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| Aufgabe | Berechne das Minimalpolynom über [mm] \IR [/mm] von
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 & 4 \\ -1 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 } [/mm] |
Hallo
Ich habe bereits [mm] P_{A}=\lambda^{4}+\lambda^{2}+1 [/mm] als charakteristisches Polynom berechnet.
Wenn das richtig ist, weiß ich allerdings nicht, was das Minimalpolynom ist, da [mm] P_{A} [/mm] gar keine Nullstelle hat.
Ist dann [mm] m_{A}=P_{A}?
[/mm]
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo reginalex,
guck dir dein charakteristisches Polynom bzw. den Rechenweg dorthin noch mal genauer an. Du hast da einen kleinen Fehler gemacht - wahrscheinlich nur ein Flüchtigkeitsfehler (es geht um den Koeffizienten zu λ^2...)
Wenn du den Fehler gefunden hast, siehst du auch, dass das ch. Polynom Nullstellen hat.
Liebe Grüße
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Oh nein!
Jetzt ist mir gerade aufgefallen, dass ich mich bzgl. der Nullstellen total vertan habe... bei deinem Polynom ist zwar trotzdem ein Fehler - aber Nullstellen hat es dann doch nicht - zumindest nicht in [mm] \IR [/mm] ...
Ich habe ein Minimalpolynom bestimmt - allerdings weiß ich jetzt auch nicht so wirklich, ob das dann richtig ist, wenn es keine NST in [mm] \IR [/mm] hat.
Tut mir leid - da war ich etwas voreilig...
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Oh, hast recht, ich hab mich mit dem charakteristischen Polynom vertippt. Hatte [mm] P_{A}=\lambda^{4}+2\lambda^{2}+1 [/mm] raus...hilft mir aber auch nicht so recht weiter, oder?
Was ist denn dann das Minimalpolynom?
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Das Minimalpolynom ist ein Vielfaches vom charakteristischen Polynom.
Die Nullstellen des Minimalpolynoms sind genau die Eigenwerte der Matrix.
Das Minimalpolynom hängt sehr stark mit dem charakteristischen Polynom zusammen. (Das wäre jetzt zu viel die ganzen Zusammenhänge aufzuzählen) Es gibt auch einen Algorithmus wie du das Minimalpolynom berechnen kannst.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:36 So 27.04.2008 | | Autor: | Feli2812 |
Hallöchen,
Ist nicht das char.Polynom ein Vielfaches des Minimalpolynoms?
und da dieses keine NS hat, würd ich sagen, dass das char.P. gleich dem Minimalpolynom, oder????
lg
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Hallo Feli2812,
> Hallöchen,
> Ist nicht das char.Polynom ein Vielfaches des
> Minimalpolynoms?
Doch schon.
> und da dieses keine NS hat, würd ich sagen, dass das
> char.P. gleich dem Minimalpolynom, oder????
Das ist nicht so einfach.
Zerlege das charakteristische Polynom [mm]p\left(x\right)[/mm] in irreduzible (nicht weiter zerlegbare) Polynome über [mm]\IR[/mm].
Bestimme dann das kleinste Polynom, für das [mm]p\left(A\right)=0[/mm] gilt. (0 ist die Nullmatrix).
> lg
Gruß
MathePower
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Ist denn [mm] P_{A}= (\lambda^{2}+1)*(\lambda^{2}+1) [/mm] das dazu gehörende irreduzible Polynom?
Wenn ja, dann folgt daraus, dass [mm] M_{A}=P_{A}, [/mm] da [mm] A^{2}+1\not=0
[/mm]
Ich hoffe das stimmt so...auf jeden Fall vielen Danke für die Tipps!
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Hallo reginalex,
> Ist denn [mm]P_{A}= (\lambda^{2}+1)*(\lambda^{2}+1)[/mm] das dazu
> gehörende irreduzible Polynom?
[mm]\lambda^{2}+1[/mm] hat in [mm]\IR[/mm] keine Nullstellen, ist also irreduzibel.
[mm]P\left(\lambda\right)[/mm] ist das Produkt von zwei irreduziblen Polynomen.
> Wenn ja, dann folgt daraus, dass [mm]M_{A}=P_{A},[/mm] da
> [mm]A^{2}+1\not=0[/mm]
Jo, in dem Fall ist das so.
[mm]A^{2}+I \not= 0[/mm]
[mm]\left(A^{2}+I\right)^{2} = 0[/mm]
>
> Ich hoffe das stimmt so...auf jeden Fall vielen Danke für
> die Tipps!
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mo 28.04.2008 | | Autor: | reginalex |
Super! Danke!
Gruß reginalex
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