Minima/Maxima Verständnisfrage < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Sa 23.06.2007 | | Autor: | myo |
| Aufgabe | Aufgabe 1:
Die Funktion [mm]f: \IR^2 -> \IR[/mm] sei definiert durch
[mm]f(x,y) := (1-x)(1-y)(1-xy)[/mm]
Wieso nimmt sie auf [mm]K = [-1, 1] × [-1, 1] \subset \IR2[/mm] ihr Maximum und
ihr Minimum an? Man bestimme Minimum und Maximum von [mm]f[/mm] auf
[mm]K[/mm] und alle Punkte, in denen diese angenommen werden.
Aufgabe 2:
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
[mm]f: \IR2 -> \IR, f(x, y) = \left( {x}^{2}+{y}^{2} \right) {e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}[/mm] |
Hi,
komme irgendwie nicht so recht ans Ziel bei der Aufgaben, ich beschreibe einfach mal mein Vorgehen und wo es dann hängt.
Aufgabe 1:
ich habe erst mal alle erste und zweite Ableitungen berechnet, welche wie folgt aussehen:
[mm]f_x = -1+2\,xy-2\,x{y}^{2}+{y}^{2}[/mm]
[mm]f_y = -1+2\,xy-2\,{x}^{2}y+{x}^{2}[/mm]
[mm]f_x_x = 2\,y-2\,{y}^{2}[/mm]
[mm]f_x_y = 2\,x-4\,xy+2\,y[/mm]
[mm]f_y_x = 2\,x-4\,xy+2\,y[/mm]
[mm]f_y_y = 2\,x-2\,{x}^{2}[/mm]
und somit ist die Hesse-Matrix ja folgendes:
[mm]\left[ \begin {array}{cc} 2\,y-2\,{y}^{2}&2\,x-4\,xy+2\,y
\\\noalign{\medskip}2\,x-4\,xy+2\,y&2\,x-2\,{x}^{2}\end {array}
\right][/mm]
Danach habe ich [mm]f_x = 0[/mm] gesetzt und nach [mm]x[/mm] aufgelöst und erhalte folgendes:
[mm]x={\frac {1-{y}^{2}}{2\,y-2\,{y}^{2}}}[/mm]
Das hab ich dann in [mm]f_y = 0[/mm] für das [mm]x[/mm] eingesetzt und bin dabei auf folgenden Therm nachdem ausrechnen gekommen:
[mm]{\frac {2\,{y}^{5}-7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}-2\,{y}^{2}-2\,y+1}{4\,{y}^{4}
-8\,{y}^{3}+4\,{y}^{2}}}[/mm]
Nach Polynomdivison (da grad vom Zähler grösser grad vom Nenner) und weiterem vereinfachen/kürzen kam ich dann auf folgendes:
[mm]\bruch{1}{4}\,{\frac {2\,{x}^{3}-3\,{x}^{2}+1}{{x}^{2}}}[/mm]
Da hab ich mir dann überlebt, dass das ja nur [mm]0[/mm] werden kann wenn das obere Polynom [mm]0[/mm] wird. Also hab ich da dann Nullstellen erraten und Polynomdivsion gemacht bis ich meine 3 Nullstellen hatte welche [mm]\bruch{-1}{2}, 1, 1[/mm] sind.
Die y-Werte hab ich dann wieder in die Gleichung von [mm]x[/mm] für den y-Wert eingesetzt um an meine Punkte zu kommen. Also hab ich nun als Kandidaten für Minima und Maxima ja folgende Punkte, oder?:
[mm]a_{1} = \left[ \begin {array}{c} \bruch{-1}{2}\\\noalign{\medskip}\bruch{-1}{2}\end {array}
\right],a_{2} = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right],a_{3} = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right][/mm]
Dann hab ich die Punkte in die Hessematrix eingesetzt und komme auf folgendes:
[mm]H(a_{1}) = \left[ \begin {array}{cc} \bruch{-3}{2}&-3\\\noalign{\medskip}-3&\bruch{-3}{2}
\end {array} \right], H(a_{2/3}) = \left[ \begin {array}{cc} 0&2\\\noalign{\medskip}2&0\end {array}
\right][/mm]
Dann ist der erste Hauptminor [mm]h_{1,1}[/mm] von [mm]H(a_{1})[/mm] ja
[mm]\bruch{-3}{2}[/mm] das ist das gleiche wie bei [mm]h_{2,2}[/mm] und der Hauptminor der [mm]2x2[/mm] Matrix ist [mm]-3[/mm] .. ist das nun negativ definit/semidefinit? mit der Definition von der Definitheit hab ich noch ein bisschen zu kämpfen und versteh sie nicht so ganz.. wenn es so wäre, dann wäre das ja eine lokale Maximalstelle
Die Hauptminoren von [mm]H(a_{2/3})[/mm] sind [mm]0, 0, -4[/mm], also auch Maximalstelle oder was? Da steig ich noch nicht so ganz durch..
past das zumindest bisher soweit alles oder hab ich davor schon was falsch gemacht/was nicht verstanden?
