Min.Polynom/algebraisch < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Do 19.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien K,M,L Körper mit K [mm] \le [/mm] M [mm] \le [/mm] L und a [mm] \in [/mm] L algebraisch über K. Ferner sei m [mm] \in [/mm] M[t] das Minimalpolynom über M.
Beh.:
a) b ist Nullstelle von m in einem Oberkörper von L [mm] \Rightarrow [/mm] b ist algebraisch über K.
b) Alle Koeffizienten von m sind algebraisch über K. |
Hallo. Ich habe mal wieder eine Frage, wie man sieht. Und zwar komme ich bei dieser Aufgabe mit b) überhaupt nicht klar (habe schon alles mögliche ausprobiert, nur scheinbar nicht das richtige) und bin mir bei a) nicht sicher, dass folgender Ansatz richtig ist:
Da a algebraisch, ex. [mm] f\not= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] K[t] mit f(a)=0. Da m MinPol von a, teilt es f, d.h. es ex. ein [mm] p\in [/mm] K[t] mit mp=f.
Wenn jetzt b eingesetzt wird, ergibt sich: (mp)(b)=m(b)p(b)=0p(b)=0=f(b). Also habe ich ein f [mm] \in [/mm] K[t] gefunden mit f(b)=0, also ist b algebraisch, oder? Aber warum muss dann b unbedingt aus einem Oberkörper von L sein? hab ich etwas übersehen?
Wäre froh, wenn mir jemand (vor allem bei b) ) weiterhelfen könnte,
Gruß, San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Do 19.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Seien K,M,L Körper mit K [mm]\le[/mm] M [mm]\le[/mm] L und a [mm]\in[/mm] L
> algebraisch über K. Ferner sei m [mm]\in[/mm] M[t] das Minimalpolynom über M.
> Beh.:
> a) b ist Nullstelle von m in einem Oberkörper von L [mm]\Rightarrow[/mm] b ist algebraisch über K.
> b) Alle Koeffizienten von m sind algebraisch über K.
> Hallo. Ich habe mal wieder eine Frage, wie man sieht. Und zwar komme ich bei dieser Aufgabe mit b) überhaupt nicht klar (habe schon alles mögliche ausprobiert, nur scheinbar nicht das richtige) und bin mir bei a) nicht sicher, dass folgender Ansatz richtig ist:
> Da a algebraisch, ex. [mm]f\not=[/mm] 0 [mm]\in[/mm] K[t] mit f(a)=0. Da m MinPol von a, teilt es f, d.h. es ex. ein [mm]p\in[/mm] K[t] mit mp=f.
Vorsicht, das [mm]p[/mm] muss nicht in [mm]K[t][/mm] sein, sondern ist im Allgemeinen nur in [mm]M[t][/mm]! (Ansonsten waere [mm]m[/mm] auch schon in [mm]K[t][/mm], wie man mit Polynomdivision sieht!) Der Rest geht dann aber:
> Wenn jetzt b eingesetzt wird, ergibt sich: (mp)(b)=m(b)p(b)=0p(b)=0=f(b). Also habe ich ein f [mm]\in[/mm] K[t] gefunden mit f(b)=0, also ist b algebraisch, oder?
> Aber warum muss dann b unbedingt aus einem Oberkörper von L sein? hab ich etwas übersehen?
Nur weil es (auch) in einem Oberkoerper von $L$ ist kann es bereits auch in $L$ selber liegen. (Du kannst ja als den Oberkoerper den Zerfaellungskoerper von $m$ ueber $L$ waehlen, da liegen dann alle Nullstellen drin.) Diese Formulierung steht da nur, damit wirklich _jede_ Nullstelle von $m$ (egal in welchem Koerper sie liegt) genommen werden kann.
> Wäre froh, wenn mir jemand (vor allem bei b) ) weiterhelfen könnte,
Bei b) kannst du wie folgt vorgehen: Nimm einen Oberkoerper von $L$, der alle Nullstellen von $m$ enthaelt (z.B. Zerfaellungskoerper). Diese sind nach a) alle algebraisch ueber $K$. Jetzt kannst du die Koeffizienten von $m$ durch Polynome in allen Nullstellen von $m$ ausdruecken. Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 19.01.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Seien K,M,L Körper mit K [mm]\le[/mm] M [mm]\le[/mm] L und a [mm]\in[/mm] L algebraisch über K. Ferner sei m [mm]\in[/mm] M[t] das Minimalpolynom über M.
