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| Aufgabe | | Beim zweifachen Wurf mit einem Würfel werden für gerade Augensummen 0,1€ oder für gleiche Augenzahlen 1 € Gewinn ausgezahlt. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit der Veranstalter mindestens 5 Cent pro Spiel Gewinn macht? |
Hallo. Dem Grundkurshaber droht mal wieder das Hirn vor dieser komplexen Aufgabe zu zerplatzen und in 100 Stücke quer über den Kontinent zu zerfallen. Damit dass auch in Ihrem Interesse ist, hoffe ich bei dieser Aufgabe um Hilfe. Mein Ansatz:
xi= a - 0,1 €
=> P (x=xi) = 12 * [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
xi= a - 1 €
=> P (x=xi) = 6 * [mm] \bruch{1}{36}
[/mm]
E: (a - [mm] 0,1€)*\bruch{1}{3} [/mm] + (a - 1€) * [mm] \bruch{1}{6} \ge [/mm] 0,05€
E: [mm] \bruch{1}{3}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{30}€ [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}€ \ge [/mm] 0,05€
E: [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] - [mm] \bruch{1}{5}€ \ge [/mm] 0,05€
E: [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] - 0,2 = 0
E: [mm] \bruch{1}{2}a [/mm] = 0,2
=> a = 0,4 €
Laut meinem Tutor vollkommener Schwachsinn, dabei weiß ich leider keinen anderen Weg.
Schon mal Danke für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Sa 25.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Beim zweifachen Wurf mit einem Würfel werden für gerade
> Augensummen 0,1€ oder für gleiche Augenzahlen 1 €
> Gewinn ausgezahlt. Wie hoch muss der Einsatz sein, damit
> der Veranstalter mindestens 5 Cent pro Spiel Gewinn macht?
> Hallo. Dem Grundkurshaber droht mal wieder das Hirn vor
> dieser komplexen Aufgabe zu zerplatzen und in 100 Stücke
> quer über den Kontinent zu zerfallen.
Die Idee, den Erwartungswert auszurechnen, ist ja schonmal gut.
Die Zufallsvariable, die du einführen solltest, lautet:
X : "Auszahlung des Veranstalters an den Spieler in €".
Bei einem unbekannten Einsatz a kann diese also die Werte a, a-0,1 (Gerade Augensumme) und a-1 (Pasch) annehmen.
Die Tabelle der möglichen 36 Ergebnisse, nach Augensumme, die Paschs/Pasche (Die Mehrzahl von Pasch halt  ) habe ich mal farbig markiert:
Augensumme 2: 1-1
Augensumme 3: 1-2 ; 2-1
Augensumme 4: 1-3 ; 3-1 ; 2-2
Augensumme 5: 1-4 ; 4-1 ; 3-2 ; 2-3
Augensumme 6: 1-5 ; 5-1 ; 2-4 ; 4-2 ; 3-3
Augensumme 7: 1-6 ; 6-1 ; 2-5 ; 5-2 ; 4-3; 3-4
Augensumme 8: 2-6 ; 6-2 ; 3-5 ; 5-3 ; 4-4
Augensumme 9: 3-6 ; 6-3 ; 4-5 ; 5-4
Augensumme10: 4-6 ; 6-4 ; 5-5
Augensumme11: 5-6 ; 6-5
Augensumme12: 6-6
Einen Pasch wirfst du also mit [mm] \frac{6}{36}=\frac{1}{6}
[/mm]
Eine Gerade Augensumme bekommst du mit 18 Fällen, davon musst du aber noch die 6 Paschs aubtrahieren, damit gilt dann für die Gerade Augensumme [mm] p=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}
[/mm]
Für den Rest, also ungerade Augensumme aber kein Pasch gilt dann also [mm] p=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}
[/mm]
Also gilt für den Erwartungswert
[mm] $E(X)=\frac{1}{6}\cdot(a-1)+\frac{1}{3}\cdot\left(a-\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{2}\cdot [/mm] a$
Dieser soll 0,05 also [mm] \frac{1}{20} [/mm] betragen, also muss gelten:
[mm] \frac{1}{6}\cdot(a-1)+\frac{1}{3}\cdot\left(a-\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{2}\cdot a=\frac{1}{20}
[/mm]
Marius
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Hallo, Marius!
Erst mal danke für die schnelle und qualitativ wertvolle Antwort! Echt: Daumen hoch!
Eine kleine Verständnisfrage noch: heißt dass, man muss die alternativen Möglichkeiten, also die [mm] \bruch{18}{36} [/mm] auch in den Erwartungswert einbeziehen. Wow! Wusst ich gar nicht.
Und muss = nicht durch [mm] \ge [/mm] ersetzt werden?
Naja, auf jeden Fall Vielen Dank. Ist ja nicht selbstverständlich, dass man sich Zeit nimmt um die Fragen von so einem Grundkurshaber zu beantworten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 25.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo, Marius!
>
> Erst mal danke für die schnelle und qualitativ wertvolle
> Antwort! Echt: Daumen hoch!
>
> Eine kleine Verständnisfrage noch: heißt dass, man muss
> die alternativen Möglichkeiten, also die [mm]\bruch{18}{36}[/mm]
> auch in den Erwartungswert einbeziehen. Wow! Wusst ich gar
> nicht.
Das sollte aber klar sein, wenn du dir den Erwartungswert mal genauer anschaust. Es müssen alle Eregnisse einem Ergebnis der Zufallsvariable zugeordnet werden.
>
> Und muss = nicht durch [mm]\ge[/mm] ersetzt werden?
Das stimmt
>
> Naja, auf jeden Fall Vielen Dank. Ist ja nicht
> selbstverständlich, dass man sich Zeit nimmt um die Fragen
> von so einem Grundkurshaber zu beantworten.
Marius
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