Minimale Primideale bestimmen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien k ein Körper und A:=k[X,Y]/(XY). Bestimmen Sie die minimalen Primideale von A. |
Hallo Leute,
weiß leider nicht so Recht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. In der vorangegangenen Teilaufgabe habe ich mithilfe des Lemmas von Zorn bewiesen, dass solche bzgl. der Inklusionsrelation minimale Primideale existieren, aber ein Verfahren, wie man diese explizit bestimmt weiß ich leider nicht.
Was ich bisher weiß ist, dass (0) schon mal kein Primideal von A sein kann, da A kein Integritätsring ist.
Bin für jede Hilfe dankbar!
Liebe Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:38 So 06.05.2012 | | Autor: | hippias |
Mache Dir die Struktur von $A$ zu nutze: Es gilt naemlich $A= [mm] k\oplus AX\oplus [/mm] AY$, wobei [mm] $k\oplus [/mm] AX= [mm] A[X]\cong [/mm] k[X]$ gilt und analog fuer $Y$. Damit stehen schon fast alle Primideale da...
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Hallo hippias,
erst einmal danke für die schnelle Antwort!
Leider steige ich nicht dahinter, wie du auf die Unterteilung A = k [mm] \oplus [/mm] AX [mm] \oplus [/mm] AY kommst, vom Rest mal ganz zu schweigen. Auch verstehe ich nicht, wieso es sich hier um eine direkte Summe handelt, die Elemente von A sind doch gar keine Tupel, oder ist das lediglich als eine Art Identifizierung gedacht?
Wäre nett, wenn du noch etwas mehr dazu sagen könntest, versteh es sonst leider nicht.
Liebe Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 So 06.05.2012 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja, das ist als Identifizierung gedacht. Etwas lax formuliert habe ich so gedacht: In $A$ sind ja saemtliche Produkte der Gestalt $X^{n}Y^{m}= 0$, wenn $n$ und $m$ $\geq 1$ sind. Damit bleiben in $A$ nur die Polynome uebrig, die entweder nur die $X$ oder nur die $Y$ enthalten.
Folglich "enthaelt" $A$ die Polynomringe $k[X]$ und $k[Y}$ und es gilt $A= k[X]+ k[Y]$ (das mit der direkten Summe ist vielleicht auch nicht so wichtig). Bevor man das eigentliche Problem mit den minimalen Primidealen angeht, koennte man erst versuchen zu zeigen, dass jedes Primideal von $A$ $X$ oder $Y$ enthaelt. Wenn Du dann noch herausfindest, dass $AX$ und $AY$ prim sind - wofuer die obige Zerlegung von Nutzen sein koennte-, bist Du fertig.
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Ok, danke für die genauere Erklärung.
Ich werde es morgen dann gleich ausprobieren.
Liebe Grüße
Anfänger
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