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| Aufgabe | Lemma: Ein metrischer Raum X ist kompakt , wenn er total beschränkt und vollständig ist.
Edit:
Total beschränkt:
X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche Menge [mm] \{x_1 ,.,, x_n \} \subset [/mm] X existiert mit X = [mm] \bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j) [/mm] |
Frage 1:
WIe passt das mit dem zusammen was man in Analysis 1 lernt:
Menge X ist folgenkompakt <=> X ist beschränkt & abgeschlossen.
Frage 2:
Den Beweis <= habe ich in der Vorlesung nicht verstanden.
<=
Sei X total beschränkt und vollständnig.
Ein totalbeschränkter Raum erfüllt das 2 Abzählbarkeitsaxiom ->Folgenkompakt entspricht Kompaktheit.
gZZ: Jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge.
Sei [mm] x_n [/mm] eine Folge in X. WIr behaupten , dass es eine Teilfolge [mm] x_{n_k} [/mm] gibt, welche Cauchy ist.
> Das verstehe ich, aber dannach verstehe ich nichts mehr!! ;(
Für jedes 1/k gibt es endliche viele Bälle [mm] B_{1/k} [/mm] (y) , y [mm] \in E_k [/mm] welche X überdecken. Wir extrahieren nun induktiv eine Folge [mm] x_j [/mm] wie folgt. In einem der Bälle [mm] B_1 [/mm] (y) , y [mm] \in E_1, [/mm] gibt liegen [mm] x_j [/mm] für unendlich viele j. Wir defenieren nun [mm] j_1 [/mm] durch alle diese j. Dann extrahierem wir aus der Teifolge [mm] x_j__1 [/mm] eine Teilfolge [mm] x_j__2, [/mm] welche alle in einem Ball vom Radius 1/2 liegen, und wo weiter, Wir behaupten, dass die Diagonalfolge [mm] x_j__j [/mm] eine Cauchyfolge ist. Sei [mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig , und j [mm] \in \IN [/mm] large enough so that j [mm] \le [/mm] 2 [mm] \epsilon. [/mm] Wenn k,l [mm] \geq [/mm] j ist, so ist [mm] x_k__k [/mm] , [mm] x_l__l \in B_{1/j} (x_j__j). [/mm] Damit ist [mm] d(x_k__k [/mm] , [mm] x_l__l) \le \epsilon, [/mm] also ist [mm] x_m__m [/mm] eine Cauchyfolge
[Original , abgeschrieben vom Skriptum]
????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????
LG ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Mi 20.02.2013 | | Autor: | hippias |
> Lemma: Ein metrischer Raum X ist kompakt , wenn er total
> beschränkt und vollständig ist.
>
> Edit:
> Total beschränkt:
> X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche
> Menge [mm]\{x_1 ,.,, x_n \} \subset[/mm] X existiert mit X =
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j)[/mm]
> Frage 1:
> WIe passt das mit dem zusammen was man in Analysis 1
> lernt:
> Menge X ist folgenkompakt <=> X ist beschränkt &
> abgeschlossen.
>
> Frage 2:
> Den Beweis <= habe ich in der Vorlesung nicht verstanden.
> <=
> Sei X total beschränkt und vollständnig.
> Ein totalbeschränkter Raum erfüllt das 2
> Abzählbarkeitsaxiom ->Folgenkompakt entspricht
> Kompaktheit.
> gZZ: Jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge.
> Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge in X. WIr behaupten , dass es eine
> Teilfolge [mm]x_{n_k}[/mm] gibt, welche Cauchy ist.
> > Das verstehe ich, aber dannach verstehe ich nichts
> mehr!! ;(
> Für jedes 1/k gibt es endliche viele Bälle [mm]B_{1/k}[/mm] (y) ,
> y [mm]\in E_k[/mm] welche X überdecken. Wir extrahieren nun
> induktiv eine Folge [mm]x_j[/mm] wie folgt. In einem der Bälle [mm]B_1[/mm]
> (y) , y [mm]\in E_1,[/mm] gibt liegen [mm]x_j[/mm] für unendlich viele j.
> Wir defenieren nun [mm]j_1[/mm] durch alle diese j.
