Minimaler Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Mo 31.07.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Aufgabe
Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b teilerfremdem Index [G:N].
b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge $ [mm] \left\{ g^a ; g \in G \right\} [/mm] $ erzeugte Untergruppe von G. |
Hallo,
ich habe die Diskussion zu obiger Frage, die am Datum: 02:22 Fr 28.04.2006 von SchwarzePerle gestellt wurde, gelesen. Da ich auch grade mein Staatsexamen vorbereite, hab ich dazu noch folgende Frage zur Antwort vom 23:19 Mi 03.05.2006 von felixf
zum Abschnitt
Behauptung: $ U $ ist ein Normalteiler.
Sei $ g [mm] \in [/mm] G $ und $ x [mm] \in [/mm] U $. Dann ist $ x = [mm] g_1^a \cdots g_k^a [/mm] $ mit $ [mm] g_1, \dots, g_k \in [/mm] G $. (Inverse sind da schon dabei, da $ [mm] (g^a)^{-1} [/mm] = [mm] (g^{-1})^a [/mm] $ ist.) Nun ist $ g x [mm] g^{-1} [/mm] = (g [mm] g_1 g^{-1})^a \cdots [/mm] (g [mm] g_k g^{-1})^a [/mm] $, also liegt $ g x [mm] g^{-1} [/mm] $ wieder in $ U $! Da $ g $, $ x $ beliebig folgt, dass $ U $ ein Normalteiler ist.
Ich sehe leider nicht, woher die Gleichheit $ g x [mm] g^{-1} [/mm] = (g [mm] g_1 g^{-1})^a \cdots [/mm] (g [mm] g_k g^{-1})^a [/mm] $ kommt,
mir fällt aber leider auch im Moment nicht ein, wie man anders zeigen kann, dass U normal ist.
Grüße
Verena
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Aufgabe
> Sei G eine endliche Gruppe der Ordnung n, sei n = a*b eine
> Zerlegung in Teilerfremde Faktoren a, b > 1. Zeigen Sie:
> a) Es gibt einen minimalen Normalteiler N in G mit zu b
> teilerfremdem Index [G:N].
> b) Der Normalteiler in a) ist die von der Teilmenge
> [mm]\left\{ g^a ; g \in G \right\}[/mm] erzeugte Untergruppe von G.
> Hallo,
>
> ich habe die Diskussion zu obiger Frage, die am Datum:
> 02:22 Fr 28.04.2006 von SchwarzePerle gestellt wurde,
> gelesen. Da ich auch grade mein Staatsexamen vorbereite,
> hab ich dazu noch folgende Frage zur Antwort vom 23:19 Mi
> 03.05.2006 von felixf
Ein Link macht das ganze einfacher zu finden...
> zum Abschnitt
>
> Behauptung: [mm]U[/mm] ist ein Normalteiler.
>
> Sei [mm]g \in G[/mm] und [mm]x \in U [/mm]. Dann ist [mm]x = g_1^a \cdots g_k^a[/mm]
> mit [mm]g_1, \dots, g_k \in G [/mm]. (Inverse sind da schon dabei,
> da [mm](g^a)^{-1} = (g^{-1})^a[/mm] ist.) Nun ist [mm]g x g^{-1} = (g g_1 g^{-1})^a \cdots (g g_k g^{-1})^a [/mm],
> also liegt [mm]g x g^{-1}[/mm] wieder in [mm]U [/mm]! Da [mm]g [/mm], [mm]x[/mm] beliebig
> folgt, dass [mm]U[/mm] ein Normalteiler ist.
>
> Ich sehe leider nicht, woher die Gleichheit [mm]g x g^{-1} = (g g_1 g^{-1})^a \cdots (g g_k g^{-1})^a[/mm]
> kommt,
Es ist ja $x = [mm] g_1^a \cdots g_k^a$. [/mm] Also ist $g x [mm] g^{-1} [/mm] = g [mm] (g_1^a \cdots g_k^a) g^{-1} [/mm] = (g [mm] g_1^a g^{-1}) \cdots [/mm] (g [mm] g_k^a g^{-1}) [/mm] = (g [mm] g_1 g^{-1})^a \cdots [/mm] (g [mm] g_k g^{-1})^a$. [/mm] Dabei kommt das zweite und das dritte Gleichheitszeichen daher, das man bei einem Produkt $g [mm] a_1 a_2 a_3 \cdots a_k g^{-1}$ [/mm] jeweils $1 = [mm] g^{-1} [/mm] g$ einfuegen kann: $g [mm] a_1 a_2 a_3 \cdots a_k g^{-1} [/mm] = g [mm] a_1 (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_2 (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_3 (g^{-1} [/mm] g) [mm] \cdots (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_k g^{-1}$. [/mm] Und wenn man das dann umklammert, erhaelt man $g [mm] a_1 a_2 a_3 \cdots a_k g^{-1} [/mm] = g [mm] a_1 (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_2 (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_3 (g^{-1} [/mm] g) [mm] \cdots (g^{-1} [/mm] g) [mm] a_k g^{-1} [/mm] = (g [mm] a_1 g^{-1}) [/mm] (g [mm] a_2 g^{-1}) \cdots [/mm] (g [mm] a_k g^{-1})$.
[/mm]
Ist es jetzt klarer?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:18 Di 01.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Ganz lieben Dank Felix, jetzt ist's mir's klar.
Lg, Verena
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