
Man sagt, dass die Bälle eine Basis der Topologie darstellen.
Daraus folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Julius
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