Die erste Teilfolge, offenbar mit [mm] $x_{j_{1}}$ [/mm] bezeichnet, besteht aus den unendlichen vielen Gliedern der Folge $x$, die in der Kugel [mm] $B_{1}(y)$ [/mm] liegen...
> Dann extrahierem
> wir aus der Teifolge [mm]x_j__1[/mm] eine Teilfolge [mm]x_j__2,[/mm] welche
> alle in einem Ball vom Radius 1/2 liegen, und wo weiter,
... aus dieser Folge werden wieder unendlich viele Teilglieder ausgesondert, um die Folge [mm] $x_{j_{2}}$ [/mm] zu bilden. Usw.
> Wir behaupten, dass die Diagonalfolge [mm]x_j__j[/mm] eine
> Cauchyfolge ist. Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig , und j [mm]\in \IN[/mm]
> large enough so that j [mm]\le[/mm] 2 [mm]\epsilon.[/mm] Wenn k,l [mm]\geq[/mm] j ist,
Hier muss [mm] $\frac{2}{j}\leq \epsilon$ [/mm] stehen.
> so ist [mm]x_k__k[/mm] , [mm]x_l__l \in B_{1/j} (x_j__j).[/mm] Damit
> ist [mm]d(x_k__k[/mm] , [mm]x_l__l) \le \epsilon,[/mm] also ist [mm]x_m__m[/mm] eine
> Cauchyfolge
> [Original , abgeschrieben vom Skriptum]
> ????????????????????????????????????????????
> ????????????????????????????????????????????
>
> LG ;)
>
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Was ist denn genau Deine Frage?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:52 Mo 25.02.2013 | | Autor: | theresetom |
Hallo,
Danke für die ersten Erklärungen.
Ich verstehe nicht wieso die Diagonalfolge $ [mm] x_j__j [/mm] $ eine Cauchyfolge ist.
Die eklärung im Skript verwirrt mich mit den vielen Indizes - ich verstehe diese nicht.
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Hallo,
> Lemma: Ein metrischer Raum X ist kompakt , wenn er total
> beschränkt und vollständig ist.
>
> Edit:
> Total beschränkt:
> X ist total beschränkt wenn für jedes r>0 eine endliche
> Menge [mm]\{x_1 ,.,, x_n \} \subset[/mm] X existiert mit X =
> [mm]\bigcup_{j=1}^{n} B_r (x_j)[/mm]
> Frage 1:
> WIe passt das mit dem zusammen was man in Analysis 1
> lernt:
> Menge X ist folgenkompakt <=> X ist beschränkt &
> abgeschlossen.
Es gibt keine direkte Verbindung in dem Sinne, dass die Aussage (die du beweisen möchtest) den Satz von Heine-Borel impliziert. So besteht auch zwischen beschränkt und totalbeschränkt keine offensichtliche Implikation, genauso wenig wie zwischen abgeschlossen und vollständig.
Du kannst die obige Aussage als Verallgemeinerung des Satzes von Heine-Borel sehen.
> Frage 2:
> Den Beweis <= habe ich in der Vorlesung nicht verstanden.
> <=
> Sei X total beschränkt und vollständnig.
> Ein totalbeschränkter Raum erfüllt das 2
> Abzählbarkeitsaxiom ->Folgenkompakt entspricht
> Kompaktheit.
> gZZ: Jede Folge in X besitzt eine konvergente Teilfolge.
> Sei [mm]x_n[/mm] eine Folge in X. WIr behaupten , dass es eine
> Teilfolge [mm]x_{n_k}[/mm] gibt, welche Cauchy ist.
> > Das verstehe ich, aber dannach verstehe ich nichts
> mehr!! ;(
> Für jedes 1/k gibt es endliche viele Bälle [mm]B_{1/k}[/mm] (y) ,
> y [mm]\in E_k[/mm] welche X überdecken. Wir extrahieren nun
> induktiv eine Folge [mm]x_j[/mm] wie folgt. In einem der Bälle [mm]B_1[/mm]
> (y) , y [mm]\in E_1,[/mm] gibt liegen [mm]x_j[/mm] für unendlich viele j.
