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| Aufgabe | | Sei K ein Körper und sei f: [mm] K^{n} [/mm] --> [mm] K^{n} [/mm] ein Endomorphismus. Sei p ein Polynom in K [T]. Beweisen Sie: Wenn x ein Eigenwert von f ist, dann ist p(x) ein Eigenwert von p(f). |
Habe diese Frage in keinem anderen Interforum gestellt.
Hallo,
ehrlich gesagt weiß ich bei dieser Aufgabe nicht recht weiter. Wenn ich f in p einsetze, dann kriege ich ein Polynom der Form [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}*f^{i}. [/mm] Für x [mm] \summe_{i=0}^{n} b_{i}*x^{i}.
[/mm]
Allgemein gilt für einen Eigenwert und f doch: f(x) = x*v (dabei ist v der Eigenvektor).
Wenn ich jetzt p(f) (p(x)) bilde, dann komme ich auf
p(f) [mm] (\summe_{i=0}^{n} b_{i}*x^{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} b_{i}*x^{i} [/mm] * w (der Eigenvektor von p(f) zu p(x), oder? Aber wie jetzt weiter?
Vielleicht habt ihr einen Vorschlag.
Grüße Steffen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 11.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> ehrlich gesagt weiß ich bei dieser Aufgabe nicht recht
> weiter. Wenn ich f in p einsetze, dann kriege ich ein
> Polynom der Form [mm]\summe_{i=0}^{n} a_{i}*f^{i}.[/mm] Für x
> [mm]\summe_{i=0}^{n} b_{i}*x^{i}.[/mm]
Was meinst du mit x? Das soll doch ein EW sein, oder?
> Allgemein gilt für einen Eigenwert und f doch: f(x) = x*v
> (dabei ist v der Eigenvektor).
Eher [m]f(v)=x*v[/m]
> Wenn ich jetzt p(f) (p(x)) bilde, dann komme ich auf
Unfug, das soll der EW sein, nicht der EV - setz mal den EV v ein.
SEcki
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Hallo Secki,
sorry hatte mich in den Definitionen verguckt. Also x war tatsächlich der Eigenwert. Wenn ich jetzt p(f) (v) (mit v als Eigenvektor zu x) bilde dann bekomme ich doch
p(f) (v) = [mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}) [/mm] v. Aber wie kann ich jetzt schlussfolgern, dass p(x) der EW zu p(f) ist.
Mann kann das ja auch über Matrizen machen. Also sei A die Matrixdarstellung von f, x wieder der Eigenwert und v der Eigenvektor zu x. Mit Def. gilt doch dann
Av = xv. Das muss doch dann auch für p(A) und p(x) gelten. Also
p(A)v = p(x)v oder
[mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i} A^{i})v [/mm] = [mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i} x^{i}) [/mm] v
Das kann ich ja dann umformen zu:
x [mm] (\summe_{i=0}^{n} a_{i} [/mm] * [mm] (A^{i} [/mm] - [mm] x^{i}) [/mm] = 0
Aber irgendwie komme ich da auch nicht weiter. An sich wird der Eigenwert ja nur vervielfacht und der Ev bleibt konstant.
Vielleicht kannst du mir ja noch einmal einen Tip geben.
Grüße Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Mi 12.04.2006 | | Autor: | steffenhst |
Hallo,
mir ist gerade aufgefallen, dass die Überschrift ("Minimalpolynom") vollkommener Blödsinn ist. Das Polynom in der Aufgabenstellung kann ein beliebiges Polynom sein.
Grüße Steffen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Mi 12.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> p(f) (v) = [mm](\summe_{i=0}^{n} a_{i} x^{i})[/mm] v. Aber wie kann
> ich jetzt schlussfolgern, dass p(x) der EW zu p(f) ist.
Äh, schau dir doch bitte mal die Definition von EW an ... (die begründung steht im wesentlichen schon da!)
SEcki
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