Hätte ich damit nun schon die Minima/Maxima der Funktion auf [mm]K[/mm] und alle Punkte in denen sie angenommen werden?
Wie kann/soll ich begründen das die Funktion ihr Minima/Maxima auf [mm]K = [-1, 1] × [-1, 1] \subset \IR2[/mm] einnimmt? Ist mir noch nicht ganz so schlüssig.
Aufgabe 2:
Für die ersten und zweiten Ableitungen erhalte ich hier:
[mm]f_x = 2\,x{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-2\,{x}^{3}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-2\,x{e^{-{
x}^{2}-{y}^{2}}}{y}^{2}[/mm]
[mm]f_y = 2\,y{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-2\,y{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}{x}^{2}-2\,{y}^{3
}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}[/mm]
[mm]f_x_x = 2\,{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-10\,{x}^{2}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}+4\,{x}^{4}
{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-2\,{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}{y}^{2}+4\,{x}^{2}{e^{
-{x}^{2}-{y}^{2}}}{y}^{2}[/mm]
[mm]f_x_y = -8\,xy{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}+4\,{x}^{3}y{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}+4\,x{y}
^{3}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}} = f_y_x[/mm]
[mm]f_y_y = 2\,{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}-10\,{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}{y}^{2}-2\,{x}^{2}
{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}+4\,{x}^{2}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}{y}^{2}+4\,{y}^
{4}{e^{-{x}^{2}-{y}^{2}}}[/mm]
Wenn ich dann [mm]f_x = 0[/mm] nach [mm]y[/mm] auflöse erhlate ich folgendes (da sich die ganzen e-Therme ja rasukürzen lassen):
[mm]y = \pm\sqrt {1-{x}^{2}}[/mm]
Wenn ich das dann (egal ob mit + oder mit -) für [mm]y[/mm] in [mm]f_y = 0[/mm] einsetze erhalte ich [mm]0 = 0[/mm] und keinen konkreten Wert für [mm]x[/mm].. Was will mir das nun sagen? [mm]x = y[/mm]? oder wie soll ich damit nun weitermachen oder zu meinem Punkt kommen?
Ich habe diese Frage/Aufgabe in keinen anderen Foren oder sonst wo gestellt/gepostet
Gruß
myo
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Dein Text, insbesondere die Formeln, sind vom System zur Schnecke gemacht worden. Ich muss deshalb den grössten Teil löschen ...
> Also hab ich nun als Kandidaten für Minima und Maxima ja folgende Punkte, oder?:
> [mm]a_{1} = \left[ \begin {array}{c} \bruch{-1}{2}\\\noalign{\medskip}\bruch{-1}{2}\end {array}[/mm]
> [mm] \right],a_{2} = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right],a_{3} = \left[ \begin {array}{c} 0\\\noalign{\medskip}1\end {array} \right][/mm]
Bis hierher ist m.E. alles richtig.
...
> .. ist das nun negativ definit/semidefinit? mit der Definition von der Definitheit hab ich noch ein bisschen zu kämpfen und versteh sie nicht so ganz..
Moment mal: dies sind zwei verschiedene Fragen.
Frage 1: Was bedeutet die positive/negative Definitheit für die Beurteilungen derjenigen Punkte, bei denen die Ableitung verschwindet (Gradient =0).
Frage 2: Wie findet man heraus, ob die durch die vorliegende Hesse-Matrix definierte quadratische Form (in den Koordinatenzuwächsen) positiv/negativ definit ist.
Zu Frage 1: Die durch die Hesse-Matrix definierte quadratische Form für die Koordinatendifferenzen gibt uns im wesentlichen eine quadratische Fläche, die die Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] lokal approximiert. Das heisst, genügend nahe bei der betreffenden Stelle, kann man das Verhalten der Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] aus dem Verhalten der Fläche dieser quadratischen Form ablesen. Ist die Hesse-Matrix nun positiv bzw. negativ definit, so ist die zugehörige Fläche ein nach oben bzw. nach unten geöffnetes (ev. elliptisches) Paraboloid. Es liegt bei der Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] in diesem Falle also ein Hoch- bzw. Tiefpunkt vor.
