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| Aufgabe | | Im Punkt P(4;1) des Koordinatensystems befindet sich ein Brunnen. Es soll eine Grünfläche in Form eines rechtwinkligen Dreiecks angelegt werden. Die Dreiecksfläche wird längs der Katheten durch je eine Mauer, längs der Hypotenuse durch pflastersteine berandet. Wie ist der Pflastersteinweg durch den Punkt P zu wählen, damit die Kosten für die Mauern minimal werden? Geben Sie eine Gleichung der Geraden an, die durch den Pflastersteinweg verläuft. |
Hallo an alle!
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
Wenn man das vereinfacht formuliert, soll doch bei einem rechtwinkligem Dreieck die Hypotenuse durch den Punkt P(4;1) gehen, und man soll die Gleichung der Hypotenuse so bestimmen, dass die Summe der Katheten die kleinste wird.
Also habe ich mir folgendes überlegt:
1. Gleichung der Hypotenuse muss f(x)= m*x+n sein. Dabei muss m<0 sein, da es sich ja um eine fallende Gerade handelt.
2. Die untere Kathete lässt sich durch x, die "linke" durch f(x) beschreiben. Es muss dann noch gelten (wegen P(4;1)): x>4, f(x)>1.
3. Natürlich dann noch f(4)=1.
4. Die Hypotenuse lässt sich wegen Pythagoras als [mm] \wurzel{x^{2}+f(x)^{2}} [/mm] darstellen.
So, leider stehe ich jetzt auf dem Schlauch und weiß nicht mehr weiter. Kann mir hier vielleicht jemand einen Tipp geben? :)
Schöne Grüße,
cold_reading
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Do 18.08.2011 | | Autor: | abakus |
> Im Punkt P(4;1) des Koordinatensystems befindet sich ein
> Brunnen. Es soll eine Grünfläche in Form eines
> rechtwinkligen Dreiecks angelegt werden. Die
> Dreiecksfläche wird längs der Katheten durch je eine
> Mauer, längs der Hypotenuse durch pflastersteine berandet.
> Wie ist der Pflastersteinweg durch den Punkt P zu wählen,
> damit die Kosten für die Mauern minimal werden? Geben Sie
> eine Gleichung der Geraden an, die durch den
> Pflastersteinweg verläuft.
> Hallo an alle!
>
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe.
>
> Wenn man das vereinfacht formuliert, soll doch bei einem
> rechtwinkligem Dreieck die Hypotenuse durch den Punkt
> P(4;1) gehen, und man soll die Gleichung der Hypotenuse so
> bestimmen, dass die Summe der Katheten die kleinste wird.
>
> Also habe ich mir folgendes überlegt:
> 1. Gleichung der Hypotenuse muss f(x)= m*x+n sein. Dabei
> muss m<0 sein, da es sich ja um eine fallende Gerade
> handelt.
> 2. Die untere Kathete lässt sich durch x, die "linke"
> durch f(x) beschreiben. Es muss dann noch gelten (wegen
> P(4;1)): x>4, f(x)>1.
> 3. Natürlich dann noch f(4)=1.
> 4. Die Hypotenuse lässt sich wegen Pythagoras als
> [mm]\wurzel{x^{2}+f(x)^{2}}[/mm] darstellen.
>
> So, leider stehe ich jetzt auf dem Schlauch und weiß nicht
> mehr weiter. Kann mir hier vielleicht jemand einen Tipp
> geben? :)
>
> Schöne Grüße,
> cold_reading
Hallo,
in deinem Text fehlen die Angeben darüber, wo die Mauern verlaufen sollen. Ich nehme mal an, vom Ursprung aus in Richtung der x- bzw. y-Achse???
Wenn dem so sein sollte, dann enden die Mauern in den Schnittpunkte [mm] S_x [/mm] und [mm] S_y, [/mm] die deine Gerade y=mx+n mit den beiden Achsen hat.
Diese Geradenform ist allerdings recht unpassend.
Wähle besser die Punkt-Steigungsform einer Geraden mit dem Anstieg m durch den Punkt (4,1).
Wenn du diese aufgestellt hat:
Berechne deren Achsenschnittpunkte, damit hast du fast schon die beiden Mauerlängen, deren Summe du betrachten musst. Für welches m wird dieser Summenterm minimal?
Gruß Abakus
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Ups, ja die Katheten sollen den Achsen entlang verlaufen. Im Buch ist noch ein kleines Bildchen dabei. :)
Achso, also hatte ich die unpassende Gleichung genommen.
Ich habe die Punkt-Steigungsgleichung angewandt und bin auf
f(x)=m*(x-4)+1 gekommen. Daraus folgt:
y-Achsenabschnitt: -4m+1
Nullstelle: [mm] -\bruch{1}{m}+4
[/mm]
So, die Summengleichung lautet dann also [mm] -4m-\bruch{1}{m}+5.
[/mm]
Die nur noch ableiten und Minimumwert ausrechnen... Und m wieder in die Gleichung einsetzen.
Ich rechne es jetzt mal fertig, vielen Dank für die Hilfe! :)
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So, bin zum Ergebnis gekommen! (f(x)=-0,5x+3)
Vielen Dank für die Hilfe und die schnelle Antwort, der Gedankenstoß hat mir sehr weitergeholfen :)
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