Beh.:
a) b ist Nullstelle von m in einem Oberkörper von L [mm]\Rightarrow[/mm] b ist algebraisch über K.
b) Alle Koeffizienten von m sind algebraisch über K.
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Erst einmal: Vielen Dank für die schnelle Antwort, bin froh, dass ich wenigstens bei a) richtig lag.
Ansonsten:
> Bei b) kannst du wie folgt vorgehen: Nimm einen Oberkoerper von [mm]L[/mm], der alle Nullstellen von [mm]m[/mm] enthaelt (z.B. Zerfaellungskoerper). Diese sind nach a) alle algebraisch ueber [mm]K[/mm]. Jetzt kannst du die Koeffizienten von [mm]m[/mm] durch Polynome in allen Nullstellen von [mm]m[/mm] ausdruecken. Kommst du jetzt weiter?
Nein! Auch wenn ich glaube ich sehe, wie das alles in etwa gehen sollte, komme ich leider konkret doch nicht weiter. Wäre froh, wenn du mir noch einen weiteren Fingerzeig geben könntest...
Gruß,
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:48 Sa 21.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sanshine!
Leider konnte Dir keiner mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Do 23.02.2006 | | Autor: | felixf |
Sorry fuer die spaete Antwort...
> Seien K,M,L Körper mit K [mm]\le[/mm] M [mm]\le[/mm] L und a [mm]\in[/mm] L
> algebraisch über K. Ferner sei m [mm]\in[/mm] M[t] das Minimalpolynom über M.
> Beh.:
> a) b ist Nullstelle von m in einem Oberkörper von L [mm]\Rightarrow[/mm] b ist algebraisch über K.
> b) Alle Koeffizienten von m sind algebraisch über K.
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> Erst einmal: Vielen Dank für die schnelle Antwort, bin froh, dass ich wenigstens bei a) richtig lag.
> Ansonsten:
> > Bei b) kannst du wie folgt vorgehen: Nimm einen Oberkoerper von [mm]L[/mm], der alle Nullstellen von [mm]m[/mm] enthaelt (z.B. Zerfaellungskoerper). Diese sind nach a) alle algebraisch ueber [mm]K[/mm]. Jetzt kannst du die Koeffizienten von [mm]m[/mm] durch Polynome in allen Nullstellen von [mm]m[/mm] ausdruecken. Kommst du jetzt weiter?
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> Nein! Auch wenn ich glaube ich sehe, wie das alles in etwa gehen sollte, komme ich leider konkret doch nicht weiter. Wäre froh, wenn du mir noch einen weiteren Fingerzeig geben könntest...
Sei $L'$ ein Zerfaellungskoerper von $m$ ueber $M$ (oder irgendein anderer Koerper ueber dem $m$ in Linearfaktoren zerfaellt). Sei $m = [mm] \prod_{i=1}^n [/mm] (x - [mm] a_i)$ [/mm] mit [mm] $a_i \in [/mm] M$. Durch Ausmultiplizieren siehst du, das alle Koeffizienten von $m$ in [mm] $K[a_1, \dots, a_n]$ [/mm] liegen. Es reicht also zu zeigen, dass die [mm] $a_i$ [/mm] alle algebraisch ueber $K$ sind, womit dann [mm] $K[a_1, \dots, a_n]$ [/mm] eine endliche und somit algebraische Erweiterung von $K$ ist, die alle Koeffizienten von $m$ enthaelt.
Aber das die [mm]a_i[/mm] algebraisch sind ist auch klar: Sei [mm] $\hat{m}$ [/mm] das Minimalpolynom von $a$ ueber $K$. Da [mm]\hat{m}(a) = 0[/mm] ist, gibt es ein Polynom $g [mm] \in [/mm] M[t]$ mit [mm]\hat{m} = g m[/mm] (da $m$ das MiPo von $a$ ueber $M$ ist). Damit ist [mm]\hat{m}(a_i) = g(a_i) m(a_i) = g(a_i) \cdot 0 = 0[/mm], womit alle [mm] $a_i$ [/mm] algebraisch ueber $K$ sind.
LG Felix
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