Zu Frage 2: Damit die Hesse-Matrix
[mm]\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} }[/mm]
(bzw. die zugehörige quadratische Form) positiv oder negativ definit ist, muss zuerst einmal deren Determinante [mm]> 0[/mm] sein. Ist sie dies, dann liegt im Falle dass [mm]f_{xx}>0[/mm] ist ein lokales Minimum, falls [mm]f_{xx}<0[/mm] ist ein lokales Maximum vor.
Ist die Determinante der Hesse-Matrix [mm]<0[/mm], so liegt kein Extremum vor.
Vorsicht: Ist die Determinante der Hesse-Matrix [mm]=0[/mm], aber die durch die Hesse-Matrix definierte quadratische Form nicht identisch 0, so bleibt die Frage nach Maximal- und Minmalstellencharakter offen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 23.06.2007 | | Autor: | myo |
Hmm.. also bei mir im Skript ermittelt er ob Maxima/Minima anhand der Definitheit der Hessematrix im Punkt a.
Was meinst du nun eigentlich genau mit Determinante [mm]> 0[/mm]?
Meinst du die Determinante von der allgemeinen Hessematrix [mm]H(x,y)[/mm] ohne eingesetzen Punkt oder die Determinante von der Hessematrix [mm]H(a)[/mm] mit bereits schon eingesetztem Punkt der untersucht werden soll?
Wenn es mit bereits eingesetztem Punkt wäre, dann wäre die Determinante in meinem Fall ja beides mal [mm]<0[/mm] und somit gäbe es keine Extrema, da ich hier ja aber die Extrema bestimmen soll wird es doch wohl welche geben nehme ich mal an..
Kann mir vielleicht noch jemand einen Tipp zu Aufgabe 2 geben wie ich da mit dem [mm]0 = 0[/mm] weiterverfahren kann? Ich hab dazu leider absolut keine Ahnung und komm sonst ja nicht weiter.
Gruß
myo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:24 So 24.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hmm.. also bei mir im Skript ermittelt er ob Maxima/Minima
> anhand der Definitheit der Hessematrix im Punkt a.
> Was meinst du nun eigentlich genau mit Determinante [mm]> 0[/mm]?
>
> Meinst du die Determinante von der allgemeinen Hessematrix
> [mm]H(x,y)[/mm] ohne eingesetzen Punkt
nein
> oder die Determinante von der
> Hessematrix [mm]H(a)[/mm] mit bereits schon eingesetztem Punkt der
> untersucht werden soll?
Genau: es geht ja nur darum zu schauen, ob sich über den Verlauf der Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] im betreffenden kritischen Punkt [mm]a[/mm] anhand des Verlaufs der zweiten Ableitung (einer quadratischen Form in den Koordinatenzuwächsen) etwas aussagen lässt.
> Wenn es mit bereits eingesetztem Punkt wäre, dann wäre die
> Determinante in meinem Fall ja beides mal [mm]<0[/mm] und somit gäbe
> es keine Extrema, da ich hier ja aber die Extrema bestimmen
> soll wird es doch wohl welche geben nehme ich mal an..
Sieht so aus. Blödsinnigerweise sehe ich (weil ich wegen eines Systemproblems grosse Teile Deiner ursprünglichen Frage hatte löschen müssen, die Details über Deine Rechnung nicht mehr. Sicher ist, dass ich bis und mit Hessematrix und stationäre Punkte alles von einem CAS hatte nachrechnen lassen.
Gut: anstelle dieses Determinantenkriteriums kannst Du auch die durch die Eigenwerte der Hesse-Matrix (im betreffenden Punkt) berechnen und schauen, ob die Matrix der quadratischen Form ausschliesslich positive oder ausschliesslich negative Eigenwerte hat (diese stehen ja, nach einer Transformation auf Diagonalform - sog. Hauptachsentransformation - in der Diagonalen). Haben die Eigenwerte jedoch verschiedene Vorzeichen, so ist die quadratische Form indefinit.
> Kann mir vielleicht noch jemand einen Tipp zu Aufgabe 2
> geben wie ich da mit dem [mm]0 = 0[/mm] weiterverfahren kann? Ich
> hab dazu leider absolut keine Ahnung und komm sonst ja
> nicht weiter.