> Wir defenieren nun [mm]j_1[/mm] durch alle diese j. Dann extrahierem
> wir aus der Teifolge [mm]x_j__1[/mm] eine Teilfolge [mm]x_j__2,[/mm] welche
> alle in einem Ball vom Radius 1/2 liegen, und wo weiter,
Ist das Konstruktionsprinzip klar?
Unendlich viele Folgenglieder in einem Raum, der von endlich vielen Bällen überdeckt wird --> in einem Ball müssen unendlich viele Folgenglieder liegen --> Teilfolge von [mm] $(x_n)$. [/mm] Diese Teilfolgen liegen also immer IN EINEM BALL.
Das machst du nun nacheinander mit Bällen der Radii $r = 1/k$ [mm] ($k\in\IN$) [/mm] und nimmst statt der Ausgangsfolge immer die zuletzt ermittelte Teilfolge.
Formal sieht das jetzt so aus (Bezeichnungen):
Die erhaltenen Teilfolgen werden mit [mm] $(x_{j_1})_{j\in \IN}$ [/mm] bezeichnet. Die " [mm] \red{1} [/mm] " bedeutet, dass das die Teilfolge mit Bällen des Radius $r = [mm] 1/\red{1}$ [/mm] war. Das heißt, [mm] $(x_{j_1})$ [/mm] liegt in einem Ball [mm] $B_1(x)$ [/mm] drin mit irgendeinem $x [mm] \in [/mm] X$.
Das $j$ läuft und gibt die Indizes der Teilfolge an. Entsprechend ist
[mm] $x_{j_j}$ [/mm] = j-tes Folgenglied der Teilfolge der vorherigen Teilfolge, die ganz in einem Ball [mm] $B_{1/j}(x)$ [/mm] liegt [mm] ($x\in [/mm] X$).
> Wir behaupten, dass die Diagonalfolge [mm]x_j__j[/mm] eine
> Cauchyfolge ist. Sei [mm]\epsilon>0[/mm] beliebig , und j [mm]\in \IN[/mm]
> large enough so that j [mm]\le[/mm] 2 [mm]\epsilon.[/mm]
Mein Vorredner hat bereits gesagt, dass hier [mm] $\frac{2}{j} \le \varepsilon$ [/mm] stehen sollte.
> Wenn k,l [mm]\geq[/mm] j ist,
> so ist [mm]x_k__k[/mm] , [mm]x_l__l \in B_{1/j} (x_j__j).[/mm]
Das gilt aus folgendem Grund:
Die beiden Folgen [mm] $(x_{n_k})_{n\in\IN}, (x_{n_l})_{n\in\IN}$ [/mm] sind wegen $k,l [mm] \ge [/mm] j$ Teilfolgen von [mm] $(x_{n_j})_{n\in\IN}$. $(x_{n_j})$ [/mm] war eine Teilfolge, die vollständig in [mm] $B_{1/j}(x)$ [/mm] lag (mit einem $x [mm] \in [/mm] X$).
Somit liegen auch [mm] $(x_{n_k})_{n\in\IN}, (x_{n_l})_{n\in\IN}$ [/mm] vollständig in dieser Kugel. Insbesondere einzelne Folgenglieder. Also [mm] $x_{k_k}, x_{l_l} \in B_{1/j}(x)$.
[/mm]
(Sie liegen also nicht unbedingt in [mm] $B_{1/j}(x_{j_j})$, [/mm] aber das braucht man auch nicht)
> Damit
> ist [mm]d(x_k__k[/mm] , [mm]x_l__l) \le \epsilon,[/mm] also ist [mm]x_m__m[/mm] eine
> Cauchyfolge.
Mit Dreiecksungleichung kannst du zeigen, dass [mm] $d(x_{k_k}, x_{l_l}) \le d(x_{k_k}, [/mm] x) + d(x, [mm] x_{l_l}) \le \frac{2}{j} \le \varepsilon$ [/mm] ist.
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Nochmal kurz ein wesentliches Detail des Beweises:
Man braucht die Diagonalfolge, (d.h. man muss immer das j-te Elemente der j-ten Teilfolge nehmen), damit man überhaupt garantieren kann, dass es sich um eine Teilfolge handelt. Würde man immer das erste Element der Teilfolgen nehmen, könnten sich Elemente wiederholen.
Viele Grüße,
Stefan
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