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Mind. ein BK bleibt leer: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Sa 19.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
a)

Es werden n Briefe unabhängig voneinander auf n Briefkästen verteilt. Alle Briefkästen seien dabei gleichwahrscheinlich und ein Briefkasten kann mehrere Briefe bekommen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Briefkasten leer bleibt?

b)

Verwenden Sie Aufgabenteil a) um zu zeigen, dass

[mm] $n!=\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}(n-k)^n$ [/mm]

Hallo,

ich beschäftige mich gerade mit dieser Aufgabe.

Ich denke den Aufgabenteil a) habe ich richtig. Probleme bereitet mir Aufgabenteil b).

zu a)

Es handelt sich um ziehen ohne zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.
Sei $A$ das Ereignis "mindestens ein Briefkasten bleibt leer". Ich berechne Die Wahrscheinlichkeit mithilfe der Gegenwahrscheinlichkeit

[mm] $A^c$ [/mm] ist also das Ereignis "kein Briefkasten bleibt leer".

Sei [mm] $\Omega=\{1,...,n\}^n$ [/mm] also die Menge aller n-Tupel mit [mm] $|\Omega|=n^n$ [/mm]

[mm] $A=\{\omega\in\Omega|a_i\in\Omega\}$ [/mm]

[mm] $A^c=\{\omega\in\Omega|\forall k\in\Omega\quad\exists!\,\,i:a_i=k\}$ [/mm]

Hier bin ich mir nicht sicher, ob ich die Menge [mm] $A^c$ [/mm] korrekt beschrieben habe. Es soll kein Briefkasten leer bleiben, also muss in jedem Briefkasten genau ein Brief sein. Das heißt jedes $k" aus [mm] $\Omega$ [/mm] muss genau einmal "besetzt" werden.
Damit ist [mm] $|A^c|=n!$ [/mm]

P ist Laplace

[mm] $P(A)=1-P(A^c)$ [/mm]

[mm] $P(A^c)=\frac{|A^c|}{|\Omega|}=\frac{n!}{n^n}$ [/mm]

[mm] $P(A)=1-\frac{n!}{n^n}$ [/mm]

Ich hoffe das ist so korrekt.

Zu b)

Hier soll ich Aufgabenteil a) benutzen.
Doch leider weiß ich nicht wie mir das Ergebnis weiterhilft.

Wird die Siebformel benutzt?


Über Korrekturen oder Hinweise würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Mind. ein BK bleibt leer: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:16 Di 22.03.2016
Autor: luis52

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> Hier soll ich Aufgabenteil a) benutzen.
>  Doch leider weiß ich nicht wie mir das Ergebnis
> weiterhilft.
>  
> Wird die Siebformel benutzt?


Moin, ich denke, ja. Bei Gleichheit gilt

$P(A)=1-\frac{n!}{n^n}=1-\frac{1}{n^n}\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}(n-k)^n=}\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n $.



Bezug
                
Bezug
Mind. ein BK bleibt leer: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:51 Di 22.03.2016
Autor: impliziteFunktion

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Vielen Dank für deine Antwort.

> Bei Gleichheit gilt

$ P(A)=1-\frac{n!}{n^n}=1-\frac{1}{n^n}\sum_{k=0}^n (-1)^{k}\binom{n}{k}(n-k)^n=}\sum_{k=1}^n (-1)^{k+1}\binom{n}{k}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n $.

Ich verstehe diese Gleichungs-Kette leider nicht. Bzw. weiß ich nicht, wie sie hilft, da du das was zu zeigen ist ja bereits verwendest.

Ich hatte gedacht, dass man das Problem aus Aufgabenteil a) nun noch einmal löst, nämlich mithilfe der Siebformel.
Wenn man damit dann auf deine Letzte Gleichung kommt, ist alles klar. Möchtest du darauf hinaus?

Leider bereitet mir die Bearbeitung der Aufgabe mithilfe der Siebformel Probleme, da ich nicht so recht weiß, wie ich die Formel hier anwende.

Bezug
                        
Bezug
Mind. ein BK bleibt leer: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:08 Di 22.03.2016
Autor: luis52


> Ich hatte gedacht, dass man das Problem aus Aufgabenteil a)
> nun noch einmal löst, nämlich mithilfe der Siebformel.
>  Wenn man damit dann auf deine Letzte Gleichung kommt, ist
> alles klar. Möchtest du darauf hinaus?

Ja.

>  
> Leider bereitet mir die Bearbeitung der Aufgabe mithilfe
> der Siebformel Probleme, da ich nicht so recht weiß, wie
> ich die Formel hier anwende.

Muss ich mir noch einmal genauer ansehen. Vorerst so viel: Sei [mm] $A_i$ [/mm] das Ereignis, dass Briefkasten $i$ leer bleibt. Dann ist [mm] $A=A_1\cup\dots\cup A_n$ [/mm] ...

P.S. Google mal Coupon Collector's Problem.


Bezug
                        
Bezug
Mind. ein BK bleibt leer: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 30.03.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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