>
> Gruß
> myo
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> Kann mir vielleicht noch jemand einen Tipp zu Aufgabe 2
> geben wie ich da mit dem [mm]0 = 0[/mm] weiterverfahren kann?
Da die gegebene Funktion [mm]f(x,y)=(x^2+y^2)\cdot e^{-(x^2+y^2)}[/mm] ist, wäre es vielleicht sinnvoller, hier [mm]r := \sqrt{x^2+y^2}[/mm], den Abstand des Punktes [mm](x,y)[/mm] vom Ursprung [mm](0,0)[/mm], zu substituieren und dann nur noch [mm]f(r)=r^2\cdot e^{-r^2}[/mm] zu untersuchen.
> Ich
> hab dazu leider absolut keine Ahnung und komm sonst ja
> nicht weiter.
Es ist leider so, dass Du bei dieser zu [mm](0,0)[/mm] symmetrischen Funktion (deren "Graph" [mm]z=f(x,y)[/mm] eine Rotationsfläche mit Achse = z-Achse ist), mit der Hesse-Matrix sicher keine Entscheidung über das Vorliegen oder Nicht-Vorliegen einer Extremstelle wirst fällen können. Denn in der Richtung tangential zu den Kreisen [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] ([mm]r[/mm] konstant) wird die Hesse-Matrix [mm]0[/mm] als Eigenwert haben. Sie wird also auch in den Punkten [mm]x^2+y^2=1[/mm], in denen wir aufgrund der Betrachtung von [mm]f(r)=r^2\cdot 3^{-r^2}[/mm] sagen können, dass ein absolutes Extremum vorliegt, weder positiv-definit noch negativ-definit noch indefinit sein.
Also lass diese mühsame Kalkulation lieber gleich bleiben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:27 So 24.06.2007 | | Autor: | Somebody |
> Aufgabe 1:
> Die Funktion [mm]f: [mm]\IR^2[/mm] -> [mm]\IR[/mm][/mm] sei definiert durch
[mm]f(x,y) := [mm](1-x)(1-y)(1-xy)[/mm][/mm]
> [/mm][/mm]
> [mm][mm]Wieso nimmt sie auf [mm]K = [-1, 1] × [-1, 1] [mm]\subset \IR2[/mm][/mm] ihr Maximum und[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm][mm] ihr Minimum an?
Da man die Aufgabe 2, mittels Substitution [mm]r := \sqrt{x^2+y^2}[/mm] so leicht lösen kann, frage ich mich, ob man hier nicht auch besser eine Substitution, zwecks Vereinfachung, vornehmen sollte. Ein kurzes Meditieren über den Niveaukurven der drei Faktoren legt z.B folgendes nahe: [mm]x := u+v, y := u-v[/mm]. .. ahem, nein, dies scheint, zumindest auf den ersten Blick, nicht eine allzu grossartige Wirkung zu haben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 24.06.2007 | | Autor: | myo |
zu Aufgabe 1
Ok, dann teste ich das ganze mal nochmal mit den Eigenwerten durch ob dabei dann vielleicht besser zu erkennen ist ob die Hessematrix [mm]H(a)[/mm] positiv oder negativ definit ist.
Was gibt es denn sonst noch für Kriterien dazu?
Hab die Aufgabe nun mittlerweile auch mal noch mit Maple durchgerechnet und komme zu den selben kritischen Punkten und ersten und zweiten Ableitungen, also kann da der Fehler nicht liegen..
Minima/Maxima muss die Funktion ja wohl besitzen, sonst könnte man ja nicht in der Aufgabenstellung fragen wieso sie innerhalb der beiden Intervalle für [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] ihr Minima/Maxima einnimmt.
Was mir nun auch noch nicht so ganz klar ist, wieso nimmt die Funktion denn nun genau ihr Minima/Maxima innerhalb des gegebenen Ausschnitts des [mm]\IR^2[/mm] ein?
zu Aufgabe 2
Ja gut dann werde ich das ganze mal mit substituieren durchtesten, wenn es anderst nicht recht zu funktionieren scheint. Komme ja bei meinem [mm]0 = 0[/mm] nun auch nicht weiter was wohl daran liegen wird.
Ich gehe dann schon recht in der Annahme das ich substituiere und dann das ganze wie üblich mit Ableitungen und krititschen Punkten mache, oder?
Wann muss ich dann genau resubstituieren, wenn ich meine kritischen Punkte habe und somit weiss was Minima/Maxima ist?
Kann man das sonst noch irgendwie anderst lösen? Wir hatten in der Vorlesung nur den Weg über die Ableitungen/Hessematrix und den kritischen Punkten..
Also Minima/Maxima wird die Funktion ja wohl besitzen, wenn man sie schon darauf untersuchen soll.
Gruß
myo
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> zu Aufgabe 1
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> Ok, dann teste ich das ganze mal nochmal mit den
> Eigenwerten durch ob dabei dann vielleicht besser zu
> erkennen ist ob die Hessematrix [mm]H(a)[/mm] positiv oder negativ
> definit ist.
> Was gibt es denn sonst noch für Kriterien dazu?
>
> Hab die Aufgabe nun mittlerweile auch mal noch mit Maple
> durchgerechnet und komme zu den selben kritischen Punkten
> und ersten und zweiten Ableitungen, also kann da der Fehler
> nicht liegen..
> Minima/Maxima muss die Funktion ja wohl besitzen, sonst
> könnte man ja nicht in der Aufgabenstellung fragen wieso
> sie innerhalb der beiden Intervalle für [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] ihr
> Minima/Maxima einnimmt.
>
> Was mir nun auch noch nicht so ganz klar ist, wieso nimmt
> die Funktion denn nun genau ihr Minima/Maxima innerhalb des
> gegebenen Ausschnitts des [mm]\IR^2[/mm] ein?
>
> zu Aufgabe 2
>
> Ja gut dann werde ich das ganze mal mit substituieren
> durchtesten, wenn es anderst nicht recht zu funktionieren
> scheint. Komme ja bei meinem [mm]0 = 0[/mm] nun auch nicht weiter
> was wohl daran liegen wird.
> Ich gehe dann schon recht in der Annahme das ich
> substituiere und dann das ganze wie üblich mit Ableitungen
> und krititschen Punkten mache, oder?
Ja, das geht hier aber nur, weil [mm]z=f(x,y)[/mm] eine Rotationsfläche mit Achse = z-Achse ist. Falls die Funktion [mm]f(r):= r^2\cdot e^{-r^2}[/mm] für einen bestimmten Wert von [mm]r[/mm] ein Extremum annimmt, so nehmen bei der ursprünglichen Funktion alle Punkte auf dem Kreis [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] denselben Wert an.
(Tipp: Wenn Du Maple hast kannst Du Dir ja leicht einmal die Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] plotten lassen.)
> Wann muss ich dann genau resubstituieren, wenn ich meine
> kritischen Punkte habe und somit weiss was Minima/Maxima
> ist?
[mm]f(r)=r^2\cdot e^{-r^2}[/mm] wird extremal für [mm]r\in \{-1;0;+1\}[/mm]. Und zwar nimt sie das absolute Minimum [mm]0[/mm] für [mm]r=0[/mm] und das absolute Maximum [mm]e^{-1}[/mm] für [mm]r=\pm 1[/mm] an. Der Graph [mm]z=f(r)[/mm] zeigt Dir gewissemassen die Schnittkurve, die entsteht, wenn man die Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] mit einer Fläche durch die z-Achse schneidet. Daher ist klar: wenn man mit dieser Information über [mm]f(r)[/mm] zu [mm]f(x,y)[/mm] zurück geht, kann man sagen: [mm]f(x,y)[/mm] nimmt bei [mm](0,0)[/mm] ihr absolutes Minimum [mm]0[/mm] und in allen Punkte auf des Einheitskreises [mm]x^2+y^2=1[/mm] ihr absolutes Maximum [mm]e^{-1}[/mm] an.
>
> Kann man das sonst noch irgendwie anderst lösen? Wir hatten
> in der Vorlesung nur den Weg über die
> Ableitungen/Hessematrix und den kritischen Punkten..
> Also Minima/Maxima wird die Funktion ja wohl besitzen,
> wenn man sie schon darauf untersuchen soll.
Nein, also so kann man dies nicht formulieren: wenn die Aufgabe gestellt wird, Minima und Maxima einer Funktion zu bestimmen, kann es durchaus so sein, dass es nichts dergleichen gibt. Und in diesem Falle würdest Du für die entsprechende Antwort alle Punkte erhalten...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 So 24.06.2007 | | Autor: | myo |
Aufgabe 1
Hab nun mal die Eigenwerte der beiden Hessematrizen mit eingesetztem Punkt berechnet
Bei der ersten sind die EW -2,2
Bei der zweiten sind die EW [mm]\bruch{-\wurzel{8}}{2}, \bruch{\wurzel{8}}{2}[/mm]
Also auch nicht nur negativ oder positiv.. Man kann dann ja wieder nur sagen das es keine Extrempunkte sind, aber irgendwelche muss sie ja haben wenn dransteht "Wieso nimmt sie ihre Extrempunkte auf ... an?"
Aufgabe 2
Das mit der Substitution hab ich noch nicht ganz verstanden..
Könnte man das bei jeder Funktion machen bei der es gehen würde oder sich eben was dazu anbieten würde oder nicht?
Wenn ich das nun richtig verstanden habe muss ich ja nun [mm]f(r)=r^2\cdot e^{-r^2}[/mm] auf Extrema untersuchen. Dann habe ich diese ja nun für [mm]r[/mm] ermittelt. Bei [mm]f(x,y)[/mm] ist [mm]r = \wurzel{x^2+y^2}[/mm] oder eben anderst geschrieben [mm]r^2 = x^2+y^2[/mm]. Wenn ich da nun meine Punkte von r einsetze, weiss ich anhand des Ergebnisses nun wo meine Funktion [mm]f(x,y)[/mm] ihre Etrema besitzt. Ich muss also [mm]f(x,y)[/mm] nicht noch irgendwie ableiten oder sonst was mit der Funktion machen um meine Extrema auf ihr zu erhalten. Soweit nun richtig verstanden?
Gruß
myo
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> Aufgabe 1
>
> Hab nun mal die Eigenwerte der beiden Hessematrizen mit
> eingesetztem Punkt berechnet
> Bei der ersten sind die EW -2,2
> Bei der zweiten sind die EW [mm]\bruch{-\wurzel{8}}{2}, \bruch{\wurzel{8}}{2}[/mm]
>
> Also auch nicht nur negativ oder positiv.. Man kann dann ja
> wieder nur sagen das es keine Extrempunkte sind, aber
> irgendwelche muss sie ja haben wenn dransteht "Wieso nimmt
> sie ihre Extrempunkte auf ... an?"
Also Deine Rechnung sagt: es gibt keine Extrempunkte. Die stationären Stellen der Ableitung sind nur Sattelpunkte.
> Aufgabe 2
>
> Das mit der Substitution hab ich noch nicht ganz
> verstanden..
Wie wärs, wenn Du mal ein Bild von dem Graphen dieser Funktion anschauen würdest? Hier mein lausiges Bildchen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sicher kannst Du mit Maple ein schöneres machen - und erst noch interaktiv herumschieben und rein- oder rauszoomen.
> Könnte man das bei jeder Funktion machen bei der es gehen
> würde oder sich eben was dazu anbieten würde oder nicht?
Also bei jeder Funktion [mm]f:\IR^n \rightarrow \IR[/mm], bei der der Funktionswert [mm]f(\vec{x})[/mm] nur vom Abstand [mm]|\vec{x}|[/mm] vom Ursprung abhängt, ist es so, dass die Methode mit der Hesse-Matrix nicht verwendet werden kann, um über den Extremwertstatus einer stationären Stelle dieser Funktion zu entscheiden: weil, wie gesagt, in einem solchen Fall mindestens ein Eigenwert der Hessematrix [mm]=0[/mm] sein muss.
Und, ja, bei einer solchen Funktion kann man immer einfach nur anschauen, wo die Extrema bei der Schnittkurve [mm]z=f(|\vec{x}|)[/mm] der Rotationsfläche [mm]z=f(\vec{x})[/mm] mit einer Ebene durch deren Symmetrieachse (=die z-Achse!) liegen. Mit der möglichen Ausnahme von [mm]\vec{x}=\vec{0}[/mm] sind dies genau alle Punkte auf Kreisen mit den betreffenden Radien (der Extremstellen von [mm]z=f(|\vec{x}|)[/mm]). (Bitte, um Himmels Willen, das Bild von [mm]z=f(x,y)[/mm] anschauen!!!)
> Wenn ich das nun richtig verstanden habe muss ich ja nun
> [mm]f(r)=r^2\cdot e^{-r^2}[/mm] auf Extrema untersuchen.
>Dann habe
> ich diese ja nun für [mm]r[/mm] ermittelt. Bei [mm]f(x,y)[/mm] ist [mm]r = \wurzel{x^2+y^2}[/mm]
> oder eben anderst geschrieben [mm]r^2 = x^2+y^2[/mm]. Wenn ich da
> nun meine Punkte von r einsetze, weiss ich anhand des
> Ergebnisses nun wo meine Funktion [mm]f(x,y)[/mm] ihre Etrema
> besitzt. Ich muss also [mm]f(x,y)[/mm] nicht noch irgendwie ableiten
> oder sonst was mit der Funktion machen um meine Extrema auf
> ihr zu erhalten. Soweit nun richtig verstanden?
ja.
ZUSATZ: Aber im Ursprung [mm](0,0)[/mm] musst Du im allgemeinen Fall (bei Deiner Aufgabe 2 allerdings nicht, weil r=0 eine Extremstelle von [mm]z=f(r)[/mm] ist) eine zusätzliche Überlegung einschalten. Denn selbst wenn [mm]r=0[/mm] keine Extremstelle von [mm]z=f(r)[/mm] wäre, könnte es sich bei [mm](0,0)[/mm] für [mm]z=f(x,y)[/mm] um eine Extremstelle handeln.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 24.06.2007 | | Autor: | myo |
Entschuldigung falls ich nerve, oder schwer von Begriff bin..
Ok, nun hab ich nach reichlichem überlegen aber verstanden was du mit der Substitution gemacht hast und warum [mm]f(x,y)[/mm] dort seine Extrema besitzt.
Wie würde denn so eine Zusatzüberlegung aussehen, wenn [mm]f(x,y)[/mm] eine Extremstelle bei 0 hätte, aber [mm]f(r)[/mm] nicht?
zu Aufgabe 1
Hätte da nur noch eine kleine Frage und dann geb ich ich Ruhe damit
Die Funktion sieht ja insgesamt so aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
In dem gegebenen Ausschnitt indem man die Funktion betrachten soll sieht die Funktion wie folgt aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sind die Werte die ich rausgefunden habe hier nun trotzdem nur Sattelpunkte (Die Werte gelten ja für die gesamte Funktion, weil ich sie anhand dieser ermittelt habe) oder Extrema, weil ja der Rest der Funktion nicht betrachtet wird?
Oder wie gehe ich nun genau mit dem [mm]K = [-1,1] \times [-1,1] \subset \IR^2[/mm] um?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Entschuldigung falls ich nerve, oder schwer von Begriff
> bin..
> Ok, nun hab ich nach reichlichem überlegen aber verstanden
> was du mit der Substitution gemacht hast und warum [mm]f(x,y)[/mm]
> dort seine Extrema besitzt.
>
> Wie würde denn so eine Zusatzüberlegung aussehen, wenn
> [mm]f(x,y)[/mm] eine Extremstelle bei 0 hätte, aber [mm]f(r)[/mm] nicht?
Stell Dir einfach vor, dass Du so einen Graphen [mm]z=f(r)[/mm], der also bei [mm]r=0[/mm] kein Extremum hat, um die [mm]z[/mm]-Achse drehst und auf diese Weise die Rotationsfläche [mm]z=f(x,y)[/mm] erzeugst. Falls [mm]\lim_{r\rightarrow 0+}f'(r)=: c[/mm] existiert, dann ist, aufgrund dieser anschaulichen Vorstellung doch:
[mm](0,0) \text{ ein } \begin{cases}\text{ lokales Minimum, falls } c > 0 \\
\text{ unentschieden, falls } c = 0\\ \text{ lokales Maximum, falls } c < 0\end{cases}[/mm]
>
> zu Aufgabe 1
>
> Hätte da nur noch eine kleine Frage und dann geb ich ich
> Ruhe damit
>
> Die Funktion sieht ja insgesamt so aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> In dem gegebenen Ausschnitt indem man die Funktion
> betrachten soll sieht die Funktion wie folgt aus:
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Sind die Werte die ich rausgefunden habe hier nun trotzdem
> nur Sattelpunkte (Die Werte gelten ja für die gesamte
> Funktion, weil ich sie anhand dieser ermittelt habe) oder
> Extrema, weil ja der Rest der Funktion nicht betrachtet
> wird?
Also die von Dir gefundenen sationären Stellen sind dann und nur dann Extremstellen, wenn sich am betreffenden Punkt des Graphen [mm]z=f(x,y)[/mm] eine nach oben oder nach unten geöffnete topfförmige approximierende Fläche erkennen lässst (eben: eine approximierende positiv oder negativ definite Fläche gerader Ordnung, etwa ein elliptisches Paraboloid). Ich seh vielleicht nicht so gut, aber ich finde nicht, dass man klar ein Extremum erkennen kann. Dies sieht mehr wie eine Art Plateau aus, bei dem man von jedem seiner Punkte sowohl zu höher als auch zu tieferliegenden Punkten der Gesamtfläche gelangen kann.
> Oder wie gehe ich nun genau mit dem [mm]K = [-1,1] \times [-1,1] \subset \IR^2[/mm]
> um?
Also Du hast festgestellt, dass die einzigen Kandidaten für Extremstellen in K liegen, dass aber aufgrund der Indefinitheit der in diesen Punkten die Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm] approximierenden quadratischen Flächen in diesen Punkten effektiv nur Sattelpunkte vorliegen.
Wenn es tatsächlich Extrempunkte von [mm]z=f(x,y)[/mm] geben würde, hätte man sie auf Deinem Wege finden müssen: denn der Definitionsbereich von [mm]f(x,y)[/mm] ist ja eine offene Menge (ganz [mm]\IR^2[/mm]) und [mm]f(x,y)[/mm] ist überall differenzierbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 So 24.06.2007 | | Autor: | myo |
Hier nochmal schöner was ich genau meinte mit meinen "Extremstellen".
Die beiden "Höcker" links und rechts sind der Punkt (0,1) und wie Wölbund nach unten zwischen den beiden Höckern ist (-0.5, -0.5). Sieht das nicht aus wie ein elleptischer Rotationparaboloid (zumindest die beiden Höcker) oder hab ich davon nun eine falsche Vorstellung?
Wird der Definitionsbereich mit dem K nicht eingeschränkt, weil es dann ja nur noch eine Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist auf dem die Funktion betrachtet werden soll?
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") funktion3
Dateianhänge:
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Hier nochmal schöner was ich genau meinte mit meinen
> "Extremstellen".
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Die beiden "Höcker" links und rechts sind der Punkt (0,1)
> und wie Wölbund nach unten zwischen den beiden Höckern ist
> (-0.5, -0.5). Sieht das nicht aus wie ein elleptischer
> Rotationparaboloid
Nein, sieht ganz klar nach Sattelpunkt aus. Es genügt nicht, dass es beim fraglichen Punkt eine Wölbung z.B. nach unten gibt, sondern ob es zudem in der dazu senkrechten Richtung ebenfalls eine Wölbung in exakt derselben Richtung gibt. Dies scheint hier nicht der Fall zu sein. Deshalb haben wir ja bei der Hesse-Matrix Eigenwerte mit entgegengesetzten Vorzeichen: weil die Krümmung der approximierenden quadratischen Fläche in den beiden zueinander orthogonalen Hauptachsenrichtungen in entgegengesetzter - eben nicht gleicher - Richtung erfolgt.
> (zumindest die beiden Höcker) oder hab
> ich davon nun eine falsche Vorstellung?
Scheint so: bei einem Paraboloid wäre die Fläche in zwei zueinander senkrecht stehenden Richtungen (den Richtungen der Eigenvektoren der durch die Hesse-Matrix definierten quadratischen Form in den Koordinatenzuwächsen) in die gleiche Richtung gekrümmt. Dies entspricht einfach der Bedingung, dass die beiden Eigenwerte der Hesse-Matrix beide entweder [mm]>0[/mm] oder beide [mm]<0[/mm] sein müssen, damit ein positiv bzw. negativ definiter Fall (und damit ein Extrempunkt der Fläche [mm]z=f(x,y)[/mm]) vorliegt. Darum spricht man ja von einem Sattelpunkt (im Gegensatz zu einem Hoch- oder Tiefpunkt): weil ein Pferdesattel, genauso wie der Platz zwischen den beiden Höckern eines zweihöckrigen Kamels, ein "Sattel", nicht aber ein nach unten oder nach oben geöffneter "Topf" ist.
> Wird der Definitionsbereich mit dem K nicht eingeschränkt,
> weil es dann ja nur noch eine Teilmenge des [mm]\IR^2[/mm] ist auf
> dem die Funktion betrachtet werden soll?
Also wenn man natürlich die Funktion generell auf [mm]K[/mm] einschränkt, dann kann es sein, dass auf dieser Menge ein Extremum auf dem Rand angenommen wird. Randextrema brauchen ja bekanntlich nicht stationäre Punkte der Ableitung zu sein...
>
> funktion3
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